\documentclass[a4paper]{jsarticle}
\usepackage{latexsym,theorem}
\usepackage[psamsfonts]{amssymb}
%\begin{proof}[Proof of hogehoge]
%�藝�̏ؖ�\end{proof}
\usepackage{mathpazo}            
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{booktabs}
\usepackage[dvips]{graphicx,color}
\newtheorem{prop}{����}[section]%����
\newtheorem{defn}{��`}[section]%��`
\newtheorem{assm}{����}[section]%����
\newtheorem{thrm}{�藝}[section]%�藝
\newtheorem{cory}{�n�@}[section]%�n
\newtheorem{lema}{���}[section]%���
\newtheorem{remk}{����}[section]%����
\newtheorem{exap}{���}[section]%���
\newtheorem{yotn}{�v�_}[section]%�v�_
\newcommand{\proof}{\textbf{�ؖ��F}}%�ؖ�

\newcommand{\hxi}{\mathrm{\xi}}
\newcommand{\remark}{\textbf{����}}

\renewcommand{\theequation}{%
\thesection.\arabic{equation}}
%\@addtoreset{equation}{section}


\title{
�Ŗސ���@�ƒ����l�̌���
}

\begin{document}
\maketitle

  �����ł̖ړI�́A�ޓx (likelihood)�A�ޓx�� (likelihood ratio)�A
�Ŗސ���@ (maximum likelihood estimation)�A����m���A�x�C�Y�̒藝
 (Bayes theorem)�Ȃǂ͊���Ȃ��ꍇ�ɂ͂킩��ɂ����B
�����ɂ��ĉ�����A�����̊T�O���璆���l�̌���A
�ΐ��ޓx��ƃJ�C�Q�擝�v�ʂƂ̊֌W�ɂ��Đ����I�ȓ��o��D�荞�݂Ȃ���
�q�ׂ�B�w���֐��Ƒΐ��֐��Ƃ̊֌W��W�J������L����B


\section{�m���Ɩޓx}
%�m���Ɩޓx

�T�C�R����U�������ʂ� 1, 2, 3, 4, 5, 6 �̂��ꂼ��̖ڂ��o��ꍇ�ɕ�������B
�����̌��ʂ��\��邱�Ƃ����ۂƂ�ԁB
�����m���炵���Ȃ�΁A���Ƃ��� 3�̖ڂ��ł鎖�ۂ̋N����m����1/6�ł���Ƃ����B
���������̂悤�ɂ��鎖�ۂ́u�m���v�Ƃ����ꍇ�A�ʏ�͂��̎��ۂ�
�܂��N���Ă��Ȃ��B3�Ƃ����ڂ��o�Ă��܂��ƁA����͐��N�����������w���Ă���
���̂ł���A�u1/6�v�Ƃ������l�͊m���Ƃ�ԊT�O�Ƃ͈�������̂ɂȂ�B
�����A�T�C�R���������Ђ���ł���Ƃ��āA���̂Ђ��݂̂��ƂŌ����m����
$p$�ŕ\���B���̂Ђ��݂ɂ��A3�̖ڂ̏o��m����
1/6���班�������Ƃ���ƁA�m����$p$�̊֐��ƂȂ�B$p$�̂悤�ɁA�e���ۂ̊m����
�e����^������q���p�����[�^�Ƃ����B
��ʂɊm���̓p�����[�^�ɂ���Ē�܂邩��A�p�����[�^�̊֐��ƂȂ�B
�Ȋw�ɂ����ẮA��X�͂܂����f���𗧂�(����)�A
���ꂪ���ۂ̊ώ@�f�[�^�ɍ����Ă��邩�ǂ����A�z�肵�����̂ƍ��v���Ă��邩��
���ƂȂ�B
���̖����l�@���邽�߂ɂ��̎w�W�Ƃ��Ėޓx�Ƃ����T�O�𓱓�����B
�ޓx���l����ꍇ�A���ۂ͊��ɋN���Ă���A�ώ@�f�[�^�������Ă��邱�Ƃ���
�o������B
�������A�����������鉼���̐��������s���ł���B
�����ŁA���郂�f�����������Ƃ��āA���̉����̉��ł́A�ώ@�f�[�^���N����m���A
���蓾�����Ȑ��l�����l����B
���ꂪ�ޓx�ł���B�ޓx�͂��΂��΁A���m�p�����[�^�̐�������邽�߂ɗp������B
�p�����[�^�Ƃ́A�Ⴆ�΃T�C�R���̂Ђ��݂̒��x�ƍl���Ă悢�B
�T�C�R���̂Ђ��݂� $p$ �ł������Ƃ��������̉��Łu3�̖ڂ��o��v�m�����l����ƁA
���ꂪ�A�u3�̖ڂ��o���v�Ƃ����ϑ��f�[�^�̉��ł̃T�C�R���̂Ђ��݂�$p$�ł���
�Ƃ��������̖ޓx�ł���B
�m�����ޓx�������␔�l�͓����ł���B�u�Ђ��݂�$p$�ł���Ƃ���3�̏o��m���v��
�u3���o���Ƃ����ώ@�f�[�^�̉��ł̂Ђ��݂�$p$�ł���Ƃ��������̖ޓx�v��
�����͓����ł���B�������A�m���Ɩޓx�͈Ӗ�����Ƃ��낪�قȂ�A
����ɌW���@�����Ⴄ�B�m�����u���ۂ̊m���v�ł���̂�
�ޓx�́u�ώ@�f�[�^�̉��ł̉����̖ޓx(likelihood for a hypothesis given a set of observations)�v�ł���_�ɒ��ӂ���B
  
