\documentclass[a4paper]{jsarticle}
\usepackage{amsmath,amssymb,latexsym}
\usepackage{graphicx} %%% �O���t
\usepackage{slashbox} %%% �g�̎΂ߐ�

\title{�W�j�W���ƃp���[�g���z(gini.tex)}

\begin{document}

\maketitle

\section{�W�j�W��}
�W�j�W���Ƃ� �C�^���A�̌o�ϊw��Corrado Gini���P�X�P�Q�N�ɔ��\�����B
�v�Z�͗ݐϕ��z�֐����狁�߁A�������ƕs�������̈Ⴂ�̒��x��\�����̂�
���߂���A0��1�̊Ԃ̒l�ƂȂ�B
�����̗�ł͕ϐ��l�̏������z�ɑ΂��āA���̏������z�ȉ��̊������c���ɕ\���Ă����B�W�j�W���̒l0�Ƃ́A�������z�������ɔz������Ă���󋵂�\���B���Ȃ킿�ϐ��l��
���z�ɑ΂��āA�����̑����������ɂȂ�B������̋ɒ[�ȌW���l��1�Ƃ́A
����l�����ׂĂ̏������z���߂Ă���A���̑��̐l�X���������z�[���ƂȂ�ꍇ�ł���B���̂悤�ɃW�j�W�����Ⴂ�l�ł��邱�Ƃ́A�Љ�̕x�̔z���i�������z�̒l�j��
�قڕ����ɕ������Ă��邱�Ƃ������A���l���������Ƃ́A�S�̂̏��������������x��
��L���Ă��邱�ƂƂȂ�BWikipedia (Gini coefficient)���Q�ƁB�܂�100�{����
�p�[�Z���g�\���ɂ������̂��W�j�w���iGini Index�j����ԁB
http://www.sustainablemiddleclass.com/Gini-Coefficient.html
�ɂ��ߔN�̃W�j�w���̒l��r�F
\begin{center}
\begin{tabular}{llll}
 Japan 24.9 & United Kingdom 36.0 &
 Sweden 25.0 & Iran 43.0\\
 Germany 28.3 & United States 46.6 &
 France 32.7 & Argentina 52.2\\
 Pakistan 33.0 & Mexico 54.6 &
 Canada 33.1 & South Africa 57.8\\
 Switzerland 33.1 & Namibia 70.7
\end{tabular}
\end{center}

���̂悤�ȃW�j�W��(�w���j�̌��ʂ́A�o�ϊw�ł̕n�x�̎w�W�A�������̕ω���
���ׂ邽�߂ɁA�Љ�ω��␭�������̂ЂƂƂ��Č��\����Ă���B
���Ƃ��΁A���W���Ƃ��ă��[���b�p�����ł͌W���l�� 0.24����0.36�ł���̂�
�΂��āA�A�����J���O���ł�0.4�𒴂��Ă���B�܂�A�����J�Ƃ́A�n�x�̍���
�傫�����ł���B�܂������N�w�␭��̕�U�̈Ӗ��ł��A���̃W�j�W���͖𗧂�
�l������B�������傫�ȍ��Ə����ȍ��Ŕ�r���s�Ȃ��Ƃ��ɂ́A���R�����
�����炷���Ƃ𒍈ӂ��Ă����˂΂Ȃ�Ȃ��B
���E�S�̂̃W�j�W���́A���悻0.56 ����0.66�̊ԂƂ����Ă���B
Bob Sutcliffe (2007), Postscript to the article 
�eWorld inequality and globalization�f (Oxford Review of Economic Policy, 
Spring 2004), <http://siteresources.worldbank.org/INTDECINEQ/Resources/PSBSutcliffe.pdf>. Retrieved on 2007-12-13


\section{�W�j�W���̌v�Z}
�v�Z���F
\[G = 1- 2 \int_0^1 L(x)dx = \dfrac{ 1/2- \int_0^1 L(x)dx}{1/2} 
\quad 
\mbox{or}
\quad 
=  1- 2 \sum_i L(x_i) (i.e. L(x)\mbox{�̖ʐ�})
\]
������$L(x)$�̓��[�����c�Ȑ��ŁA

