統計学入門

安田正實 2007 年 5 月 9 日

目次

第 1 章はじめに 3 1.1 統計への序章 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 いろいろな概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

第 2 章数の基礎、集合、場合の数 7 2.1 数の種類 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2 数列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.3 ベクトルと行列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.4 和の記号 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.5 極限、級数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.6 対数、指数関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.7 集合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.8 写像 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.9 平方根の開平 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.10 場合の数、数え上げ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.11 パスカル三角形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.12 ２項係数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

第 3 章確率、確率分布 21 3.1 偶然な実験 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.2 条件付き確率と事象の独立 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.3 確率試行と確率変数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.4 確率分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.5 期待値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.6 コインとサイコロ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.7 ２項分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.8 超幾何分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

第 4 章正規分布 29 4.1 正規分布の発見 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.2 大数の法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.3 中心極限定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.4 乱数の生成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.5 正規分布の確率計算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.6 大数の法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.7 中心極限定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.8 乱数の生成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 \underline{ii 目次}

4.9 正規分布の確率計算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

第 5 章データのまとめ方 43 5.1 統計の調査 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5.2 標本の抽出 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5.3 単純無作為抽出法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.4 ２段抽出法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.5 層化抽出法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5.6 標本の割り当ての大きさ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

第 6 章度数分布表、データの代表値、相関係数 49 6.1 度数分布表とヒストグラム . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 6.2 データの標準化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 6.3 集団の位置尺度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 6.4 バラツキの尺度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 6.5 集団の位置尺度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 6.6 バラツキの尺度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

第 7 章標本データ 57 7.1 有限母集団と無限母集団 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 7.2 標本平均の平均と分散 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

第 8 章推定と検定 63 8.1 推定と検定（推測理論） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 8.2 点推定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 8.3 仮説検定の例題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 8.4 適合度検定，独立性の検定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 8.5 適合度検定，独立性の検定の例題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

第 9 章回帰分析と主成分分析 75 9.1 回帰分析と主成分分析 — 多変量解析入門 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

図目次

2.1 指数関数 (その１) y = exp(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 指数関数 (その２) y = exp(x^{2}) と y = exp(−x^{2}) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1

表目次

3

第 1 章はじめに

\underline{4 第 1 章はじめに}

1.1 統計への序章

統計、とうけい とは何だろう。イギリスのグリニッジ天文台を通る経度をゼロ度として、それから東に測った経度でもないし、鶏を囲いの中にとじ込めて戦わせて、それを観戦するという残酷な遊びでもない。ＳＴＡＴＩＳＴＩＣＳである。言葉の語源は，ものごとの状態を表す意味にもちいられる，ラテン語の status から由来するといわれる。現代の統計学は１９世紀後半から主にイギリスで発達した数理統計学とドイツで発達した社会統計学が知られている。たんに統計学というと前者の数理統計学をさすことが多い。われわれのまわりをちょっと見回しても、そこには多くの統計データ、たとえば、市町村の人口動態、降雨確率、物価指数、テレビの視聴率、株式市況、学力試験の偏差値などに気付かれるだろう。この漠然と理解されていて、日常生活に結びついた重要な概念をこれから説明していくことにしよう。一口に統計といっても、われわれはいろいろな意味で用語を用いている。たとえば、

１．データの集まりそのもの

２．データを整理、分類する手法

３．平均や標準偏差とか、データの集まりから計算された数字

などと大きく分けることができよう。ここでいう統計学では主として、

• どのようにデータを集めたらよいか

• どういう解析法をおこなうか

• データからどの程度のことがいえるのか

を学ぶことが目的である。そしてこれらの解説に必要な数学的理論として確率論を導入する。

古代の中国やエジプトの王朝でも人口を取り扱うための統計データの集計が行われていた。 Yao 王朝では紀元前２２３８年の人口調査の記録があり，ペルシャ，エジプトにも残されている。現代は統計法という法律が制定されている。統計の真実性の確保，統計調査の重複を除去，統計体系の整備，統計制度の改善を目的とする法律（1947 年）である。重要な統計を指定統計として公示される。また統計には欠くことのできない集計計算にともない，コンピュータの高速化，ネットワークの高度化も現代の統計の発達の大切な重要な要因として，認識しておかねばならない。

現代社会の天気予報では、地域の気象データを通信回線で刻々と集計し、人口衛星からの雲の状況をもとにして、できるだけ正確な予報をと進展されてきた。しかし、その情報がありながら、はたして傘をもって行こうか行くまいか迷う場合がある。傘をもたずに行って濡れて帰るのも嫌だし、雨が降らないのに傘を持ち歩く煩わしさも好きではないだろう。ここでわれわれは知らずに、ひとつのゲームに参加をしている。大げさに言えば、いわゆる、賭けをしているのである。空が晴れていて雲ひとつなく、雨の降る気配もなく、いままでの経験的状況から降雨の可能性が少ないのに、わざわざ傘を持って行く必要はまったくない。雨が降る降らないという結果には、確率変動が伴い、われわれは、その可能性をまわりの情報から判断しているのである。