\section{�ޓx��ƃ��b�h�l}
%�ޓx��ƃ��b�h�l

��ʂɃ��f���̖ނ��炵��(likelihood)���r����ꍇ�A�ޓx�̒l���̂��̂̑召�ɂ�
�Ƃ��ɈӖ����������A�قȂ������f���̔�r�̂��߂ɂ́u�ޓx�̔�v���l�@����ق���
�Ӗ������B
�܂�A
�Q�̉���($H_1$)�Ɖ���($H_0$)������Ƃ��āA�ǂ���̉������ނ��炵�����A
�ޓx�̔����邱�Ƃ��l����B
���܉���$H_0$�ɂ͍�����ے肵��������(�A������)�����Ƃ��A�����
���� $H_1$ �ɂ͍m�肵���������i�Η������j�������B�f�[�^��
$x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)$������ꂽ�Ƃ��A
����$H$�̖ޓx��$L_x(H)$�ƕ\���ƁA�����̖ޓx��
$L_x(H_0,H_1) = L_x(H_1)/L_x(H_0)$,
(������ $H_0$ ����ɂ��邩�番��Ƃ��邱�Ƃɒ��Ӂj������āA
$H_1$�̖ނ��炵����$H_0$�̖ނ��炵�����ǂ̒��x�������𒲂ׂ�B

���v�w�͂��܂��܂ȕ���ɉ��p����Ă���B
�Q�m���������ۂɗ��p���邽�߂ɂ͗l�X�ȕ\���^�i������`���Ȃǁj��
�Q�m���̂ǂ̈ʒu�Ɗ֌W���Ă���̂��𒲂ׂ邱�Ƃ͏d�v�ł���B 
�A���s���t�𗘗p�����Q�m�����C�h�֘A��͂ɂ͗l�X�ȉ��p������A
�ߔN����Pharmacogenomics(PGx)�ւ̉��p�������ɂȂ��Ă��܂��B
��`���v�w��p�����\���^�ƃQ�m���Ƃ̊֌W�̐���ł́A
�������󐫈�`�q�̓���A����E��ӑ��^�̓���Ȃǌ����̗����A
���X�N�Ǘ��A�œK�ȓ��^�ʂ̌���A����p�\���Ɏg���Ă��܂��B
�܂���`�}�[�J�[�ɂ�铝�v��͂ł́A
�A���s���t�𗘗p���ăQ�m����̑��^�̂��镔�ʂƕ\���^�Ƃ̑��ւ𒲂ׂ܂��B
�ړI�̕\���^�����́iCase�Q�j�Ǝ����Ȃ���(Control�Q)�̊Ԃ�
�}�[�J�[�̕p�x�𒲂ׁA�����A���s�ύt������΁A�p�x�ɍ����o�邱�Ƃ���
���ւ𒲂ׂ���Ƃ��������Ɋ�Â��܂��B

�Ⴆ�΁A�A����͂ł�$H_0$�͘A���Ȃ��A$H_1$�͘A������Ƃ��������Ƃ��܂��B
�g�݊�������$\theta$�ŕ\���ƁA$H_0 :��=0.5$�A$H_1 : \theta<0.5$ �ł���A
�ޓx��$L_x(H_0,H_1) = L_x(H_1)/L_x(H_0) = L_x(\theta)/L_x(0.5)$�ŕ\����܂��B
�ޓx��̑ΐ�����������̂����L��
���b�h�l(lod score)('lod'��log odds�I�b�Y�L�^)�ł��B
\[
  Z_x(\theta)=\log[L_x(\theta)/L_x(0.5)]
\]
$H_1$��$H_0$�����l�ɖނ��炵���ꍇ�͖ޓx���1�ƂȂ�A���b�h�l��0�ƂȂ�܂��B

\section{�Ŗސ���@}
%�Ŗސ���@
��`���v�w�ł̃p�����g���b�N�A����͂ŒP�_�i��_�j���͂̏ꍇ�́A
�����̏ꍇ�p�����[�^�͑g�݊��������A$\theta$�ł��B
�ώ@�f�[�^�Ƃ́A�ƌn�ƉƑ����ɗ^����ꂽ��`�q�^�Ǝ����̂��閳���̃f�[�^
�ł��B
$\theta$�ɂ������̒l�������A�ώ@�f�[�^$x$�̉��ł̂��ꂼ���$\theta$��
�ޓx���v�Z���܂��B
����$\theta$�̎��ɍł��ޓx���ō��ɂȂ�Ƃ���ƁA
�ώ@�f�[�^$x$����͂��̒l�Ɉˑ�����$\theta=\theta(x)$���ł��ނ��炵����
�������ƂɂȂ�܂��B
���̂悤�Ƀp�����[�^�𓮂����ω������āA�ޓx���ō��ɂȂ�悤��
�p�����[�^��{�����@���Ŗސ���@(�Ŗޖ@�Amaximum likelihood estimation)��
�����B���̂悤�ȍő�̖ޓx���ő�ޓx(maximum likelihood)�Ƃ����A�����^����
�p�����[�^�̒l���Ŗސ���l(maximum likelihood estimate; MLE)�Ƃ����A
�p�����[�^��\���ϐ��̏�ɎR�`�L��(hat)��
���� $\hat\theta$ �ƕ\���B���̂悤�ɍł��ނ��炵���p�����[�^��
���肷�邱�Ƃ��ł��܂��B
$L_x(\theta)/L_x(0.5)$�Ƃ����ޓx��ł́A�����$\theta$�Ɋւ��Ă͒萔��
����A�֌W���Ȃ��B���Ȃ킿�A�ޓx����ő�ɂ���p�����[�^�Ɩޓx���ő�ɂ���
�p�����[�^�A����ɂ̓��b�h�l���ő�ɂ���p�����[�^�͓������̂ƂȂ�܂��B
�Ŗސ���l�̋��ߕ��͓�m���Ă��āA��͉�͓I�ɋ��߂���@�ł��B
�ޓx�̓p�����[�^�̊֐��Ȃ̂ŁA�����
�p�����[�^�Ŕ������A0�ƒu���ĕ������i�Ŗޕ������Ƃ����j��������
���̉�������l�ł��B
������͐��l�I�ɋ��߂���@�ł��B
Estimation-maximization algorithm (EM�A���S���Y��)�����΂��Ηp�����܂��B
�Ŗސ���̋Ǐ��œK���� E �X�e�b�v �� M �X�e�b�v �̓�̃X�e�b�v�̌J��Ԃ���
��苁�߂���̂ł����A�����ł͏ȗ����܂��B
 
