統計密度のプロット

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目次

1  プロット命令  1
2  正規分布のとき  1
3  カイ 2 乗分布のとき  2
4  離散型分布  3
5  連続型分布  5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 プロット命令

密度関数の関数形を表示させる命令：

PDF[{ 分布名 }[パラメータ], 変数], { 変数、最小値、最大値 }

グラフを描く命令：

Plot[PDF[{ 分布名 }[パラメータ], 変数], { 変数、最小値、最大値 }]

複数のグラフを書くときには PDF[...] の部分を { } で密度関数を並べて括る：

{PDF[{ 分布名 1}[パラメータ], 変数], ⋯, PDF[{ 分布名 n}[パラメータ], 変数]}

という形にする。

2 正規分布のとき

平均 μ と分散 σ^{2} をかえた場合の密度関数のグラフ。

PDF[NormalDistribution[μ, σ^{2}], {x, x_{min}, x_{max}}]

∼ \frac{1}{\sqrt{2πσ^{2}}} exp \{−\frac{(x − μ)^{2}}{2σ^{2}} \} , x_{min} < x < x_{max}

正規分布の密度関数を表示する正規分布の密度関数を表示する正規分布の密度関数を表示する
PDF[NormalDistribution[0, 1], x] PDF[NormalDistribution[0, 1], x] PDF[NormalDistribution[0, 1], x]

\frac{e^{− \frac{x2}{2}}}{\sqrt{2π}}

Plot[{ Plot[{ Plot[{
PDF[NormalDistribution[0, 1], x], PDF[NormalDistribution[0, 1], x], PDF[NormalDistribution[0, 1], x],
PDF[NormalDistribution[−1.5, 1], x], PDF[NormalDistribution[−1.5, 1], x], PDF[NormalDistribution[−1.5, 1], x],
PDF[NormalDistribution[−1/4, 1/2], x], PDF[NormalDistribution[−1/4, 1/2], x], PDF[NormalDistribution[−1/4, 1/2], x],
PDF[NormalDistribution[0, 1.5], x], PDF[NormalDistribution[0, 1.5], x], PDF[NormalDistribution[0, 1.5], x],
PDF[NormalDistribution[1, 0.8], x]} PDF[NormalDistribution[1, 0.8], x]} PDF[NormalDistribution[1, 0.8], x]}
, {x, −3, 3}] , {x, −3, 3}] , {x, −3, 3}]

3 カイ 2 乗分布のとき

PDF[ChiSquareDistribution[ν], x], {x, x_{min}, x_{max}}]

∼ \frac{2^{−ν/2}e^{−x/2}x^{−1+ \frac{ν}{2}}}{Gamma [\frac{ν}{2} ]} , x_{min} < x < x_{max}

カイ 2 乗分布を表示し、

PDF[ChiSquareDistribution[ν], x] PDF[ChiSquareDistribution[ν], x] PDF[ChiSquareDistribution[ν], x]

\frac{2^{−ν/2}e^{−x/2}x^{−1+ \frac{ν}{2}}}{Gamma[\frac{ν}{2} ]}

\frac{2^{−ν/2}e^{−x/2}x^{−1+ \frac{ν}{2}}}{Gamma [\frac{ν}{2} ]}

パラメータ 1， 2， 3， 5 の場合をグラフ化する

Plot[ Plot[ Plot[
{PDF[ChiSquareDistribution[1], x], {PDF[ChiSquareDistribution[1], x], {PDF[ChiSquareDistribution[1], x],
PDF[ChiSquareDistribution[2], x], PDF[ChiSquareDistribution[2], x], PDF[ChiSquareDistribution[2], x],
PDF[ChiSquareDistribution[3], x], PDF[ChiSquareDistribution[3], x], PDF[ChiSquareDistribution[3], x],
PDF[ChiSquareDistribution[5], x], {x, 0, 20}] PDF[ChiSquareDistribution[5], x], {x, 0, 20}] PDF[ChiSquareDistribution[5], x], {x, 0, 20}]

