離散型確率分布の説明―――パラメータ変化との関連

密度関数の関数形を表示させる命令：{PDF[分布名 [パラメータ], 変数], \{ 変数、最小値、最大 \atop 値 \}}
グラフを描く命令：{Plot[PDF[分布名 [パラメータ], 変数], \{ 変数、最小値、 \atop 最大値 \}]}

離散一様分布: DiscreteUniformDistribution[n_{min},n_{max}] 一様乱数を生成するために用いられる。サイコロのシミュレーションでは n_{min} = 1, n_{max} = 6 同じ確からしさをもつ事象の確率（等しい確率）で起る結果を n_{min} から n_{max} までの整数で表した試行である．

U\{n_{min}, ⋯, n_{max}\} ∼ \frac{1}{n_{max} − n_{min} + 1}, x = n_{min}, ⋯, n_{max} (一定値)

ベルヌーイ分布: BernoulliDistribution[p] 成功（値 1 に対応）が p の確率で起り，失敗（値 0 に対応）が 1 − p の確率で起る 1 回 (単一) 試行の確率分

布である．\binom{n}{k} = \frac{(n)_{k}}{k!} = \frac{(n)_{k} = n(n − 1) ⋯ (n − k + 1)}{k!} とする。２項分布 Binom で n = 1 とした場合。

Binom[1, p] ∼ \binom{1}{x}p^{x}(1 − p)^{1−x} = \{ \begin{matrix}p & x = 1 \\ 1 − p & x = 0 \end{matrix}

二項分布: BinomialDistribution[n, p] 各試行における成功確率を p としたときに， n 回の独立した試行で起る成功を集計した回数値の分布である．ベルヌーイ分布の和となっている。

Binom[n, p] ∼ \binom{n}{x}p^{x}(1 − p)^{n−x}, x = 0, 1, 2, ⋯, n

負の二項分布: NegativeBinomialDistribution[n, p] 正の整数 n に対する負の二項分布とは，各試行における成功確率を p としたときに， n 回の成功するまでに必要なために起った失敗回数の分布である．幾何分布の和と考えればよい。はじめて成功が起こるまでの待ち時間が幾何分布で、さらに n 回成功するまでの回数値の分布である。 q = 1 − p

NegBinom[n, p] ∼ \binom{−n}{x}p^{n}(−q))^{x} = \binom{n + x − 1}{x}p^{n}q^{x}, x = 0, 1, 2, ⋯,

ベータ二項分布: BetaBinomialDistribution[α,β,n] 二項分布とベータ分布を組み合せた混合分布である．この確率変数は，成功確率 p 自体を確率変数として、その分布がベータ分布 BetaDistribution[α,β] に従うとき、この混合分布を BinomialDistribution[n,p] に従うという．

BetaBinom[α, β, n] ∼ \binom{n}{x}\frac{B(x + α, n + β − x)}{B(α, β)}, x = 0, 1, 2, ⋯, n

ベータ負の二項分布: BetaNegativeBinomialDistribution[α,β,n] ベータ分布と負の二項分布を組み合せた混合分布である． p の値が既知のものとするのではなく、変動するものと考える。このようにパラメータ p をベータ分布とする理由はベータ分布が柔軟で、一様分布を含むさまざまな形状を表すから。

BetaNegBinom(α, β, n) ∼ \binom{−1 + n + x}{−1 + n}\frac{B[α + n, β + x]}{B[α, β]}, x = 0, 1, 2, ⋯, n

幾何分布: GeometricDistribution[p] 各試行の成功率を p としたときに，最初に成功が起るまでに必要とした試行数の分布である． q = 1 − p とする。成功／失敗という２通りの結果を繰り返したとき、初めて成功が表れるまでの時間間隔を表す。待ち時間の解析によく用いられ、連続型では指数分布と対比される。