% section{�Ŗސ���l�̃o�C�A�X(�΂�)}
%�Ŗސ���l�̃o�C�A�X

���̂悤�ɐ��肳�ꂽ�Ŗސ���l�̓o�C�A�X(�΂�)���������Ă��Ȃ����낤���B
�o�C�A�X���������Ă��Ȃ��Ƃ́A
���̂悤�ȈӖ��ł��B�Ⴆ�Αg�݊�������$\theta$�ɂ��A$p_i$�̊m����
$d_i$�Ƃ����f�[�^���o�āA$d_i$����$\theta_i$�Ƃ���
�Ŗސ���l�����肳���Ƃ��܂��B���̂Ƃ��A
              $\theta$(�^�̒l) $= \sum_i p_i \theta_i$(����l)
�Ƃ��������̊֌W�����藧�Ȃ�΁A�Ŗސ���l�Ƀo�C�A�X���������Ă��Ȃ��Ƃ����B
�g�݊��������ɂ��Ă͂��΂��΍Ŗސ���l�Ƀo�C�A�X���������Ă��邱�ƁA��������
���藧���Ȃ����Ƃ��m���Ă���B
����́A$n$�̌�������̓��A$n/2$���z����g�݊���������ꂽ�ꍇ�A$\theta$��
����l��$1/2$�ƂȂ邱�Ƃɂ��B
����ɂ��$\theta$�͎��ۂ��Ⴍ���ς����鎖�ɂȂ�A�o�C�A�X�������邱�Ƃ�
�Ȃ�B�������A�����̌�������̊ϑ����s�����Ƃɂ��A���̃o�C�A�X�͒ቺ����B
$n/2$���z����g�݊������������肳���m�������邩��ł���B��ʂɁA
�A����͂ɂ��$\theta$�̍Ŗސ���l�ɂ̓o�C�A�X�����邪�A���̒��x�͏������A
�ώ@�f�[�^�𑝂₷���Ƃɂ��o�C�A�X�͒ቺ����B
 
% section{����Ɗ댯��}
%����Ɗ댯��

�A����͂Ńp�����[�^�[�ł���$\theta$�𐄒肷��ꍇ�A�A���������Ƃ���������
�ے肷��ړI�ł���ꍇ�������B
���Ȃ킿�A$\theta=1/2$�Ƃ���������ے肷�邱�Ƃ��Ӑ}����B���̂悤�ɁA
���鉼��(�A�����Ă���)���ؖ��������ꍇ�A
����Ɣ��΂̉���(�A�����Ă��Ȃ�)������ɂ��ے肷��Ƃ�����������B
��҂̉������A�������Ƃ�ԁB
�قƂ�ǂ̏ꍇ�A�A��������$100\%$�ے肷�邱�Ƃ͂ł��Ȃ��B�����ŁA
�ώ@�f�[�^����v�Z�ł��铝�v�ʂ��l����B
�����A�A����������������΁A�ǂ̂悤�Ȋώ@�f�[�^���ǂ̂悤�Ȋm����
���ݏo����邩�͂킩��̂ŁA
���̓��v�ʂ̊m�����z���킩��B�Ⴆ�΁A$95\%$�̊m���ŁA���ϒl�Ƃ���
�e�X�g���v�ʂ�$67.3$�ȉ��ɂȂ�Ƃ����悤�ɂ킩��B�����A������A�������̂��Ƃ�
���ݏo���ꂽ�ώ@�f�[�^�̓��v�ʂ̂قƂ��(������A
����$1-\alpha$�Ƃ��悤)������l�ȉ��ƂȂ�A�Ƃ����悤��臒l��݂���B
�����āA����臒l���z����f�[�^��
�ϑ����ꂽ�Ƃ��A�A��������ے肷��B�����āA���̊댯����$\alpha$�Ƃ���B
�{���͋A���������������̂ɂ��ꂪ�ے肳��鎖(�U�z��)���^�C�vI�̃G���[�i�ߌ�j
�ƌĂсA���̊m�����^�C�vI��
�G���[�䗦�ƌĂԁB�A���������ے肳�ꂽ�ꍇ�A�L�ӂł���(significant)�Ƃ����A
�ے�ł��Ȃ��ꍇ�A�L�ӂłȂ�(non-significant)�Ƃ����B
�����A�^�C�vI�̃G���[�䗦�Ƃ́A�A���������������ꍇ�ɁA
 significant�ƌ��_�Â���䗦�ł���B
��w�ł͎����̐f�f�@�Ȃǂɂ��āA�u���x(sensitivity)�v
�u���ٓx(specificity)�v�̊T�O�����΂��Ηp������B
�����ł���i�늳�j���Ƃ�����$H_1$�A�����Ŗ����i��늳�j���Ƃ�$H_0$�Ƃ���ƁA
���x�͎����ł���Ƃ�($H_1$)�����Ɣ��肳���
�m���Ȃ̂Ō����($1-\beta$)�A���ٓx�͎����łȂ��Ƃ�($H_0$)�����Ŗ�����
���肳���m���Ȃ̂�$1-\alpha$�ƍl������B
     ��ʂɁA�e�X�g���v�ʂ�臒l��$\alpha$�̒l�ɂ��l�דI�ɒ��߂ł���B
$\alpha$������������ƗL�Ӎ����o�ɂ����Ȃ�A
�傫������Əo�₷���Ȃ�B�Ⴆ��$\alpha=0.05$�ȂǂƌŒ肵�A�e�X�g���s���B
���̂悤�Ƀe�X�g����ƁA�{���A
�L�ӂ�����̂Ƀe�X�g�ŗL�ӂłȂ��A�Əo��ꍇ������(�U�A��)�B
������^�C�vII�̃G���[�Ƃ�сA
���̔䗦���^�C�vII�̃G���[�䗦�Ƃ�сA$\beta$�ŕ\���B$1-\beta$��
�����(�p���[)�Ƃ�ԁB
���Ȃ킿�A�p���[�Ƃ͑Η�����$H_1$���������Ƃ��A�L�ӂƂȂ�m���ł���B
�L�Ӎ��Ȃ��Ƃ������ʂ��ł�ƁA�A�����������������Ƃ��ؖ����ꂽ�ƍl����
�̂͌��ł���B�P�Ƀp���[���Ⴂ���߂ł���\��������B
�A����͂̏ꍇ�A���΂��΋A������$H_0$��$\theta=0.5$�ł���A$H_1$��
$\theta <0.5$�ł���B
 
