離散型分布

ベルヌーイ分布
BernoulliDistribution[$p$]
とは，成功（値1に対応）が $p$ の確率で起り，失敗（値0に対応）が$1-p$ の確率で起る$1$回(単一)試行の確率分布である．

二項分布
BinomialDistribution[$n,p$]
とは，各試行における成功確率を $p$ としたときに，$n$ 回の独立した試行で起る成功を集計した回数値の分布である．ベルヌーイ分布の和となっている。

負の二項分布
NegativeBinomialDistribution[$n,p$]
正の整数 $n$ に対する負の二項分布NegativeBinomialDistribution[$n,p$]とは，各試行における成功確率を $p$ としたときに，$n$ 回の成功するまでに起った失敗回数の分布である．幾何分布の和と考えればよい。
はじめて成功が起こるまでの待ち時間が幾何分布で、さらに$n$回成功するまでの
回数値の分布である。

ベータ二項分布
BetaBinomialDistribution[$\alpha$,$\beta$,$n$]は二項分布とベータ分布を組み合せたものである．この確率変数は，成功確率 $p$ 自体が確率変数でベータ分布BetaDistribution[$\alpha$,$\beta$]に従うもののとき、BinomialDistribution[$n,p$]に従う．


ベータ負の二項分布
BetaNegativeBinomialDistribution[\alpha,\beta,n]はベータ分布と負の二項分布を組み合せたものである．$p$の値が既知のものとするのではなく、
変動するものと考える。

幾何分布
GeometricDistribution[p]
とは，各試行の成功率を $p$としたときに，最初に成功が起るまでに必要とした試行数の
分布である．

超幾何分布
HypergeometricDistribution[n,n_{succ},n_{tot}]
    は $n$ 回の試行において，
総数の個数（サイズ） $n_{tot} $ の母集団として、最初は$n_{tot}$の枚数のくじがあり、その内の当たりくじ数(成功とする回数) $n_{succ}$ 回と外れくじ数（失敗とする回数）$n_{fail}=n_{tot}-n_{succ}$で構成されている。一度取り出したくじは破棄して2度と取り出されることはない。
すなわち、元に戻さずにサンプリングする（非復元抽出）。
はじめには、総数$n_{tot}$のくじが当たり数$n_{succ}$と外れ数
$n_{fail}=n_{tot}-n_{succ}$であり、
非復元抽出実験を行う。超幾何分布とは、くじ引きを試みた回数$n$回のうちで
当たりくじを引いた回数を表す。このくり返し試行は独立ではないことに注意。
二項分布はベルヌーイ分布のくり返し試行で独立であるととに違いがある。
当たりくじを引く確率（当たりくじと外れくじの比率）が
一定（復元抽出）の場合である。

離散一様分布
DiscreteUniformDistribution[$i_{min}$,$i_{max}$]
とは，同じ値の確率（等しい確率）で起る結果を $i_min$ から
$i_{max}$ までの整数で表した試行を表すものである．

ポアソン分布
PoissonDistribution[$\mu$]とは，指定された時間内に起る事象数を記述する．ここで $\mu$ は一定時間に対する事象の平均回数である．2項分布の
極限として得られる、稀な現象を記述するときに用いられ、重要な分布である。

対数分布
LogSeriesDistribution[$\theta$]
$\theta=0$付近の$\log (1-\theta)$の級数展開における項は，対数分布LogSeriesDistribution[$\theta$]に従った離散確率変数の確率に比例する．指定された期間内に購入される製品数の分布が，この分布によってモデル化されることがある．

ジップ(Zipf)分布
ZipfDistribution[$\rho$]はゼータ分布と言われることがある．これは最初言語学で使われ，珍しい事象のモデル化にまで拡張された

グラフのプロット

密度関数の関数形を表示させる命令：
PDF[分布名[パラメータ],変数],
{変数、最小値、最大値}

グラフを描く命令：
Plot[PDF[分布名[パラメータ],変数],
{変数、最小値、最大値}]

ListPlot[Table[{k, PDF[BinomialDistribution[50, 0.3], k]}, {k, 0, 50}], Filling -> Axis]

幾何分布 Geom(p) のパラメータ(p=0.1,0.3,0.5,0.8)変化

ListPlot[Table[{k,
PDF[GeometricDistribution[p],k]},
{p,{0.1,0.3,0.5,0.8}},{k,0,15}],
PlotMarkers->Automatic,Joined -> True, PlotRange -> {{0,15},{0,0.8}} ]

2項分布 Binom(n,p) の　n=8でｐ=0.1,0.3,0.5,0.8の変化

ListPlot[Table[{k,
PDF[BinomialDistribution[10,p],k]},
{p,{0.1,0.3,0.5,0.8}},{k,0,10}],
PlotMarkers->Automatic,Joined -> True, PlotRange -> Automatic ]

2項分布 Binom(n,p) の　p=1/2 で n =5,10,20の変化

ListPlot[Table[{k,
PDF[BinomialDistribution[n,1/2],k]},
{n,{5,10,20}},{k,0,20}],
PlotMarkers->Automatic,Joined -> True, PlotRange -> Automatic ]

2項分布 Binom(n,p) の　p=1/4 =0.25で n =5,10,20の変化

ListPlot[Table[{k,
PDF[BinomialDistribution[n,1/4],k]},
{n,{5,10,20}},{k,0,20}],
PlotMarkers->Automatic,Joined -> True, PlotRange -> Automatic ]

2項分布 Binom(n,p) の　p=3/4=0.75 で n=5,10,20 の変化

ListPlot[Table[{k,
PDF[BinomialDistribution[n,3/4],k]},
{n,{5,10,20}},{k,0,20}],
PlotMarkers->Automatic,Joined -> True, PlotRange -> Automatic ]