パラメータの値を大きくしてプロットすると

Plot[ Plot[ Plot[
{PDF[ChiSquareDistribution[2], x], {PDF[ChiSquareDistribution[2], x], {PDF[ChiSquareDistribution[2], x],
PDF[ChiSquareDistribution[5], x], PDF[ChiSquareDistribution[5], x], PDF[ChiSquareDistribution[5], x],
PDF[ChiSquareDistribution[10], x], PDF[ChiSquareDistribution[10], x], PDF[ChiSquareDistribution[10], x],
PDF[ChiSquareDistribution[20], x], }, PDF[ChiSquareDistribution[20], x], }, PDF[ChiSquareDistribution[20], x], },
{x, 0, 50}] {x, 0, 50}] {x, 0, 50}]

4 離散型分布

最も広く使われている離散分布であり，その密度，平均，分散，その他の関連特性を計算することができる．分布自体は name[param_{1},param_{2},·] という記号形式で表される．統計分布の特性を与える Mean のような関数は，引数として分布の記号表現を取る．

BernoulliDistribution[p] 成功の確率 p の試行を 1 回行う結果、ベルヌーイ

(Bernoulli) 分布

BetaBinomialDistribution[α,beta,n] 成功確率が BetaDistribution[α,β] 確率変数である二

項分布

BetaNegativeBinomialDistribution[α,β,n] 成功確率が BetaDistribution[α,β] 確率変数である負

の二項分布

BinomialDistribution[n,p]  {各試行における成功率を p としたときに， n 回の試行 \atop のうちで起る成功の回数}
DiscreteUniformDistribution[{i_{min},i_{max}}] i_{min} から i_{max} までの整数値上での離散一様分布
GeometricDistribution[p]  {各試行における成功率を p としたときの，最初の成 \atop 功までの試行回数の幾何分布}
HypergeometricDistribution[n,n_{succ},n_{t}ot] {成功数 n_{succ} を含む大きさ n_{t}ot の母集団から標本数 \atop n を取り出したときの成功数の超幾何分布}
LogSeriesDistribution[θ]  パラメータ θ の対数級数分布
NegativeBinomialDistribution[n,p]  パラメータ n および p の負の二項分布
PoissonDistribution[μ]  平均 μ のポアソン (Poisson) 分布
ZipfDistribution[ρ]  パラメータ ρ のジップ (Zipf) 分布

一般的な離散分布のほとんどは，「成功と失敗」のような 2 通りの結果が考えられる試行の連続と考えることで理解できる．

ベルヌーイ分布 BernoulliDistribution[p] とは，成功（値 1 に対応）が p の確率で起り，失敗（値 0 に対応）が 1 − p の確率で起る 1 回 (単一) 試行の確率分布である．

二項分布 BinomialDistribution[n, p] とは，各試行における成功確率を p としたときに， n 回の独立した試行で起る成功を集計した回数値の分布である．

正の整数 n に対する負の二項分布 NegativeBinomialDistribution[n, p] とは，各試行における成功確率を p としたときに， n 回成功するまでに起った失敗回数の分布である．この分布は任意の正の n について定義される．しかし， n が整数でないときは， n が成功数， p が成功確率という解釈は当てはまらない．

ベータ二項分布 BetaBinomialDistribution[α,β,n] は二項分布とベータ分布を組み合せたものである． BetaBinomialDistribution[α,β,n] の確率変数は，成功確率 p 自体が確率変数でベータ分布 BetaDistribution[α,β] に従うもののとき、 BinomialDistribution[n, p] に従う．ベータ負の二項分布 BetaNegativeBinomialDistribution[α,β,n] はベータ分布と負の二項分布を組み合せたものである． p の値が既知のものとするのではなく、変動するものと考える。