\section{����m���ƃx�C�Y�̒藝}
%����m���ƃx�C�Y�̒藝

     ��ʂɊm���͎��ۂ��N����O�ɗ\�����邽�߂̂��̂ł��邪�A
�ޓx�͂��łɋN�������ۂ̊ώ@�f�[�^�Ɋ�Â��āA
���f��(����)�̖ނ��炵�����l���邽�߂̂��̂ł������B
����m���́A����ώ@�f�[�^��
���Ƃł̃��f���̊m�����v�Z������̂ł���B
�x�C�Y�̒藝�͔��ɗL�p�Ȓ藝�ł��邪�A���o�I�ɂ킩��ɂ����Ƃ��낪����B
�����ŁARA�e�X�g�Ƃ���
     �����̗������āA�x�C�Y�̒藝���������B
     �����֐߃��E�}�`�Ƃ����a�C�͈�ʂ� $1\%$ �ʂ̕p�x�ő��݂���B
�����֐߃��E�}�`���҂�RA�e�X�g���s����
     $80\%$���z���ł���B�����֐߃��E�}�`�łȂ��l�� RA�e�X�g���s����$3\%$��
�z���ƂȂ�B�����Ƃ����͓̂��R�A
     ���̌��ʂɂ���Ď����̉\�����ς�邩��s���̂ł��邪�ARA�e�X�g��
�z���Ƃ������ʂ��ł����ɂ��A
     �����֐߃��E�}�`�̉\���͂ǂ̒��x�����Ȃ�̂ł��낤���B�����ŁA
�����֐߃��E�}�`(RA)�ł���Ƃ������ۂ�$F$�ARA�e�X�g���z���Ƃ������ۂ�$E$�ŕ\��
RA�łȂ��Ƃ������ۂ�$F^c$�ŕ\���Ƃ���B
     ���$80\%$�A$3\%$�Ƃ������l�́A���̂悤�ȊT�O�ɑ�������B
              $P(E|F)=80\%$,
              $P(E|F^c)=3\%$
     �����ŁA$P(E|F)$��$F$�Ƃ��������̉���$E$�Ƃ������ۂ̊m���A���Ȃ킿
�����t���m���������B�܂��A�����֐߃��E�}�`�̕p�x��$1\%$�ł���A
     ���e�X�g���s����l�ɂđS����񂪖����Ƃ���ƁA
             $P(F)=1\%$
    �����ŁA$P(F|E)$�Ƃ������ɂ��čl���Ă݂�B�����RA�e�X�g���z���̎��ɁA
������s��ꂽ�l��RA�ł���m����
    ����B����͎��̂悤�ȏ����ōl����Ƃ킩��₷���B
\begin{itemize}
  \item[(1)] ���̒��ɂ�RA�ł���l��RA�łȂ��l�����邪�A���̊�����
   $P(F)$�A$P(F^c)=1-P(F)$�ł���B
  \item[(2)] RA�ł����āARA�e�X�g�z���̐l�̑S�̂ł̊����́A$P(F) P(E|F)$�B
  \item[(3)] RA�ł͂Ȃ��ARA�e�X�g�z���̐l�̑S�̂ł̊����́A$P(F^c) P(E|F^c)$�B
  \item[(4)] RA�e�X�g�z���̐l�̑S�̂ł̊����� (2)+(3)
  \item[(5)] ���̒��ŁARA�̐l�̑S�̂ł̊����� (2)�B
  \item[(6)] �]���āARA�e�X�g�z���̐l�̒���RA�̐l�̊����� (2)/[(2)+(3)]�����A
         $$P(F|E) = P(F) P(E|F)/[P(F) P(E|F) + P(F^c) P(E|F^c)]$$
\end{itemize}
�ŏ��ɉ��̏����Ȃ��ARA�e�X�g�z���Ƃ������ʂ������킩���Ă���Ƃ���ƁA
���̐l��RA�ł���m���́A
          $$P(F|E)=0.01 \times 0.8 /(0.01 \times 0.8+0.99 \times 0.03)=0.212$$
     ��$21\%$�ł���B
$P(F)$�A�����ARA�e�X�g���s���O��RA�̊m���̂悤�Ȃ��̂����O�m���ƌĂԁB
����ɑ΂��āA$P(F|E)$�A�܂�RA�e�X�g���������z�����ł��Ƃ��ɁA 
RA�̊m�����l����悤�ȏꍇ������m���ƌĂԁBRA�e�X�g�Ƃ���
�ώ@�f�[�^�ɂ��RA�ł���m�����ω����A�㏸�����B�����A���O�m��$1\%$����
����m�� $21\%$�ɂȂ����B
     
