一様分布の和（12 個まで）のプロット

□ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ 2010 年 7 月 16 日版

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目次

1  一様分布の和  1
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1 一様分布の和

確率変数 X_{1}, X_{2}, ⋯, は独立で同じ一様分布 U(0, 1) に従うとする。 S_{n} = X_{1} + X_{2} + ⋯ + X_{n}, (n ≥ 1) とし、分布関数 U_{n}(x) = P (S_{n} ≤ x), 密度関数 u_{n}(x) = \frac{dU_{n}}{dx} (x) を考えると、中心極限定理により、 n が大きければ正規分布で近似される。とくに n = 12 ならば、簡単な計算により、 1 つの標準正規分布にしたがう確率変数が得られる。

{定理 1.1 \atop X_{i} ∼ U(0, 1) ⇒ ”n = 12”, S_{12} − 6 ∼ N(0, 1)}

なぜなら各 U(0, 1) の平均は 1/2, 分散は 1/12 であるから、これを加えた 12 個の S_{12} の平均は 6, 分散は 1 となる。したがって、 S_{12} − 6 ∼ N(0, 1) である。

では具体的に分布を計算して、さらに図に表すことをおこなう。参考文献：一様分布の和 Feller Vol .2, p .26 xp[x] = max{0, x} の定義： xp[x ] = (x + Abs[x])/2