ある事柄を決定するには、必ずそれによって得るものと失うものを比較し、結果のおこる可能性にもとずいて正しい判断を下す。これを考慮しない判断は合理的行動とは言えない。日常生活では絶えず出会う簡単な事柄について、比較はいつしか習慣的に無意識におこなわれている。傘の問題ならば、迎えを頼んだり、タクシーを使えば済むことである。もし判断によって得るものと失うものがとてつもなく大きい場合にはどうするだろうか。比較している２つの結果の可能性について、危険を避けるには、より正確な知識を得ることである。不偏性をもった正確さには、客観性をもたなければならない。そのためには、数字を用い、対象を数字で表現することが必要である。

天気予報の例では降雨確率で表現している。しかし、いかにして対象とする状況を数字にできるか、いわゆる、計るということをしなければならない。自治体にとっては人口動態に応じて、小学校、中学校を建てるか建てないかという判断を下す場合には、正確な人口構成数をつかんでいなければならない。ここでこのような \underline{1.2 いろいろな概念 5}

数量的事実を得るために、計るという操作、つまり、統計調査が行われ、このデータによる予測がおこなわれる。このように”不確実なもとでの決定”は、正しい情報にもとづく状態の認識が必要である。そして、どういう前提条件によって、しかるべき判断とその結論を得ているのか理解しなければならない。

1.2 いろいろな概念

一般教養として「統計学」を学習するうえで、またさまざまな専門分野において統計学の知識を応用していくために、必要な基礎的テーマをあげておく。いわゆる数理統計学において学ぶべきことの概要を挙げるとつぎのようになろう。

確率と確率分布

統計学を理解するために必要な言語、あるいは理論展開していく道具として、確率の概念は必須のものである。確率とは不確実な現象をそのまま記述するよう数値で与えられた尺度を意味している。この尺度に基づいて、集団を数学的に述べることができるよう、確率変数とか確率分布が定められる。偶然変動による結果となる標本を表すには、確率変数が用いられ、もとの集団は分布という形で述べられる。とくに用いる分布は、２項分布と正規分布が基本的であり、これらの分布から派生される標本分布として、 t-分布、カイ２乗分布、Ｆ分布を用いて推定や検定が行なわれる。

統計データと標本調査

データはそれぞれ固有の性質から、量的属性と質的属性に分類できる。さらに量的なものは、離散型と連続型におおきく分けられる。前者は２項分布、後者は正規分布が代表的な分布であるが、日常に表れる分布はこのような名前のない一般形をしているものは非常に多い。質的属性は数値として得られるものではないから、われわれが計算し易いよう適当に数量化する処理を施すことが多い。データを得るにはまず、統計調査をしなければならない。どのようにしてデータを集めるかという調査の設計を考え、全数調査か標本調査かを決める。標本調査となれば、標本抽出をする。対象とする集団を統計用語で母集団、標本の個数を標本の大きさとよぶ。もし大きな母集団から、効率よく標本抽出をするための一つの工夫として、地域や階級などの補助情報を用いる。

記述統計

統計調査の結果得られたデータは、単に数値などの羅列にしか過ぎないが、この観測値の集りを要約した情報として整理をすることが記述統計とよばれるものである。具体的には、この集まりを１つの数値でまとめたり、いろいろな見易いグラフで表す工夫をしている。平均とか分散は典型的な位置やひろがり具合を表すための代表値である。また最近では探索的データ解析というデータのいろいろな記述を通して全体の構造を見出すことが行なわれている。

推測統計

統計調査のデータを記述統計によって集約してみると、そこには新しい発見が見出せるかもしれない。しかし実際、未知の状態を理論として裏付し、認識するには、真の状態を推定したり、いくつかの考えられるものから真の状態を判断する検定がおこなわれる。このように観測値から推定や予測を行い、新しい状況に対して、推測する基礎としてもちいる理論的方法を推測統計とよぶ。母集団から抽出された標本にもとづいた母数（パラメータ）の推定、信頼区間や仮説の検定が具体的な方法である。最近では統計的決定理論として推測問題は発展している。大まかに統計学は記述統計と推測統計とに、上で述べた手法の違いによって分類される。

予測のための解析

統計理論として１次元のデータ、すなわち１変量の理論が簡単であるが、実際の分野に統計を応用しようとすると、多変量の理論が多いし、現状は複雑であってどうしても必要となろう。一般に多変量解析とよぶ多くの変量間の相互関連を分析する手法がある。いく組かの標本を抽出して、ある特性に関して有意に異なっているか否かを判断するために、標本の分散を分けて分析する分散分析や、変量の間にモデルとする回帰式をたてて、ある目的とする変数の測定値の変動が、モデルによって説明する変数によって充分満足のいくものであるかどうか、現象の理解や目的変数の予測をすることが回帰分析であり、現代では、心理学、社会学、政治学、生物学、農学、医学、工学など多くの分野で用いられている。