�ȏ�̗�ł́ARA�ł���ARA�łȂ��A�̓�̎��ۂ��l�������A�����Ƒ����̎��ۂ�
�킩���ꍇ�A$n$�̎���$E_k, k=1,2,\cdots, n$ �ɂ�����
{\bf �x�C�Y�̒藝}�͎��̂悤�ɕ\�����B
$$
 P(E_k|F)  = P(F|E_k) P(E_k) / \sum_j P(F|E_j) P(E_j), \quad k=1,2,\cdots, n
$$
����͒萔������A$C$ ��萔�Ƃ��ĕ\������ƁA
$$
  P(E_k|F)  = C \cdot  P(F|E_k) P(E_k).
$$
������$
 1/C = \sum_j P(F|E_j) P(E_j), 
$
$E_j$��$j=1,2,...,n$�̈قȂ������ۂł���B
��̗�ł́ARA�̐f�f�Ƃ����T�O��p�����̂ŁA
����m���Ƃ����T�O����r�I�킩��₷�������ł����Ǝv���B
����͐f�f��Ȃǂ̊T�O������A��f���Ȃǂ̊T�O�����݂��āA��ʂ�RA�ł���m��
�Ƃ����T�O���������₷�����߂ł���B�������ARA���������͊��Ɍ��܂��Ă���ƍl��
��ƁARA�̊m���Ƃ����T�O�͗������ɂ����Ƃ�������B��ʂɁA����m���̊T�O��
���ɗ������ɂ������Ƃ������B�����҂ɂ���Ă͎���m���̊T�O��p���邱�Ƃ�
�����l������B�ޓx��Ƃ����T�O��p����΁A����m���̊T�O��
�K�v�����ƍl���錤���҂�����B����m���̊T�O���������̗��R�́A
���O�m���������̏ꍇ�A�s��������ł���B�O�q�̂悤�ɁA�ޓx�Ɏ��O�m����
�����ƁA�����Ɏ���m�����v�Z�ł���B���O�m���������܂��Ȃ܂܂ł�
�����̖ނ��炵�����ׂ邱�Ƃ��ł���̂��ޓx��Ȃ̂ł���B

�Ⴆ�΁A�O�q�̏ꍇ�ɂ͎��O�ɑS���A���̐l�̏�񂪖����Ɖ��肵���B
�]���āARA�e�X�g���z���ɂȂ��Ă�RA��
�\����$21\%$�Ȃ̂ł���B�������A��ʂɂ�RA���^������RA�e�X�g���s���̂ł���B
���̏ꍇ�́A$21\%$���X�ɍ����m���ƂȂ�ł��낤�B�Ȃ��Ȃ�A���O�m���A$P(F)$��
$1\%$�ł͂Ȃ�����ł���B���̏ꍇ�ɂ́A���O�m����
�p�����ɁARA�ł���ꍇ�ƁARA�Ŗ����ꍇ�̓�ɕ����āA���ꂼ��̏ꍇ�̖ނ�
�v�Z���A���̔����邾����
�\���������ǂ��ƍl����l�������ł��낤�B
�x�C�Y�̒藝�͕s���S�f�[�^���犮�S�f�[�^��\�����邽�߂̃A���S���Y���ɂ��΂���
�p������B
�Ⴆ�΁AEM�A���S���Y���ł͕s���S�f�[�^�̖ޓx���v�Z���A����Ɋ�Â���
�x�C�Y�̖@���Ńp�����[�^�̊��Ғl���v�Z����B
Genehunter�ł͊ώ@�f�[�^�Ɋ�Â��āA�p���x�N�g���̖ޓx���v�Z���A
���̌p���x�N�g���̖ޓx�Ɋ�Â��ăƂ�
���Ғl���x�C�Y�̒藝�ɂ��v�Z����B�����āA���̃Ƃ�p���Ċώ@�f�[�^�Ɋ�Â���
�Ăьp���x�N�g���̖ޓx��
�v�Z����B���̂悤�ɂ��āA�ޓx����������܂ŌJ��Ԃ��B  

\section{�����l�̌���}
%�ޓx�䌟��Ƃ��Ă̒����l����
%   2008.1.13
%   2008.1.18�ŏI�C��

�ޓx�䌟��́A�悭�g����֗��Ȍ���̘g�g�݂ł���B
�����l����i���f�B�A������j�Ƃ����΁A
�m���p�����g���b�N����̒��ł��A�ˑ����Ă��鉼��̏��Ȃ�����ł���B
���҂̊֌W�͔����悤�ɂ�
�����邩������Ȃ����A�m���p�����g���b�N�Ȍ�������炩�̊m�����f����
�z�肵�Ă���i����̕��z��z�肵�Ȃ������j�B
�����l����́A�ޓx�䌟��̗�ł���Ƃ��l���邱�Ƃ��ł���B

%�����l�Ɗm�����f��

�ꒆ���l�����ɂ��āA��Ə��̂Q�ɕ�����ƁA�������m��$(1/2)$�œ����āA
���������v�́i�S�̂�����j1�ł���B
�܂�A����������ꂼ��0.5�̊m���ł�����B����ꒆ���l������W�c����́A
�T���v���T�C�Yn�̕W�{�ŁA
�傪$x$�A����$(n-x)$�ƂȂ�m���́A${}_nC_{x_j}�i0.5)^x (0.5)^{n-x}$�A
�܂�A
     $\dfrac{n!}{x! (n-x)!}(0.5)^n$ �ł���B