Geom(p) ∼ pq^{x}, x = 0, 1, 2, ⋯

超幾何分布: HypergeometricDistribution[n,n_{succ},n_{tot}] n 回中のの { 当たり, 外れ (または成功、失敗)} 試行での当たり回数であるが、取り出しの結果によって当たり、外れの確率が変化する。母集団サイズ（総数の個数）は n_{tot} として、最初は n_{tot} 枚数のくじがあり、その内の当たりくじ数 (成功とする回数)n_{succ} 回と外れくじ数（失敗とする回数） n_{fail} = n_{tot} − n_{succ} で構成されている。一度取り出したくじは破棄して 2 度と取り出されることはないものとする。すなわち、元に戻さずにサンプリングする（非復元抽出）。はじめには、総数 n_{tot} のくじが当たり数 n_{succ} と外れ数 n_{fail} = n_{tot} − n_{succ}, ”tot = total”であり、抽出ごとに何れかが減じていく非復元抽出実験を行う。超幾何分布とは、くじ引きを試みた回数 n 回のうちで当たりくじを引いた回数を表す分布である。このくり返し試行は独立ではないことに注意。二項分布はベルヌーイ分布のくり返し試行で独立であるととに違いがある。当たりくじを引く確率（当

たりくじと外れくじの比率）が一定（復元抽出）の場合である。 n_{tot} = n_{succ} + n_{fail}, \frac{n_{succ}}{n_{tot}} → p, \frac{n_{fail}}{n_{tot}} → q

ならば、 HyperGeom[n, n_{succ}, n_{tot}] ≑ Binom[n, p] となる対応がある。

HyperGeom[n, n_{succ}, n_{tot}] ∼ \begin{matrix}\binom{n_{succ}}{x} & \binom{n_{fail}}{n−x} \\ ( & {n_{tot} \atop n} & ) \end{matrix} = \binom{n}{x}\frac{(n_{succ})_{x} (n_{fail})_{n−x}}{(n_{tot})_{n}} , x = 0, 1, 2, ⋯, n

ポアソン分布: PoissonDistribution[λ] 指定された時間内に起る事象数を記述する．ここで 1/λ は一定時間に対する事象の平均回数 (整数とは限らない) である． 2 項分布の極限として得られる、稀な現象を記述するときに用いられ、重要な分布である。指数が出てくる理由は lim_{n}(1 + p_{n})^{n} = λ, ただし、 np_{n} → λ(n → ∞) からである。

Po[λ] ∼ e^{−λ} \frac{λ^{x}}{x!} , x = 0, 1, 2, ⋯

2 項分布 Binom(50,0.3) を表示させる例：

  ListPlot[
  Table[{k, PDF[BinomialDistribution[50,0.3], k]},
  {k, 0, 50}], Filling -> Axis]

図 1 幾何分布 Geom(p) のパラメータ変化)

幾何分布 Geom(p) の p = 0.1, 0.3, 0.5, 0.8

ListPlot[Table[{k, ListPlot[Table[{k, ListPlot[Table[{k,
PDF[GeometricDistribution[p], k]}, PDF[GeometricDistribution[p], k]}, PDF[GeometricDistribution[p], k]},
{p, {0.1, 0.3, 0.5, 0.8}}, {k, 0, 15}], {p, {0.1, 0.3, 0.5, 0.8}}, {k, 0, 15}], {p, {0.1, 0.3, 0.5, 0.8}}, {k, 0, 15}],
PlotMarkers → Automatic, PlotMarkers → Automatic, PlotMarkers → Automatic,
Joined → True, Joined → True, Joined → True,
PlotRange → {{0, 15}, {0, 0.8}}] PlotRange → {{0, 15}, {0, 0.8}}] PlotRange → {{0, 15}, {0, 0.8}}]

図 2 2 項分布 Binom(10,p) での p 変化

2 項分布 Binom(10,p) の p = 0.1, 0.3, 0.5, 0.8

ListPlot[Table[{k, ListPlot[Table[{k, ListPlot[Table[{k,
PDF[BinomialDistribution[10, p], k]}, PDF[BinomialDistribution[10, p], k]}, PDF[BinomialDistribution[10, p], k]},
{p, {0.1, 0.3, 0.5, 0.8}}, {k, 0, 10}], {p, {0.1, 0.3, 0.5, 0.8}}, {k, 0, 10}], {p, {0.1, 0.3, 0.5, 0.8}}, {k, 0, 10}],
PlotMarkers → Automatic, PlotMarkers → Automatic, PlotMarkers → Automatic,
Joined → True, Joined → True, Joined → True,
PlotRange → Automatic] PlotRange → Automatic] PlotRange → Automatic]

