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賭け金の分配 — パスカルとフェルマー

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2010 年 8 月 16 日版

目次

1  確率の黎明期  1
2  パスカルとフェルマの往復書簡  3
3  賭け金の分配  4
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1 確率の黎明期

多種多様なギャンブルは人々の射幸心を煽り、金銭欲や良し悪しの罪悪とも関連して経済活動とも無関係ではない。運分天分に支配されながらも、ある程度の確率による変動を伴う事柄において、良い結果が得られた時の高揚感をもたらす。人々は幸運を得ようと、投機や投資をはじめ、賭博など期待値の低い事業に興じ、浪費する傾向も見られる。一攫千金で多額の金銭を手にしようと思うならば、中世で社会的な特権をもち、時間をもてあます貴族たちには、とくに誘惑に誘われるであろう。

１６世紀の中世において、賭博（とばく、ギャンブル（Gamble）、博打、博奕（ばくち）、賭け事（かけごと））は、金銭や品物などの財物を賭けて偶然性の要素が含まれる勝負を行い、その勝負の結果によって賭けた財物のやりとりもごく自然なことであろう。あるいは現代の一部部分にも反映されているかも知れない。人間の金銭欲、独占欲は、より多くの深い欲を望む。貴族がお抱え学者に知識を求めたことも、現代にしてみればスーパーコンピュータによる金融工学、数理ファイナンスにも結びついていると考えられなくもない。

図 1 カルダノ最初に「確率」を数理的に考えたのはイタリアのカルダノ（Hieronimo(Girolamo) Cardano, 1501.9.24 - 1576.9.21）といわれる。一般に数学者として知られているが、本業は医者、占星術師、賭博師、哲学者でもあった。この人はルネサンス期に， 3 次方程式， 4 次方程式の解の公式を最初に発見したことで知られているが，本職は賭博師ではなかったかといわれる。カルダノの方法は技巧的な『サイコロ遊びについて』などいくつかの書物があるが，要するにサイコロ賭博の手引き書だった．彼は「確からしさ (favourable)」という考え方をつかんでいた。当時数学的知識は師から弟子へと口伝されるような秘術の一種であり、いまだ近代的な学問としての体をなしていなかった。カルダーノの『偉大なる術』の発表は、数学が共有される知である学問として自立を始めた端緒ということができ、「古い数秘術師」であるニコル・フォンタナ・タルタリア^{*1}を牽制する目的もあったと考えられる。彼は金遣いが荒いことで知られており、本人は自身を賭博者、あるいはチェスのプレーヤーだと考えていたようである。しかし“数学者”らしく、 1560 年代に『さいころ遊びについて』（Liber de ludo aleae、発行されたのは彼の死後 1663 年）を著し、そのなかで効率的なイカサマの方法として、はじめて系統的に確率論について触れて記している。「ギャンブラーにとっては、全くギャンブルをしないことが最大の利益となる。」という言葉も残している。たとえばサイコロを 2 つ投げて，その答を出している。彼はすべての場合を書きあげ， 7 に賭けるのがいちばん有利だと結論を出してる．

目の数場合の数 2 1 3 2 4 3 5 4 6 5 7 6 8 5 9 4 10 3 11 2 12 1 次に登場するのはあの有名なガリレオ・ガリレイ（Galileo Galelei、ユリウス暦 1564 年 2 月 15 日 - グレゴリオ暦 1642 年 1 月 8 日）はイタリアの物理学者、天文学者、哲学者であり、パドヴァ大学教授。その業績から天文学の父と称される。ガリレオは、科学分野で実験結果を数学的に分析するという画期的手法で高く評価されている。彼以前にはこのような手法はヨーロッパには無かった。彼はあるとき親しい賭博師から相談を受けた．科学者とか数学者は賭博の相談役だったのだ．科学の問題について教会の権威やアリストテレス哲学に盲目的に従うことを拒絶し、哲学や宗教から科学を分離することに寄与し、「科学の父」と呼ばれることで今日では名を馳せる。