%
% section{�Ŗސ���}
%�Ŗސ���
1�T���v���i�T���v���T�C�Yn�͋����Ƃ��Ă����j�́A�f�[�^��������������
�傫������$y_1,y_2,\cdots$�Ə��ɂȂ�ׂ�B
�ꒆ���l��$y_j$��$y_{j+1}$ �̊Ԃɂ���Ƃ���Ɓi����$��$�j�j�A�ޓx�́A
������̍�����A${}_nC_j�i0.5)^n$�ł���B
      ${}_nC_j$��${}_nC_{j+1}$�̔��$(j+1)/(n-j)$������A $j=n/2$
�܂�T���v���̃f�[�^��񕪂���Ƃ���ɕꒆ���l������Ƃ�
      �ɍő�ƂȂ�i$n$����Ƃ��ɂ́A$(n-1)/2$��$(n+1)/2$�̖ޓx�͓������j�A
�����ɕꒆ���l������Ɛ��肷��̂��Ŗސ���ƂȂ�B

% section{�ޓx�䌟��}
%�ޓx�䌟��
    �Η������̃��f��:�ꒆ���l���������i�Η������ɑΉ��j���f���ł́A
��L�̂P�T���v���̏ꍇ�����ꂼ��̃T���v����
    ���čs�Ȃ������̂��ő�ޓx��^���邩��A�T���v���T�C�Y��$n_1,n_2$
�i������������Ƃ���j�Ƃ���ƁA�ő�ޓx�́A
         $$ {}_{n_1}C_{n_1/2}�i0.5�j^{n_1}�~{}_{n_2}C_{n_2/2}�i0.5�j^{n_2}$$
    �ƂȂ�B�ꒆ���l�͂������Ă����̂ŁA�p�����[�^�[�͂Q�ł���B

% section{�A�������̃��f��}
%�A�������̃��f��
�ꒆ���l�������i�A�������ɑΉ��j���郂�f���ł́A�������ꏏ�ɂ���
$(n_1+n_2)$��傫�������Ə�����������
   �����邱�ƂɂȂ�B��P�̃T���v���́A����������$x_1$�A
�傫������$(n_1-x_1)$��Q�̃T���v���́A
   ����������$x_2$�A�傫������$(n_2-x_2)$�ƕ����ꂽ�Ƃ���
�i$x_1+x_2=(n_1+n_2)/2$�ł���j�B�ꒆ���l�͓����Ȃ̂ŁA
   �p�����[�^�͂P�ł���B��P�̃T���v���ɂ��Ă̂��̃��f���̍ő�ޓx��
  $ {}_{n_1}C_{x_1}�i0.5�j^{n_1}$,
   ��Q�̃T���v���ɂ��Ă�,
  $ {}_{n_2}C_{x_2}�i0.5�j^{n_2}$
�ƂȂ�B
�ő�ΐ��ޓx�̍��́A
   $$
    \begin{array}{lll}
    \log L_x(H_0,H_1) &=& \log \dfrac{L_x(H_1)}{L_x(H_0)} 
      = \log L_x(H_1) - \log L_x(H_0) \\
      &=& \log \{ {}_{n_1} C_{ {n_1}/2 } \}+ \log \{{}_{n_2}C_{{n_2}/2}\}
     - \log\{{}_{n_1} C_{x_1}\} - \log \{{}_{n_2}C_{x_2} \}
    \end{array}
   $$
  �ŁA��������ƁA
   $$
   \log\{x_1!\}+ \log\{(n_1-x_1)!\}�{\log\{x_2!\}+ \log\{(n_2-x_2)!\}
    - 2 \log\{(n_1/2)!\}- 2 \log\{(n_2/2)!\}
   $$
  �ƂȂ�B�X�^�[�����O�̌���$n!  \sim \sqrt{2 \pi n}n^n e^{-n}$,
$\log n! \sim n \log n - n +\dfrac{1}{2}\log n + \log\sqrt{2 \pi}$ 
�ŋߎ�����ƁA�ȒP�Ȏ��ό`�������Ȃ����Ƃ�
   $$
   \begin{array}{lll}
     &&   \log L_x(H_0,H_1) 
        % = 
        % \log \dfrac{L_x(H_1)}{L_x(H_0)} =
        % \log L_x(H_1) - \log L_x(H_0) 
       \\
     & = & x_1 \log x_1 - x_1 + (n_1-x_1) \log�in_1-x_1�j
           - (n_1-x_1) \\
     &&    \qquad + x_2 \log x_2 - x_2 + (n_2-x_2)\log�in_2 - x_2�j
            - (n_2-x_2) \\
     &&    \qquad - n_1 \log�in_1/2�j+ n_1 - n_2 \log�in_2/2�j+ n_2\\
      %  & = & x_1 \log x_1 + (n_1 - x_1) \log (n_1-x_1) - n_1 \\
      %  &   &  \qquad + x_2 \log x_2 + (n_2 - x_2) \log (n_2-x_2) - n_2 \\
      %  &   &  \qquad - n_1 \log�in_1/2�j+ n_1 
      %     - n_2 \log�in_2/2�j+ n_2 \\
     & = & x_1 \log x_1 + (n_1-x_1) \log (n_1-x_1)
         + x_2 \log x_2 + (n_2-x_2) \log (n_2-x_2)\\
     && \qquad - n_1 \log (n_1/2) - n_2 \log (n_2/2) \\
     &��& x_1 \log\dfrac{x_1}{n_1/2} 
         + (n_1-x_1) \log\dfrac{n_1-x_1}{n_1/2}
        �{x_2 \log \dfrac{x_2}{n_2/2}
       �{(n_2-x_2) \log\dfrac{n_2-x_2}{n_2/2}
  \end{array}
   $$
  �ƂȂ�B���̂Q�{���ΐ��ޓx�䓝�v�ʂŁA���̏ꍇ�A�i�p�����[�^�[���̍��� 
$2-1=1$ �Ȃ̂Łj
  ���R�x1�̃J�C2�敪�z�Ɣ�ׂ邱�ƂɂȂ�B