\begin{center}
\input{gini1.wtc}
\end{center}

���Œ�߂�F

(1) ���U�^���z�̂Ƃ��G
$i =1,  2,  \cdots,  n$
\begin{center}
\begin{tabular}{lllllll} \hline
 �l         & $x_i$  & $x_1$ & $x_2$ & $\cdots$ & $x_n$  \\ \hline \hline
 �m��       & $p_i=f(x_i)$  & $p_1$ & $p_2$ & $\cdots$ & $p_n$ & \\ \hline
 �ݐϊm��   & $F_i$         & $F_1=p_1$ & $F_2=p_2+F_1$ & $\cdots$ & $F_n=p_n+F_{n-1}=1$ & \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\[
 \begin{array}{ll}
 L_i & = \sum_{j=1}^{i} x_j f(x_j) \big/ L 
  = \sum_i \dfrac{L_{i+1}+L_{i}}{2}(F_{i+1}-F_i) \\[1.5ex]
 & \mbox{������} L = \sum_{j=1}^{n} x_j f(x_j)
 \end{array}
 \quad (i =1,  2,  \cdots,  n) 
\]

�����F
$L_0 = 0 \leq L_1 \leq L_2 \leq \cdots \leq L_{n-1} \leq L_n =1$
�����֐��ŁA���ɂƂ̌`�����A0����1�܂ŕω�����B

(2) �A���^���z�̂Ƃ��G
$ -\infty < x < \infty$
\begin{center}
\begin{tabular}{ll} \hline
 �l         & $x$  \\ \hline \hline
 �m��       & $f(x)$ \\ \hline
 �ݐϊm��   & $F(x)  = \int_{-\infty}^x f(t) dt$ \\ \hline
\end{tabular}
\qquad 
\(
 L(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^x t f(t) dt \Big/ L
 \quad (0 \leq x \leq 1)
 \mbox{������}\, L= \int_{-\infty}^{\infty} t f(t) dt
\)
\end{center}


�����F

(i)
$L(0) = 0 \leq L(x)  \leq \cdots \leq L(y) \leq L(1) =1,  0 < x <y <1$

(ii)
$0 < L(x) \leq x, 0 < x < 1$


 (1) �ΏۂƂȂ�W�c�Ɋ܂܂�邷�ׂĂ̐��l�Ԃ̍��̐�Βl�����v���āA
���ς���$D=\dfrac{1}{n^2}\sum_{i,j}|x_i - x_j|
= \dfrac{2}{n^2} \sum_{i \leq j}|x_i - x_j| $
�i������u���ύ��v�Ƃ����j����������$n^2$���Ӗ�������̂�
$n(n-1)$�ł��邩��A�����p����ꍇ������B�萔�{�̈Ⴂ���o��B

(2)�S�̂̕��ϒl$\overline{x} = \dfrac{1}{n}\sum_i x_i$���v�Z����B

(3)���ύ���S�̂̕��ϒl�̂Q�{�Ŋ���
�i�Q�{�Ŋ���̂́A�W�j�W����$0$��$1$�̊ԂɎ��߂邽�߁j�B
���̌��ʂ��W�j�W��
\[
 G = \dfrac{D}{2 \overline{x}}
\]
�ł��B



\section{���}
���F

10�l�̏������z�𒲂ׂ�ƁA���̃f�[�^�𓾂��B���̏W�c�ɂ�����W�j�W����
�v�Z����B

\begin{center}
\begin{tabular}{l|lll|l} \hline
  ����  & 50 &  100 &  200  &  �v \\
  �l��  &  4 &    4 &    2  &  10 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\noindent
�i���j�ݐϑ��Γx�����v�Z����ƁA

\begin{tabular}{l|lll|l}  \hline
 $n=3$      &  $i=1$     &    $i=2$           &    $i=3$         &   \\ \hline
 �����~�l�� & 50$\times$4 = 200 & 100$\times$4=400 & 200$\times$2 =400
                                                        & ���v 1000 \\
 ��L�̑��Βl$(L_i)$ & 200/1000 = 0.2 & 400/1000 = 0.4 & 400/1000 =0.4    & \\
 �ݐϒl     & 0.2            & 0.2+0.4= 0.6   & 0.2+0.4+0.4 =1.0 & \\ \hline
 �l��      &  4             &    4           &    2             & 10  \\
 ���Ηݐϒl$(F_i)$  &  4/10=0.4 & 0.4 + 4/10 =0.8 &  0.8+ 2/10=1.0 & \\ \hline
\end{tabular}