つぎのような逸話が残っているが、出典は明らかでない。

3 つのサイコロを同時に投げ，その目の和に賭けるとき，目の和が 9 になるのは (1,2,6),(1,3,5),(1.4.4),(2,2,5),(2,3,5),(3,3,3) の 6 通り．目の和が 10 になるのも (1,3,6),(1,4,5),(2.2.6),(2,3,5),(2,4,4),(3,3,4) の 6 通り．しかし多くの勝負をしてきた経験からするとどうも 10 に賭けるほうが，ほんの少しだが有利なようだ．これはなぜなのか．ちゃんと説明できるだろうか．硬貨の場合と同様に，一つ一つのサイコロでどの目が出るかは同様に確からしい．また， 3 つのサイコロは互いに影響されないと仮定する。すると硬貨の場合と同様に， 3 つのサイコロを区別して考えなければならず，すべての目の出方は 6^{3} = 216 通りとなり，この一つ一つが同様に確からしい．このとき， 3 つの目が (1,3,6) となるのは，この並べ方だけあり， 6 通り． 3 つの目が (2,2,5) となるのは，この並べ方だけあり， 3 通り．だからそれぞれの目の組合せが起きる確率は 6/216 と 3/216 なる．つまり，これらは同様に確からしくはない．順列 (並べ順) と組合せが区別されていない.

図 2 ガリレオ目の和が 9 になる確率は (6+6+3+3+6+1)/216=25/216 ．それに対して目の和が 10 になる確率は (6+6+3+6+3+3)/216=27/216 ．組合せも順列もない時代，やはりガリレオはあらゆる場合を書き出してこのことを説明している．これを経験から見抜いた賭博師も偉い！しかしこれを説明したガリレオはもっと偉い．不確実な現象を科学的に説明しようとする学問への態度からすれば、当然のことというかも知れないが。

*1 1499 年または 1500 年-1557 年 12 月 13 日、アルキメデスやユークリッドのイタリア語訳を含む多くの著書をの初めて著し、数

学関係の編集の分野で高く評価された。二項係数を得るパスカルの三角形は、別名をタルタリアの三角形ともいう

2 パスカルとフェルマの往復書簡

ブレーズ・パスカル（Blaise Pascal、 1623 年 6 月 19 日 - 1662 年 8 月 19 日）は、フランスの数学者、物理学者、哲学者、思想家、宗教家である。早熟の天才で、その才能は多分野に及んだ。パスカルの定理やパスカルの三角形など多数の発見のほか、「人間は考える葦である」という、著作『パンセ』のなかの一節でも知られている。フランス中部のクレルモンにおいて、徴税の仕事をする行政官を父として生まれ、幼少の頃から天才ぶりを発揮、 17 歳の時には、機械式計算機の構想・設計・製作に着手し、それを見事に 2 年後に完成させた。これによって、父親の徴税官の（計算の）仕事を楽にしようとしたのだ、とも言われている。父の死後、人間についての考察に興味を示し、信仰について意識を向けた。神の「恩寵」について弁護する論を展開したり、イエズス会の（たるんでしまっていた）道徳観を非難したため、広く議論が巻き起こったという。また、キリスト教を擁護する書物（護教書）の執筆をし、パスカルの死後整理され、『パンセ』として出版された。そこに残された深い思索の痕跡が、後々まで人々の思想に大きな影響を与え続けている。日本人にも馴染み深い「クレオパトラの鼻が短ければ―」の一節は、パスカルの考える人間という存在の本質、つまり絶対的指針を持たない、流動的で相対的な儚さを示唆している。そのため、この一節を引用して「クレオパトラは絶世の美女であった」という事を理解しようとするのは、あまり正しい認識とは言えない。以下、パスカルの全体的な意図が推察出来る部分を『パンセ』より引用する。図 3 パスカル≪クレオパトラの鼻、それがもう少し低かったら、大地の全表面は変わっていたであろう。空虚。―恋愛の原因と結果。クレオパトラ。人間の虚しさを示すには、恋愛の原因とその結果が如何なるものとなったかを考えてみるに越した事は無い。なぜなら、全世界はそれによって変わるからである。クレオパトラの鼻。≫（なお「人間の〜クレオパトラの鼻」までの文章は、パスカルが線を引いて消しておいたらしい。文章的な表現で気に入らぬところがあったのであろう。）『パンセ』前田陽一・由木康共訳, 中公文庫 ISBN 4122000602、新版が中公クラシックス全 2 巻、 2001 年.