図 3 2 項分布 Binom(n,1/2) での n 変化

2 項分布 Binom(n,1/2) の n = 5, 10, 20

ListPlot[Table[{k, ListPlot[Table[{k, ListPlot[Table[{k,
PDF[BinomialDistribution[n, 1/2], k]}, PDF[BinomialDistribution[n, 1/2], k]}, PDF[BinomialDistribution[n, 1/2], k]},
{n, {5, 10, 20}}, {k, 0, 20}], {n, {5, 10, 20}}, {k, 0, 20}], {n, {5, 10, 20}}, {k, 0, 20}],
PlotMarkers → Automatic, PlotMarkers → Automatic, PlotMarkers → Automatic,
Joined → True, Joined → True, Joined → True,
PlotRange → Automatic] PlotRange → Automatic] PlotRange → Automatic]

図 4 2 項分布 Binom(n,1/4) での n 変化

2 項分布 Binom(n,1/4) の n = 5, 10, 20

ListPlot[Table[{k, ListPlot[Table[{k, ListPlot[Table[{k,
PDF[BinomialDistribution[n, 1/4], k]}, PDF[BinomialDistribution[n, 1/4], k]}, PDF[BinomialDistribution[n, 1/4], k]},
{n, {5, 10, 20}}, {k, 0, 20}], {n, {5, 10, 20}}, {k, 0, 20}], {n, {5, 10, 20}}, {k, 0, 20}],
PlotMarkers → Automatic, PlotMarkers → Automatic, PlotMarkers → Automatic,
Joined → True, Joined → True, Joined → True,
PlotRange → Automatic] PlotRange → Automatic] PlotRange → Automatic]

図 5 2 項分布 Binom(n,3/4) での n 変化

2 項分布 Binom(n,3/4) の n = 5, 10, 20

ListPlot[Table[{k, ListPlot[Table[{k, ListPlot[Table[{k,
PDF[BinomialDistribution[n, 3/4], k]}, PDF[BinomialDistribution[n, 3/4], k]}, PDF[BinomialDistribution[n, 3/4], k]},
{n, {5, 10, 20}}, {k, 0, 20}], {n, {5, 10, 20}}, {k, 0, 20}], {n, {5, 10, 20}}, {k, 0, 20}],
PlotMarkers → Automatic, PlotMarkers → Automatic, PlotMarkers → Automatic,
Joined → True, Joined → True, Joined → True,
PlotRange → Automatic] PlotRange → Automatic] PlotRange → Automatic]

図 6 負の幾何分布 NegBinom(8,p), p の変化

負の幾何分布 NegBinom(8,p), p = 0.1, 0.3, 0.5, 0.8

ListPlot[Table[{k, ListPlot[Table[{k, ListPlot[Table[{k,
PDF[NegativeBinomialDistribution[5, p], k]}, PDF[NegativeBinomialDistribution[5, p], k]}, PDF[NegativeBinomialDistribution[5, p], k]},
{p, {0.1, 0.3, 0.5, 0.8}}, {k, 0, 30}], {p, {0.1, 0.3, 0.5, 0.8}}, {k, 0, 30}], {p, {0.1, 0.3, 0.5, 0.8}}, {k, 0, 30}],
PlotMarkers → Automatic, PlotMarkers → Automatic, PlotMarkers → Automatic,
Joined → True, Joined → True, Joined → True,
PlotRange → {{0, 30}, {0, 0.35}] PlotRange → {{0, 30}, {0, 0.35}] PlotRange → {{0, 30}, {0, 0.35}]

図 7 負の幾何分布 NegBinom(n,0.3), n の変化

負の幾何分布 NegBinom(n,0.3), n = 1, 5, 8, 10

ListPlot[Table[{k, ListPlot[Table[{k, ListPlot[Table[{k,
PDF[NegativeBinomialDistribution[n, 0.3], k]}, PDF[NegativeBinomialDistribution[n, 0.3], k]}, PDF[NegativeBinomialDistribution[n, 0.3], k]},
{n, {1, 5, 8, 10}}, {k, 0, 30}], {n, {1, 5, 8, 10}}, {k, 0, 30}], {n, {1, 5, 8, 10}}, {k, 0, 30}],
PlotMarkers → Automatic, PlotMarkers → Automatic, PlotMarkers → Automatic,
Joined → True, Joined → True, Joined → True,
PlotRange → {{0, 30}, {0, 0.35}}] PlotRange → {{0, 30}, {0, 0.35}}] PlotRange → {{0, 30}, {0, 0.35}}]