幾何分布 GeometricDistribution[p] とは，各試行の成功率を p としたときに，最初に成功が起るまでに要した試行数の分布のことである．

超幾何分布 HypergeometricDistribution[n, n_{succ}], n_{tot}]] は n 回の試行が，成功可能回数 n_{succ} 回でサイズ n_{tot} の母集団から元に戻さずにサンプリングする（非復元抽出）ことに相当する実験で，二項分布に代り使用されるものである．

離散一様分布 DiscreteUniformDistribution[i_{min}, i_{max}] とは，同じ値の確率（等しい確率）で起る結果を i_{m}in から i_{max} までの整数で表した試行を表すものである．

ポアソン分布 PoissonDistribution[μ] とは，指定された時間内に起る事象数を記述する．ここで μ は一定時間に対する事象の平均回数である． 2 項分布の極限として得られる、稀な現象を記述するときに用いられ、重要な分布である。

θ = 0 付近の log(1 − θ) の級数展開における項は，対数分布 LogSeriesDistribution[θ] に従った離散確率変数の確率に比例する．指定された期間内に購入される製品数の分布が，この分布によってモデル化されることがある．

ジップ (Zipf) 分布 ZipfDistribution[ρ] はゼータ分布と言われることがある．これは最初言語学で使われ，珍しい事象のモデル化にまで拡張された PDF[dist,x] 分布名 dist の変数 x における確率密度関数 (proba-

bilisty density function)

CDF[dist,x] x における累積分布関数 (cumulative distribution

dunction)、

InverseCDF[dist,q]  CDF[dist,x] が最大で q となるような最大整数 x
Quantile[dist,q]  第 q 分位数
Mean[dist]  平均 (mean)
Variance[dist]  分散 (variance)
StandardDeviation[dist]  標準偏差 (standard deviation)
Skewness[dist]  歪度係数 (skewness)
Kurtosis[dist]  尖度係数 (kurtosis)
CharacteristicFunction[dist,t] 特性関数 ϕ(t) = E[e^{iXt}], X ∼ dist
ExpectedValue[f,dist]  dist の (純) 関数 f の期待値
ExpectedValue[f[x],dist,x]  dist の変数 x に対する関数 f[x] の期待値
Median[dist]  中央値
Quartiles[dist]  dist に対する 1/4，1/2，3/4 番目の四分位数 (quartile)
InterquartileRange[dist]  第 1 四分位数 (first) と第 3 四分位数 (third) との差分
QuartileDeviation[dist]  四分位範囲の半分値
QuartileSkewness[dist]  四分位数ベースの歪度
RandomInteger[dist]  指定された分布の擬似乱数
RandomInteger[dist,dims]  {次元が dims で，指定された分布の要素を持つ擬似乱 \atop 数配列}

5 連続型分布

ここに記載されている関数は，連続分布で最も一般的に使用されるものであり，連続分布の密度，平均，分散，その他の関連特性を計算することができる．分布は name[param_{1}],param_{2},…] という記号形式で表現される．統計分布の特性を与える Mean のような関数は，引数として分布の記号表現を取る．「離散分布」は多数の離散分布について記述する．

UniformDistribution[{min, max}] 区間 (min, max) における一様分布
NormalDistribution[μ,σ]  平均 μ，標準偏差 σ (分散 σ^{2}) の正規（ガウス）分布
HalfNormalDistribution[θ]  尺度がパラメータ θ に反比例する半正規分布
LogNormalDistribution[μ,σ]  {平均 μ，標準偏差 σ (分散 σ^{2}) の正規分布に基づいた \atop 対数正規分布}
InverseGaussianDistribution[μ,λ] 平均 μ，尺度 λ の逆ガウス分布

一様分布 UniformDistribution[min,max] は, 矩形分布と呼ばれることもあり，値がどこにでも等しくあるような確率変数を特徴付ける．一様分布の確率変数の例には， min から max までの直線上でランダムに選んだ点の場所がある．

対数正規分布 LogNormalDistribution[μ,σ] は正規分布に基づく確率変数の指数関数が従う分布である．この分布は多数の独立確率変数が乗法的に統合された場合に起る．半正規分布 HalfNormalDistribution[θ] は領域 [0, ∞]) に限られた分布 NormalDistribution[0, 1/(θ\sqrt{2/π})]