パスカルの賭け（パスカルのかけ、英: Pascal’s Wager, Pascal’s Gambit）とは、パスカルが提案したもので、理性によって神の実在を決定できないとしても、神が実在することに賭けても失うものは何もないし、むしろ生きることの意味が増すという考え方である。『パンセ』の 233 節にある。『パンセ』は、パスカルが晩年にキリスト教弁証学についての書物を構想して書き綴った断片的ノートを死後にまとめたものである。歴史的には、パスカルの賭けは確率論の新たな領域を描き出したという点で画期的であり、無限という概念を使った初期の 1 例であり、決定理論の形式的応用の最初の例であり、プラグマティズムや主意主義といったその後の哲学の先取りでもあった [Alan Hajek, Stanford Encyclopedia of Philosophy、 Pascal’s Wager First published Sat May 2, 1998; substantive revision Wed Jun 4, 2008]。パスカルは、理性が信頼できないなら、神の存在を信じることは、そうしないことよりよい「賭け」である、と主張した。

ピエール・ド・フェルマー（Pierre de Fermat、 1607 年末もしくは 1608 年初頭- 1665 年 1 月 12 日）はフランスの数学者。「数論の父」とも呼ばれる。ただし、彼は実際には弁護士を職業としており、数学は余暇に行ったものである。数学においては、パスカルと共同で確率論の基礎を作り、デカルトとは文通を交わしながら独立に解析幾何学を発明するなどの功績を残す。解析幾何学はデカルトのほうが名を馳せてはいるが。フェルマーの数論における仕事が世に知られるようになったのは、その死後に長男のクレマンが『算術』を父の書き込み付きで再出版してからであり、数論の研究においては事実的に孤立していた。 48 の書き込みのうち 47 の命題は後世の数学者達によって肯定的証明または否定の証明が与えられたが残りの 1 つは長年にわたって解かれずに未解決でいた。最後に残された、という意味でフェルマーの最終定理とも呼ばれるようになったその有名な命題は、意味だけなら小学生の算数でも理解できる単純な内容であるにも関わらず、プロ・アマ誰一人として証明も否定も成功せず 360 年に亘って数学の原動力の一つであり続けた。この問題は最終的に 1995 年、アンドリュー・ワイルズが谷山・志村予想の一部を証明したことによって漸く解決され、このことは 20 世紀数学の掉尾を飾る金字塔となった (足立恒雄『フェルマーを読む』日本評論社、 1986 年。 ISBN 4535781532)。

図 4 フェルマー

3 賭け金の分配

古典的に有名な”Problem  of  points”ある
いは”division  of  the  stakes”  とよばれる。

http://www.mathforum.org/isaac/problems/prob1.html

ある２人， A と B が互いに 32 円ずつ出して勝負している．互いの実力は同じである． 1 回勝つと 1 点もらえて，先に 3 点獲得した方が優勝し賭金 64 円をもらう． A が 2 点獲得し B が 1 点獲得しているときに，やむを得ない事情で勝負を中止しなければならなくなった． 64 円をどのように分配すべきか．

この問題はパスカルとフェルマの往復書簡中で議論されている問題である． 2 人は，ド・メレという人から出された「分配問題」を議論し，いろんな方法で考えている．一般的な解法はパスカルが出している．これを変数値で計算するとつぎのような問題である。 A と B の２人が互いに c 円ずつ出して勝負している． A が勝つ確率は p で B が勝つ確率は q であるとする． p + q = 1 である． 1 回勝つと 1 点もらえて，先に N 点獲得した方が優勝し賭金 2c 円をもらう． A が a 点獲得し B が b 点獲得しているときに，やむを得ない事情で勝負を中止しなければならなくなった． 2c 円をどのように分配すべきか． A が勝つためにはあと N − a 点， B が勝つためにはあと N − b 点必要である．これをもとに，この後引き続いて勝負をしたとして， A の勝つ確率， B の勝つ確率を計算し，その比に応じて分配すればよい．