(超幾何分布 HyperGeom(n,n_{succ},n_{tot})) 確率 : n = 5, \frac{n_{succ}}{n_{tot}} = \frac{2}{10}, \frac{5}{10}, \frac{7}{10}(n < n_{tot})

Table[PDF[HypergeometricDistribution[5, ns, 10], k], {ns, {2, 5, 7}}] Table[PDF[HypergeometricDistribution[5, ns, 10], k], {ns, {2, 5, 7}}] Table[PDF[HypergeometricDistribution[5, ns, 10], k], {ns, {2, 5, 7}}]

\{\frac{1}{252}\binom{2}{k}\binom{8}{5−k}, \frac{1}{252}\binom{5}{5−k}\binom{5}{k}, \frac{1}{252}\binom{3}{5−k}\binom{7}{k}\}

超幾何分布 (HypergeometricDistribution[n,n_{succ},n_{tot}])

確率 : n = 15, \frac{n_{s}}{n_{t}} = \frac{4}{20}, \frac{10}{20}, \frac{14}{20} (n < n_{t}) 確率 : n = 15, \frac{n_{s}}{n_{t}} = \frac{4}{20}, \frac{10}{20}, \frac{14}{20} (n < n_{t}) 確率 : n = 15, \frac{n_{s}}{n_{t}} = \frac{4}{20}, \frac{10}{20}, \frac{14}{20} (n < n_{t})
Table[PDF[HypergeometricDistribution[15, ns, 20], k], {ns, {4, 10, 14}}] Table[PDF[HypergeometricDistribution[15, ns, 20], k], {ns, {4, 10, 14}}] Table[PDF[HypergeometricDistribution[15, ns, 20], k], {ns, {4, 10, 14}}]

図 8 超幾何分布 HyperGeom(n,n_{succ},n_{tot}), n の変化

超幾何分布 HyperGeom(5,n_{succ},n_{tot})

\frac{n_{succ}}{n_{tot}} = \frac{2}{10}, \frac{5}{10}, \frac{7}{10} (n < n_{tot})

ListPlot[Table[{k, ListPlot[Table[{k, ListPlot[Table[{k,
PDF[HypergeometricDistribution[5, ns, 10], k] PDF[HypergeometricDistribution[5, ns, 10], k] PDF[HypergeometricDistribution[5, ns, 10], k]
}, {ns, {2, 5, 7}}, {k, 0, 5}], }, {ns, {2, 5, 7}}, {k, 0, 5}], }, {ns, {2, 5, 7}}, {k, 0, 5}],
PlotMarkers → Automatic, PlotMarkers → Automatic, PlotMarkers → Automatic,
Joined → True, Joined → True, Joined → True,
PlotRange → Automatic] PlotRange → Automatic] PlotRange → Automatic]

\{\frac{\binom{4}{k}\binom{16}{15−k}}{15504}, \frac{\binom{10}{15−k}\binom{10}{k}}{15504}, \frac{\binom{6}{15−k}\binom{14}{k}}{15504}\}

図 9 超幾何分布 Hypergeom[n,n_{succ},n_{tot}], n の変化

超幾何分布 (HypergeometricDistribution[15,n_{succ},n_{tot}])

\frac{n_{s}}{n_{t}} = \frac{4}{20}, \frac{10}{20}, \frac{14}{20} (n < n_{t})

ListPlot[Table[{k, ListPlot[Table[{k, ListPlot[Table[{k,
PDF[HypergeometricDistribution[15, ns, 20], k] PDF[HypergeometricDistribution[15, ns, 20], k] PDF[HypergeometricDistribution[15, ns, 20], k]
}, {ns, {4, 10, 14}}, {k, 0, 15}], }, {ns, {4, 10, 14}}, {k, 0, 15}], }, {ns, {4, 10, 14}}, {k, 0, 15}],
PlotMarkers → Automatic, PlotMarkers → Automatic, PlotMarkers → Automatic,
Joined → True, Joined → True, Joined → True,
PlotRange → Automatic] PlotRange → Automatic] PlotRange → Automatic]

図 10 超幾何分布 Hypergeom[n,n_{succ},n_{tot}], n の変化

超幾何分布 (HypergeometricDistribution[15,n_{succ},n_{tot}])

\frac{n_{s}}{n_{t}} = \frac{40}{200}, \frac{100}{200}, \frac{140}{200} (n < n_{t})