に比例する

逆ガウス分布 InverseGaussianDistribution[μ, λ] はワルド (Wald) 分布とも呼ばれ，正のドリフト付きブラウン運動の初期通過時間の分布である．

ChiSquareDistribution[ν]  自由度 ν の χ^{2} 分布
InverseChiSquareDistribution[ν]  自由度 ν の逆 χ^{2} 分布
FRatioDistribution[n,m]  分子の自由度が n，分母の自由度が m である F 分布
StudentTDistribution[ν]  自由度が ν のスチューデントの t 分布
NoncentralChiSquareDistribution[ν,λ] 自由度が ν，非心パラメータが λ の非心 χ^{2} 分布
NoncentralStudentTDistribution[ν,δ] {自由度が ν，非心パラメータが δ の非心スチューデン \atop トの t 分布}
NoncentralFRatioDistribution[n,m,λ] {分子の自由度が n，分母の自由度が m，非心パラメー \atop タが λ である非心 F 分布}

正規分布に従う標本に関連する分布 X_{1}, ⋯, X_{ν} が単位分散と零平均を持つ独立した正規確率変数ならば， ∑_{i=1}^{ν} X_{i}^{2} は自由度 ν の χ^{2} 分布に

したがう．正規変数からその平均を引き標準偏差で割ることにより標準化されると，その数量の平方和はこの分布に従う． χ^{2} 分布は正規分布する標本の分散を記述する場合に最もよく用いられる．

もし Y が自由度 ν の χ^{2} 分布に従うならば， 1/Y は逆 χ^{2} 分布 InverseChiSquareDistribution[ν] に従う．自由度が ν でスケールが ξ のスケールされた逆 χ^{2} 分布は InverseChiSquareDistribution[ν,ξ] として与えることができる．逆 χ^{2} 分布は，正規分布に従う標本のベイズ分析における分散の事前分布として広く使われている．

スチューデントの t 分布になる変数は，正規確率変数の関数として記述することもできる． X と Z が独立した確率変数であるとする．ここで X は標準正規分布， Z は自由度 ν の χ^{2} 変数である．この場合， X/\sqrt{Z/ν} は自由度 ν の t 分布を持つ．スチューデントの t 分布は縦軸について対称であり，正規変数のその標準偏差に対する割合を特徴付ける． ν = 1 ならば， t 分布はコーシー分布に一致する．

F 分布は 2 つの独立した χ^{2} 変数をそれぞれの自由度で割ったときの比の分布である．これは仮定検定で 2 つの母集団の分散を比較するときに広く使われる．

平均が非零の正規分布から派出する分布は非心分布と呼ばれる．非心スチューデントの t 分布 NoncentralStudentTDistribution[ν,δ] は，比 X/\sqrt{χ_{ν}^{2}/ν} を記述する．ここ

で χ_{ν}^{2} は自由度 ν の χ^{2} 確率変数， X は平均 δ, 分散 σ^{2} = 1 の正規分布の独立した確率変数である．

非心 F 分布 NoncentralFRatioDistribution[n,m,λ] は 1/mχ_{m}^{2} に対する 1/nχ_{n}^{2} の比の分布である．ここで χ_{n}^{2}(λ) は非心パラメータ λ，自由度 n の非心 χ^{2} 確率変数であり， χ_{m}^{2}(λ) は自由度 m の χ^{2} 確率変数である．