�ϑ��l�Ƃ���
$o_{11} = x_1, o_{12}=x_2, o_{21} = n_1- x_1, o_{22}=n_2-x_2$
�����
���Ғl�Ƃ���
$e_{11} = n_1/2, e_{12}=n_1/2, e_{21} = n_2/2, o_{22}=n_2/2$
�Ƃ����ƁA
����������  
�ΐ��ޓx�䓝�v�ʂ́A
\[
  \begin{array}{lll}
   2 \log L(H_0,H_1) 
  &=& 2 \mbox{�~�i�����l�j}
      \log \mbox{�i�����l�^�A�������̂��Ƃł̊��Ғl�j�̍��v}\\
  &=& 2 \sum_{i,j} o_{ij} \log \dfrac{o_{ij}}{e_{ij}}
  \end{array}
\]
  �Ƃ����`�����Ă���B��L�̎��Ōv�Z���������l�ƋA�������ł̊��Ғl�Ƃ�
��܂�ʁA���̕��z�ԂƂ̋�����Kullback-Leibler�_�C�o�[�W�F���X�Ƃ����A
�Ŗސ���́C����ő������Ƃ��C�^�̕��z�ɍł��߂����f���̕��z�������Ă���
�Ƃ�����B

�����l����ł�2�~2�����\������Č��肷�邪�A���̍ۂɂ́AFisher�̌����
������J�C2�挟��AG����Ȃǂ��g����B��L�̑ΐ��ޓx�䓝�v�ʂ�
G���肷��Ƃ���G���v�ʂƓ����ł���iG����́A�ޓx��Ɋ�Â����̂�����A
�ӊO���͔������j�B

\section{Pearson�̃J�C�Q�擝�v��}
���z�̓K���x�𑪂�ړx�Ƃ��āA�悭�p������Pearson�̃J�C�Q�擝�v�ʂ�
�q�ׂ悤�B
����$k$��ނ̎��ۂ��A���ꂼ��m��
$p=(p_1,p_2,\cdots,p_k), p_1 + p_2 +\cdots+p_k=1$�ŋN����B$n$��̂����A
�����̎��ۂ��N�������񐔂�$x_i$�Ƃ���B���Ȃ킿�p�����[�^$(n,p)$�̑������z�Ƃ���B$x=(x_1,x_2,\cdots,x_k)$
�ɑ΂��āA���x�֐���
\[
     P(x_1,x_2,\cdots,x_k \vert p) 
    = \dfrac{n!}{x_1! x_2! \cdots x_k!} p_1^{x_1}p_2^{x_2}\cdots p_k^{x_k},
    \quad x_i \in \{0,1,2,\cdots,n \}, \sum_{i=1}^k x_i =n
\]
�ŗ^������B�p�����[�^�̏W����$\Theta_0$�Ƃ���
�Q�̉���
\[
  \begin{array}{ll}
     & H_0 : p_i = p_i(\theta), \, \theta \in \Theta_0 \\
     & H_1 : p_i (\mbox{�C��})
  \end{array}
\]
���l����ƁA�W�{�䗦�i�����j$\hat{p_i} = \dfrac{x_i}{n}$��
$H_0$�̂��Ƃł�$\theta$�̍Ŗސ���ʂ�$\hat{\theta}$�Ƃ����A
\[
  \begin{array}{ll}
     & H_0 : p_i(\hat{\theta}) \\
     & H_1 : \hat{p_i} = \dfrac{x_i}{n}
  \end{array}
\]
�ɑ΂���ΐ���ޓx���v�Z����B
\[
  \begin{array}{lll}
  \log L_x(H_0,H_1) 
     &=& \log L_x(H_1) - \log L_x(H_0) 
      =  \sum_i x_i \log \hat{p_i} 
             - \sum_i x_i \log p_i(\hat{\theta}) \\
     & = & \sum_i x_i \log \dfrac{\hat{p_i}}{p_i(\hat{\theta})}
      =  \sum_i x_i \log \dfrac{x_i/n}{p_i(\hat{\theta})}
      =  \sum_i o_i \log \dfrac{o_i}{e_i}\\
  \end{array}
\]
������
$ o_i = x_i$ : �ϑ��x��(observed)�A
$ e_i = n p_i(\hat{\theta})$ : ���ғx��(expected)�Ƃ����B

�����őΐ��֐��̓W�J��
\[
    \log(1+x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \cdots , \qquad |x| < 1
\]
��p���A����ɌW���Q�����āA�ό`���Ă����B�ϑ��x��$o_i$�Ɗ��ғx��$e_i$�̍���
$\delta_i = o_i - e_i$�Ƃ����ƁA
$\sum_i \delta_i = \sum_i (o_i - e_i) = n- n = 0$�ł��邩��A
\[
\begin{array}{lll}
 2 \log L_x(H_0,H_1) & = & 2 \sum_i o_i \log \dfrac{o_i}{e_i}
   =  2 \sum_i (\delta_i + e_i) \log \dfrac{\delta_i + e_i}{e_i}  
   =  2 \sum_i (\delta_i + e_i) \log \left(1 + \dfrac{\delta_i}{e_i}\right)\\
  & = & 2 \sum_i (\delta_i + e_i) 
    \left( \dfrac{\delta_i}{e_i} 
      - \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\delta_i}{e_i}\right)^2 
      + \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{\delta_i}{e_i}\right)^3 
      - \cdots \right)\\
  & = & 2 \sum_i \left( \dfrac{\delta^2}{e_i}  - \dfrac{\delta^3}{2 e_i^2}
          + \dfrac{\delta^4}{3 e_i^3} - \cdots 
   \quad + \delta_i  - \dfrac{\delta^2}{2 e_i}
          + \dfrac{\delta^3}{3 e_i^2} -  \cdots \right)\\
  & = & 2 \sum_i \left( \delta_i + \dfrac{\delta^2}{2 e_i}
          - \dfrac{\delta^3}{6 e_i^2} + \cdots \right)\\
  & = &  \sum_i \left( \dfrac{\delta^2}{ e_i}
          - \dfrac{\delta^3}{3 e_i^2} + \cdots \right) \\
  & \fallingdotseq  & \sum_i  \dfrac{\delta^2}{ e_i}
  = \sum_i \dfrac{(o_i - e_i)^2}{e_i} = \sum_i \dfrac{o_i^2}{e_i} - n 
\end{array}
\]
�����œ����ꂽ���v�ʂ�
\[
\sum_i \dfrac{(o_i - e_i)^2}{e_i} = \sum_i \dfrac{o_i^2}{e_i} - n
\]
�J�C�Q�擝�v�ʂƂ�΂��B