ListPlot[Table[{k, ListPlot[Table[{k, ListPlot[Table[{k,
PDF[HypergeometricDistribution[15, ns, 20], k] PDF[HypergeometricDistribution[15, ns, 20], k] PDF[HypergeometricDistribution[15, ns, 20], k]
}, {ns, {40, 100, 140}}, {k, 0, 15}], }, {ns, {40, 100, 140}}, {k, 0, 15}], }, {ns, {40, 100, 140}}, {k, 0, 15}],
PlotMarkers → Automatic, PlotMarkers → Automatic, PlotMarkers → Automatic,
Joined → True, Joined → True, Joined → True,
PlotRange → Automatic] PlotRange → Automatic] PlotRange → Automatic]

ベータ分布: BetaDistribution[α,β]

図 11 2 項分布 Binom[n,p

いままでの超幾何分布は２項分布に近づく状況を示すために、 n = 15, での 2 項分布 (BinomialDistribution[15,p,] p = \frac{n_{s}}{n_{t}} =

\frac{40}{200}, \frac{100}{200}, \frac{140}{200} を描く。

ListPlot[Table[{k, ListPlot[Table[{k, ListPlot[Table[{k,
PDF[BinomialDistribution[15, p], k] PDF[BinomialDistribution[15, p], k] PDF[BinomialDistribution[15, p], k]
}, {ns, {40, 100, 140}}, {k, 0, 15}], }, {ns, {40, 100, 140}}, {k, 0, 15}], }, {ns, {40, 100, 140}}, {k, 0, 15}],
PlotMarkers → Automatic, PlotMarkers → Automatic, PlotMarkers → Automatic,
Joined → True, Joined → True, Joined → True,
PlotRange → Automatic] PlotRange → Automatic] PlotRange → Automatic]

α, β は正の実数でよい。極めて広範囲の形状となる分布形。 α = β = 1 では連続型一様分布。

Beta[α, β] ∼ \frac{1}{B(α, β)}x^{α−1}(1 − x)^{β−1}, 0 < x < 1

5 本のベータ分布を描く命令とその結果：

Show[Plot[{ Show[Plot[{ Show[Plot[{
PDF[BetaDistribution[1/2, 1/2], x], PDF[BetaDistribution[1/2, 1/2], x], PDF[BetaDistribution[1/2, 1/2], x],
PDF[BetaDistribution[1, 2], x], PDF[BetaDistribution[1, 2], x], PDF[BetaDistribution[1, 2], x],
PDF[BetaDistribution[3, 3], x], PDF[BetaDistribution[3, 3], x], PDF[BetaDistribution[3, 3], x],
PDF[BetaDistribution[5, 2], x], PDF[BetaDistribution[5, 2], x], PDF[BetaDistribution[5, 2], x],
PDF[BetaDistribution[1, 1], x]}, PDF[BetaDistribution[1, 1], x]}, PDF[BetaDistribution[1, 1], x]},
{x, 0, 1}], {x, 0, 1}], {x, 0, 1}],
Graphics[{ Graphics[{ Graphics[{
Text[" ベータ分布の密度関数 ", {0.5, 3.5}], Text[" ベータ分布の密度関数 ", {0.5, 3.5}], Text[" ベータ分布の密度関数 ", {0.5, 3.5}],
Text["α=β=1/2", {0.1, 3.2}], Text["α=β=1/2", {0.1, 3.2}], Text["α=β=1/2", {0.1, 3.2}],
Text["α=1, β=2", {0.25, 1.9}], Text["α=1, β=2", {0.25, 1.9}], Text["α=1, β=2", {0.25, 1.9}],
Text["α=β=3", {0.5, 2.2}], Text["α=β=3", {0.5, 2.2}], Text["α=β=3", {0.5, 2.2}],
Text["α=5,β=3", {0.8, 2.8}], Text["α=5,β=3", {0.8, 2.8}], Text["α=5,β=3", {0.8, 2.8}],
Text["α=β=1", {0.1, 0.8}]}]] Text["α=β=1", {0.1, 0.8}]}]] Text["α=β=1", {0.1, 0.8}]}]]

図 12 5 本のベータ分布 Beta[α,β

1 幾何分布と指数分布

幾何分布と指数分布は、仲のよい兄弟分としての性質を示します。（１）メモリーレス、（２）平均や分散（３）条件付き期待値の関係式などが挙げられます。

図 13 幾何分布 Geom[p]  図 14 指数分布 Expo[λ]