BetaDistribution[α, β]  形状パラメータが α と β の連続ベータ分布
CauchyDistribution[a,b]  位置パラメータが a，尺度パラメータが b のコーシー分布
ChiDistribution[ν]  自由度 ν の χ 分布
ExponentialDistribution[λ]  尺度がパラメータ λ に反比例する指数分布
ExtremeValueDistribution[α, β] 位置パラメータ α ，尺度パラメータ β の極値 (Fisher-Tippett) 分布
GammaDistribution[α, β]  形状パラメータ α，尺度パラメータ λ のガンマ分布
GumbelDistribution[α, β]  位置パラメータ α，尺度パラメータ β のガンベルの最小極値分布
InverseGammaDistribution[α, β] 形状パラメータ α，尺度パラメータ λ の逆ガンマ分布
LaplaceDistribution[μ,β]  平均 μ，尺度パラメータ β のラプラス（二重指数）分布
LevyDistribution[μ, σ]  位置パラメータ μ，拡散パラメータ σ のレヴィ分布
LogisticDistribution[μ,β]  平均 μ，尺度パラメータ β のロジスティック分布
MaxwellDistribution[σ]  尺度パラメータ σ のマックスウェル（マックスウェル・ボルツマン）分布
ParetoDistribution[k,β]  最小値パラメータ k ，形状パラメータ α のパレート分布
RayleighDistribution[σ]  尺度パラメータ σ のレイリー (Rayleigh) 分布
WeibullDistribution[α,β]  形状パラメータ α ，尺度パラメータ β のワイブル (Weibull) 分布

X が [−π, π] 上で一様に分布しているなら，確率変数 tan(X) は a = 0， b = 1 のコーシー (Cauchy) 分布 CauchyDistribution[a,b] に従う．

α = n/2 で λ = 2 のとき，ガンマ分布 GammaDistribution[α,λ] は n ユニットの正規確率変数の平方和に分布を記述する．この形式のガンマ分布は自由度 ν の χ^{2} 分布と呼ばれる． α = 1 のとき，ガンマ分布は，イベント間の待ち時間を記述するのによく使われる指数分布 ExponentialDistribution[λ] の形を取る．

もし確率変数 X がガンマ分布 GammaDistribution[α, β] に従うならば， 1/X は逆ガンマ分布 InverseGammaDistribution[α,1/β] に従う．確率変数 X が InverseGammaDistribution[1/2,σ/2] に従うならば， X + μ はラヴィ分布 LevyDistribution[μ,σ] に従う．

X_{1} と X_{2} が，尺度パラメータが等しい別々のガンマ分布であるとき，確率変数 X_{1}/(X_{1} + X_{2}) はベータ分布 BetaDistribution[α,β] に従う．

χ 分布 ChiDistribution[ν] は， χ^{2} 確率変数の平方根が従う分布である． n = 1 のときは， χ 分布は θ = \sqrt{π/2} の HalfNormalDistribution[θ] に等しい． n = 2 のときは， χ 分布は σ = 1 のレイリー (Rayleigh) 分布 RayleighDistribution[σ] に等しい． n = 3 のときは χ 分布は σ = 1 のマックスウェル・ボルツマン (Maxwell-Boltzmann) 分布 MaxwellDistribution[σ] に等しい．

ラプラス (Laplace) 分布 LaplaceDistribution[μ,β] は，同一の指数分布を持つ 2 つの独立した確率変数の差の分布である．ロジスティック分布 LogisticDistribution[μ,β] は裾の長い分布を望む場合に，正規分布の代りに頻繁に使われる．

パレート分布 (Pareto) 分布 ParetoDistribution[k,α] は収入を表すために使われる． k は最小の収入を示す．

ワイブル (Weibull) 分布 WeibullDistribution[α,β] は，物体の寿命を記述するために工学で広く使われている．極値分布 ExtremeValueDistribution[α,β] は，正規分布を含む多様な分布から抽出された大きい標本における最大値に対する極限分布である．このような標本の最小値に対する極限分布は，ガンベル (Gumbel) 分布 GumbelDistribution[α,β] である．最大極値と最小極値は，変数の線形変化により関連しているので，極値分布とガンベル分布は同じ意味で使われることがある．また極値分布した確率変数と，適切にシフト・スケールされたワイブル分布した確率変数との間には対数関係があるので，極値分布は対数ワイブル分布と呼ばれることもある．

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