\vspace{4ex}
\fbox{��L}
\begin{itemize}
\item[(1)]{\bf ��ʓ񍀓W�J��}
  ����$s$�ɑ΂��A�ϐ�$x$�ɂ�����֌W��
\[
  (1+x)^s 
  = 1 + \binom{s}{1}x + \binom{s}{2}x^2 + \binom{s}{3}x^3 + \cdots
  = \sum_{k=0}^\infty \binom{s}{k}x^k
\]
����ʓ񍀓W�J�Ƃ�ԁB�����œ񍀌W��
$\displaystyle\binom{s}{k} = \dfrac{(s)_k}{k!}
  = \dfrac{\overbrace{s(s-1) \cdots (s-k+1)}^{k}}{k!}$

��P�D
����$s=n$(���̐���)�̂Ƃ��A
 $ \displaystyle\binom{s}{k} = \binom{n}{k} 
 = \left\{\begin{array}{ll}
      {}_{n}C_{k} & k=0,1,2,\cdots,n \\
      0           & k=n+1,n+2, \cdots
   \end{array}\right.
 $

��Q�D
$\dfrac{1}{1+x} = (1 + x)^{-1}= 1 - x + x^2 - x^3 + \cdots$

�܂�$\displaystyle\binom{-1}{k} = (-1)^k =
\left\{\begin{array}{ll}
      +1 & k=0,2,4,\cdots (even)\\
      -1 & k=1,3,5, \cdots (odd)
\end{array}\right.
$

\item[(2)]�ΐ��̓W�J���ɂ���

\begin{enumerate}
\item �s��`�Ɍ�(�I�C���[) $1^\infty$�̌`:
$ \lim_{s \to 0} (1+s)^{1/s} = e = 2.71828\cdots$

\item �u�w���֐��̓W�J���v����$x$�ɂ���
$ \lim_{t \to \infty} \left(1+ \dfrac{x}{t}\right)^{t} = e^x = \exp(x)
= \sum_k \dfrac{x^k}{k!}$�������B

�Ȃ��Ȃ�A
$
  \left(1+\dfrac{x}{t} \right)^t 
 = \sum_k \displaystyle\binom{t}{k}\left(\dfrac{x}{t} \right)^k
 = \sum_k 
    (1- {1}/{t})(1- {2}/{t})\cdots (1- {(k-1)}/{t}) \dfrac{x^k}{k!}
$
�ɂ����āA
$k$���Œ肵�āA$t \to \infty$�Ƃ���ƁA
$
(1- {1}/{t})(1- {2}/{t})\cdots (1- {(k-1)}/{t}) \to 1
$
���A
\[
\begin{array}{lll}
 e^x &=& \lim_{t \to \infty}\left(1+\dfrac{x}{t} \right)^t 
 = \lim_t \sum_k \displaystyle\binom{t}{k}\left(\dfrac{x}{t} \right)^k \\
 &=& 
  \displaystyle\sum_k 
  \lim_t \left\{
     (1- {1}/{t})(1- {2}/{t})\cdots(1- {(k-1)}/{t}) 
   \right\} \dfrac{x^k}{k!} \\
&=& \sum_k \dfrac{x^k}{k!}  
\end{array}
\]
�Ƃ���$x=1$�Ȃ�΁A$e$ �̓l�s�A�����邢�̓I�C���[���Ƃ�΂�钴�z���ŁA
\[
e = 2.7182818284\cdots
  = 1 + \dfrac{x}{1!} + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \cdots
\] 

\item
�u�ΐ��֐��̓W�J���v
�C�ӂ̎���$s$�ɂ��āA$a^s = 1 +s b$�Ƃ���$a,b$�̊֌W�𒲂ׂ�B
���ܓ񍀌W���̓W�J����p���邽�߂ɁA$a=1+x$, $b = y$ �Ƃ����B�Ɍ���
$s \to 0$�Ƃ���΁A
\[
\begin{array}{ll}
y &= \dfrac{(1+x)^s - 1}{s} 
 = \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}  \binom{s}{k}\dfrac{x^k}{s}\\
 &= \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} 
      \overbrace{(s-1)(s-2)\cdots(s-(k-1))}^{k-1}\dfrac{x^k}{k!}\\
% & \longrightarrow &  \displaystyle \sum_{k=1}^\infty 
%      \dfrac{(-1)^{k-1}}{k}x^k 
 & \xrightarrow{\,\, s \to 0\,\,}   \displaystyle \sum_{k=1}^\infty 
      \dfrac{(-1)^{k-1}}{k}x^k 
 = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \cdots
\end{array}
\]
������ 
$\lim_{s \to 0} y = \lim_{s \to 0} \dfrac{(1+x)^s - 1}{s} = \log(1+x)$
���A
\[
\log(1+x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \cdots, \quad |x| <1
\]
��������B

\end{enumerate}

��

$e= \lim_{t \to 0} (1+t)^{1/t}$
��
$\log(1+x) = \lim_{s \to 0} \dfrac{(1+x)^s-1}{s}, \forall x $
�Ƃ͓��l�ł���B

\end{itemize}




\end{document}