負の幾何分布 NegBinom(n,p), n=8, p=0.1, 0.3, 0.5, 0.8

ListPlot[Table[{k,
PDF[NegativeBinomialDistribution[5,p],k]},
{p,{0.1,0.3,0.5,0.8}},{k,0,30}],
PlotMarkers->Automatic,Joined -> True, PlotRange -> {{0,30},{0,0.35}} ]

負の幾何分布 NegBinom(n,p), n=1,5,8,10, p= 0.3

ListPlot[Table[{k,
PDF[NegativeBinomialDistribution[n,0.3],k]},
{n,{1,5,8,10}},{k,0,30}],
PlotMarkers->Automatic,Joined -> True, PlotRange -> {{0,30},{0,0.35}} ]

超幾何分布  HyperGeom(n,n_s,n_t)

HypergeometricDistribution[n,n_{succ},n_{tot}]

確率:　n=5,n_s/n_t = 2/10, 5/10,7/10  (n < n_t)

Table[PDF[HypergeometricDistribution[5,ns,10],k],{ns,{2,5,7}}]

ListPlot[Table[{k,
PDF[HypergeometricDistribution[5,ns,10],k]
},{ns,{2,5,7}},{k,0,5}],
PlotMarkers->Automatic,Joined -> True, PlotRange -> Automatic ]

確率:　n=15, n_s/n_t = 4/20, 10/20,14/20 (n < n_t)

Table[PDF[HypergeometricDistribution[15,ns,20],k],{ns,{4,10,14}}]

ListPlot[Table[{k,
PDF[HypergeometricDistribution[15,ns,20],k]
},{ns,{4,10,14}},{k,0,15}],
PlotMarkers->Automatic,Joined -> True, PlotRange -> Automatic ]

確率:n=15, n_s/n_t = 40/200, 100/200,140/200(n < n_t)

Table[PDF[HypergeometricDistribution[15,ns,200],k],{ns,{40,100,140}}]

ListPlot[Table[{k,
PDF[HypergeometricDistribution[15,ns,200],k]
},{ns,{40,100,140}},{k,0,15}],
PlotMarkers->Automatic,Joined -> True, PlotRange -> Automatic ]

2項分布に近づく、n=15, p= 40/200, 100/200, 140/200

Table[PDF[BinomialDistribution[15,p],k],{p,{40/200,100/200,140/200}}]

ListPlot[Table[{k,
PDF[BinomialDistribution[15,p],k]
},{p,{40/200,100/200,140/200}},{k,0,15}],
PlotMarkers->Automatic,Joined -> True, PlotRange -> Automatic ]

幾何分布と指数分布
GeometricDistribution[p], 0<p <1
ExponentialDistribution[lm], lm >0

幾何分布のパラメータ変化

幾何分布の確率密度：

PDF[GeometricDistribution[p],k]

ListPlot[Table[{k,
PDF[GeometricDistribution[p],k]},
{p,{0.1,0.3,0.5,0.8}},{k,0,15}],
PlotMarkers->Automatic,Joined -> True, PlotRange -> {{0,15},{0,0.8}} ]

指数分布の確率密度：

PDF[ExponentialDistribution[lm],x]

Plot[
{PDF[ExponentialDistribution[0.3],x],
PDF[ExponentialDistribution[0.5],x],
PDF[ExponentialDistribution[0.8],x]},
{x,0,15},PlotRange -> {{0,15},{0,0.8}}]

2項分布と正規分布
2項分布とポアソン分布
一様分布の和と正規分布
一様分布とコーシー分布

Tally[list]
Tally[{a,a,b,a,c,b,a}]   --->>>
     {{a,4},{b,2},{c,1}}

順序統計量
Median[list]
Median[{1,2,3,4,5,6,7}]     --->>>  4
Median[{1,2,3,4,5,6,7,8}]  -- ->>> 9/2
下位四分位点および上位四分位点：
Quantile[{1,2,3,4,5,6,7},{1/4,3/4}]  -- ->>>
{2,6}

Histogram[RandomReal[NormalDistribution[0,1],200]]

PDF[BetaNegativeBinomialDistribution[a,b,n],x]

PDF[BetaBinomialDistribution[a,b,n],x]

Show[Plot[{
PDF[BetaDistribution[1/2,1/2],x],
PDF[BetaDistribution[1,2],x],
PDF[BetaDistribution[3,3],x],
PDF[BetaDistribution[5,2],x],
PDF[BetaDistribution[1,1],x]},
{x,0,1}],
Graphics[{
Text["ベータ分布の密度関数",{0.5,3.5}],
Text["α=β=1/2",{0.1,3.2}],
Text["α=1, β=2",{0.25,1.9}],
Text["α=β=3",{0.5,2.2}],
Text["α=5,β=3",{0.8,2.8}],
Text["α=β=1",{0.1,0.8}]}]]

正規分布

Plot[Exp[-x^2/2]/Sqrt[2 *Pi], {x,-3,3}]

phi[x_]=Exp[-x^2/2]/Sqrt[2 *Pi]

Plot[{{1- phi[x]/(x+1/x)},1- phi[x]/x},{x,-3,3}]

Plot[0.5+0.5*Erf[z*2^(-1/2)],{z,0,3}]

Plot[{{1- phi[x]/(x+1/x)},1- phi[x]/x,0.5+0.5*Erf[x*2^(-1/2)]},{x,-3,3}]

Plot[0.5 + 0.5*Erf[z*2^(-1/2)],{z,-3,3}]