つまり，この時点で A のもらえる期待値， B のもらえる期待値を計算すると言うこと． r = N −a, s = N −b とおいて計算式を作る．

最大 r + s − 1 回勝負すればいずれかの勝ちが決まる．そこで n = r + s − 1 とする． A が r 回勝つまでに B が k 回勝つとすると (k = 0, ⋯, s − 1)，その事象は， r − 1 + k 回中 k 回 B が勝ち， r + k 回目に A が勝つ事象であるから，その確率は２項確率の計算から、

\binom{r − 1 + k}{k}p^{r−1}q^{k}p, (k = 0, ⋯, s − 1)

となる．よって A が勝つ確率は

p^{r} ∑_{k=0}^{s−1} \binom{r − 1 + k}{k}q^{k}

が得られた．最初の問題では r = 1, s = 2, p = q = \frac{1}{2} なので， A が勝つ確率は

\frac{1}{2} (1 + \frac{1}{2}) = \frac{3}{4}

で、ゆえに 64 円のうち A と B には

64 × \frac{3}{4} = 48, 64 × \frac{1}{4} = 16

ずつ分配すればよい．パスカルはこの計算をするのにいわゆる「パスカルの三角形」を使っている．後にパリ科学アカデミーとなる機関にあてた 1654 年の書簡の中で，パスカルはつぎのように述べている．

正当に競い合っている演技者双方に，不確定な未来がつねに正確に配当されるようにするための，理 にかなった計算は，うまくできませんでした．確かに，偶然の推理を探究すればするほど，調べてわ かることはほんのちょっぴりしかありません．あいまいさ，例えばくじ引きという事象は，必然性よ りむしろ全く偶然性に左右されることが自然なのでして，それによって報酬が分配されるのでありま す．それゆえ，いままではそのような事柄は不確かなものだとしてきました．しかし，いま経験にさ からってまでも偶然を支配している論拠をはっきりとさせたいと存じます．もち論，そのようなこと を幾何学的方法によって学問的な保証をとりつけ，確実性がこの種の偶然性にも関係している事実を 大胆に打ち出そうと思っています．そして，数学が不確実な事象をひき起こすサイコロと結びついて いることを示し，加えて偶然と確実の相矛盾したものを統一的にとらえ，統一されたものは偶然とも 確実とも指名できないものでありますから，“サイコロの幾何学”という表題の本を手にとった人は きっとびっくりするに違いないと思います．この計画は実現せず，パスカルは 1662 年に 39 歳の若さで亡くなる．だが，この確信に満ちた文章は確率論の宣言といってよいほどのものである．ここに確率論は誕生した．

確率論（かくりつろん、 Probability theory）は、非決定論的過程、すなわち、不確実で確率的な予言しかできない偶然現象に対して数学的なモデルを与え、解析する数学の一分野である。 17 世紀にカルダノ、パスカル、フェルマー、ホイヘンス等によって数学の一分野としての端緒が開かれた。現代数学の確率論は、アンドレイ・コルモゴロフの ”確率論の基礎概念” （1933 年）に始まる公理主義的確率論である。他の現代数学と同様に、この確率論では「確率」が何を意味しているのかという問題は追求せず、「確率」が満たすべき性質をいくつか規定し、その性質から導くことのできる定理を突き詰めていく学問である。この確率論の基礎には集合論・測度論・ルベーグ積分があり、確率論を学ぶためにはこれらの知識が要求される。現在、確率論は解析学の一分野として分類されている。特にルベーグ積分論や関数解析学とは密接なつながりがある。もちろん離散数学との関係も依然として深いが、離散的な場合であってもその内容は解析的なものであることが多い。また、確率論は統計学を記述する際の言語や道具としても重要である。もともとサイコロ賭博といったギャンブルの研究として始まったが、今では保険や投資などの分野で実用されている。

以上、「ウィキペディア」などより引用参照のうえ作成。