\noindent
�l���̗ݐϑ��Βl�Ə����v�̗ݐϑ��Βl�̑g $(F_i,L_i) i=0,1,2,\cdots, n$ ������
$(F_0,L_0) = (0,0), (F_n,L_n) = (1,1)$ �������A���ꂪ���[�����c�Ȑ��ł���A
���̉���$(F_i)$�ɑ΂���c��$(L_i)$�̒l�ɂ��āA�܂���O���t�̖ʐς�
\[ 
 \sum_i L(F_i) \Delta F_i 
  = \sum_{i=0}^{n-1} \dfrac{L_{i+1} +L_i}{2} (F_{i+1} -F_i)
\] 
�ŋ��߂�B
\begin{center}
\input{gini2.wtc}
\end{center}
��L�̐����ɓ��Ă͂߂��
$
\sum_i L(F_i) \Delta F_i = \dfrac{0.2 + 0.0}{2} (0.4 - 0.0)
                           + \dfrac{0.6 + 0.2}{2} (0.8 -0.4)
                           + \dfrac{1.0+0.6}{2} (1.0 -0.8)
                         = 0.04 + 0.16 + 0.16 = 0.36
$
�����[�����c�Ȑ��̐ϕ��ɑ�������B����������
$G = 1 - 2 \sum_i L(F_i) \Delta F_i = 1 - 2 \times 0.36 = 0.28$ (�I���)





\section{�p���[�g���z(pareto)}

��\�I��"The long tail distribution"���̒������z�A���邢�͐��̏d�����z��
�����A�Q�̌`�Ǝړx�̃p�����[�^�A$k, x_m$������L���^���z�B
�����d�����Ƃ���A�W�O�|�Q�O�����A���Ȃ킿�W�c�̂Q�O�������z�S�̂̂W�O����
��߂邱�Əd�v�ȕ��z�ł���B���Ƃ��Εx�̑S�̔z�����킸���̐l�X��
��߂��Ă���Љ�󋵂𔽉f���Ă��镪�z�Ƃ��ĉ��߂����B

 \begin{figure*}
 \includegraphics[width=8cm]{Pareto.eps}
 \input{pareto2.wtc}
 \caption{�p���[�g���z$k=1,2,3$, $x_m=1$�̗�Ɛ��̒������z}
 \end{figure*}

�m���ϐ�$X$���p�����[�^$k,x_m$�̃p���[�g���z�Ƃ�
�m�����x�֐� 
\[
  f(x) = k \dfrac{x_m^k}{x^{k+1}}, x > x_m
\]
�ŗ^�����A
\begin{itemize}
  \item[(a)]
     �������̊m�� $P(X>x) = \left(\dfrac{x}{x_m}\right)^{-k}, x > x_m$
  \item[(b)]
     ���z�֐� $F(x) = P(X \leq x) = 
     \int_{x_m}^{x} f(t) dt = 1- \left(\dfrac{x_m}{x}\right)^k$
  \item[(c)]
     ���� $EX = \dfrac{k}{k-1}x_m (k>1)$, 
     ���U $Var(X) = \dfrac{k}{k-2}\left(\dfrac{x_m}{k-1}\right)^2,  k >2$
\end{itemize}
�ŗ^������B

���[�����c�Ȑ� 
\[
  L(F) :  L(x) = 1- (1-x)^{1-1/k} (0 \leq  x \leq 1)
\]
�W�j�W���� $G  = 1- 2 \int_0^1 L(F) df = \dfrac{1}{2k -1}$�ƂȂ�B
$k$ ���傫����Ό����ł��邪�A�������Ƃ��ɂ́A�����������Ȃ��B
���x�֐��̌`������W�O�|�Q�O�������݂邱�Ƃ��ł���B


\bigskip

{\bf ��1.}
10�l�̏������z�𒲂ׂ�ƁA���̃f�[�^�𓾂��B���̏W�c�ɂ�����W�j�W����
�v�Z����B

�f�[�^�i�`�j�F
\begin{center}
\begin{tabular}{l|lll|l} \hline
  ����  & 50 &  100 &  200  &  �v \\
  �l��  &  5 &    3 &    2  &  10 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

�f�[�^�i�a�j�F
\begin{center}
\begin{tabular}{l|lll|l} \hline
  ����  & 50 &  100 &  200  &  �v \\
  �l��  &  4 &    3 &    3  &  10 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}


{\bf ��2.}
�p���[�g���z�ɂ����镽�ςƕ��U���v�Z����B����ɃW�j�W����
���߂�B



\end{document}