幾何分布と指数分布幾何分布と指数分布幾何分布と指数分布
GeometricDistribution[p], 0 < p < 1 GeometricDistribution[p], 0 < p < 1 GeometricDistribution[p], 0 < p < 1
ExponentialDistribution[lm], lm > 0 ExponentialDistribution[lm], lm > 0 ExponentialDistribution[lm], lm > 0

幾何分布のパラメータ変化幾何分布のパラメータ変化幾何分布のパラメータ変化幾何分布の確率密度：幾何分布の確率密度：幾何分布の確率密度： PDF[GeometricDistribution[p], k] PDF[GeometricDistribution[p], k] PDF[GeometricDistribution[p], k] (1−p)^{k}p ListPlot[Table[{k, ListPlot[Table[{k, ListPlot[Table[{k,

PDF[GeometricDistribution[p], k]}, PDF[GeometricDistribution[p], k]}, PDF[GeometricDistribution[p], k]},
{p, {0.1, 0.3, 0.5, 0.8}}, {k, 0, 15}], {p, {0.1, 0.3, 0.5, 0.8}}, {k, 0, 15}], {p, {0.1, 0.3, 0.5, 0.8}}, {k, 0, 15}],
PlotMarkers → Automatic, Joined → True, PlotRange → {{0, 15}, {0, 0.8}}] PlotMarkers → Automatic, Joined → True, PlotRange → {{0, 15}, {0, 0.8}}] PlotMarkers → Automatic, Joined → True, PlotRange → {{0, 15}, {0, 0.8}}]

指数分布のパラメータ変化指数分布のパラメータ変化指数分布のパラメータ変化指数分布の確率密度：指数分布の確率密度：指数分布の確率密度： PDF[ExponentialDistribution[lm], x] PDF[ExponentialDistribution[lm], x] PDF[ExponentialDistribution[lm], x] e^{−lmx}lm Plot[ Plot[ Plot[

{PDF[ExponentialDistribution[0.3], x], {PDF[ExponentialDistribution[0.3], x], {PDF[ExponentialDistribution[0.3], x],
PDF[ExponentialDistribution[0.5], x], PDF[ExponentialDistribution[0.5], x], PDF[ExponentialDistribution[0.5], x],
PDF[ExponentialDistribution[0.8], x]}, PDF[ExponentialDistribution[0.8], x]}, PDF[ExponentialDistribution[0.8], x]},
{x, 0, 15}, PlotRange → {{0, 15}, {0, 0.8}}] {x, 0, 15}, PlotRange → {{0, 15}, {0, 0.8}}] {x, 0, 15}, PlotRange → {{0, 15}, {0, 0.8}}]

2 2 項と正規

2 項分布と正規分布 2 項分布と正規分布 2 項分布と正規分布
2 項分布とポアソン分布 2 項分布とポアソン分布 2 項分布とポアソン分布
一様分布の和と正規分布一様分布の和と正規分布一様分布の和と正規分布
一様分布とコーシー分布一様分布とコーシー分布一様分布とコーシー分布

Tally[list] Tally[list] Tally[list]
Tally[{a, a, b, a, c, b, a}] – →>> Tally[{a, a, b, a, c, b, a}] – →>> Tally[{a, a, b, a, c, b, a}] – →>>
{{a, 4}, {b, 2}, {c, 1}} {{a, 4}, {b, 2}, {c, 1}} {{a, 4}, {b, 2}, {c, 1}}

順序統計量順序統計量順序統計量
Median[list] Median[list] Median[list]
Median[{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}] – →>> 4 Median[{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}] – →>> 4 Median[{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}] – →>> 4
Median[{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}] – →>> 9/2 Median[{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}] – →>> 9/2 Median[{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}] – →>> 9/2
下位四分位点および上位四分位点：下位四分位点および上位四分位点：下位四分位点および上位四分位点：

Quantile[{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, {1/4, 3/4}] – →>> Quantile[{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, {1/4, 3/4}] – →>> Quantile[{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, {1/4, 3/4}] – →>>
{2, 6} {2, 6} {2, 6}
Histogram[RandomReal[NormalDistribution[0, 1], 200]] Histogram[RandomReal[NormalDistribution[0, 1], 200]] Histogram[RandomReal[NormalDistribution[0, 1], 200]]