7

第 2 章数の基礎、集合、場合の数

\underline{8 第 2 章数の基礎、集合、場合の数}

2.1 数の種類

• 自然数: 1, 2, 3, ⋯,(0 は入れない)、数え上げにもちいる。数えることは自然数との 1 対 1 対応をすることです。偶数: 0, ±2, ±4 ⋯ (2 で割り切れる数) 、奇数: ±1, ±3, ±5 ⋯ (2 で割り切れない数)

• 整数とは自然数の集まりにゼロと自然数に符号をつけた負の数とを合わせたもの。正の整数は 1, 2, 3, ⋯, で自然数と同じ集まり。非負の整数:0, −1, −2, −3, ⋯,

• 分数の形で表せる数を有理数といいます。分数は具体的に割り算をして、小数として表すことが多い。小数どうしの計算では有効桁数が統計学で重要になります。電卓での計算、とくに積や 2 乗の計算には桁上がり、桁落ちには注意します。また指数表示も覚えておきましょう。

• 無理数とは分数の形で表せない数をいいます。たとえば\sqrt{2}, \frac{\sqrt{5} + 1}{2}, 2 次方程式、 3 次方程式などの解となるものです。さらにこれ以外にも π = 3.1415926538 ⋯, e = 2.71828 ⋯ もありますが、これらはとくに超越数とよばれ、多項式による方程式では表すことができません。有理数は自然数と整数を含むものですし、さらに無理数を合せた集まりを実数とします。数直線には、この実数全体があるものとします。実数以外の数は数直線の上には存在していないものと仮定をします。これを実数の連続性公理とします。

• 複素数とは新たに虚数単位を導入して実数の世界を拡張したものです。負の数の平方根を純虚数とよび、実数と純虚数との和を複素数と定めます。

問 2.1.1 数のもつ性質にはどんなことがあるか、いくつか挙げてみてください。また演算にはどういうことがありますか？

問 2.1.2 電卓を用いて計算するときに表示される数を具体的にきちんと書いてみてください。たとえば 2.3E2 = 2.3 ∗ 10^{2} = 230, 1.5E − 2 = 1.5 ∗ 10^{−2} = 1.5/100 = 0.015 です。

(1) 3.14E3 (2) 5.0E10 (3) 6.723E − 3

問 2.1.3 未知数の含む式について、方程式の解と数の関係はどんなことが知られていますか？

問 2.1.4 円周率のパイ (π) や自然対数の底に使われるイー（e) はだいたい π = 3.1415926538 ⋯, e = 2.71828 ⋯ となりますが、どうやって計算するのか考えてみてください。

2.2 数列

自然数と 1 対 1 の対応

\begin{matrix}番号 & 1 & 2 & 3 & 4 & ⋯ & k & ⋯ \\ 数 & a_{1} & a_{2} & a_{3} & a_{4} & ⋯ & a_{k} & ⋯ \\ 数 & x^{(1)} & x^{(2)} & x^{(3)} & x^{(4)} & ⋯ & x^{(k)} & ⋯ \end{matrix}

\underline{2.3 ベクトルと行列 9}

添え数（番号）が 2 つついているもの (i, j) に対応して a(i, j), a_{(i,j)}, a_{ij} (カッコや誤解がなければカンマを省略することが多い) については 2 重和 ∑_{i} ∑_{j} a(i, j) をもちいたり、２つを同時にまとめ、ひとつの ∑_{i,j} a(i, j) で表現します。有限個の和であれば、順序を入れ替えても同じですから、すべて同じ値となります。ただし ∑_{i} ∑_{j} a(i, j) と ∑_{j} ∑_{i} a(i, j) の表現では前者については、先に j で足し算をしてから i で加え、この順が逆ものが後者です。有限個ではない場合には、一般には順序の交換も一般には成り立ちませんから、複雑になりますが、交換可能となる場合もあります。

2.3 ベクトルと行列

実数を長方形にならべてカッコでくくったもの。横を行とよび、縦を列とよぶ。数を対応させるために、添え数（インデックス）が組み (i, j) であり、その対応する実数 a_{i,j} を成分あるいは要素とよぶ。、行と列

(i, j) ⇒ a_{ij}

縦 (列）ベクトルと横 (行）ベクトル: ３行１列の行列と１行３列の行列とみなせる

(\begin{matrix}a \\ b \\ c \end{matrix})  (a, b, c)

正方行列 (3 行 3 列)

(\begin{matrix}a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{matrix})

無限行列

A = (\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & ⋯ & ⋯ \\ a_{21} & a_{22} & ⋯ & ⋯ \\ ⋯ & ⋯ & ⋯ & ⋯ \\ a_{k1} & a_{k2} & ⋯ & ⋯ \\ ⋯ & ⋯ & ⋯ & ⋯ \end{matrix})

行列の演算: (1) 行列の和 A + B, (2) 行列のスカラー倍 cA (c スカラー)。ここでスカラーとはベクトルに対する概念で、実数として考えてよい。また行列の積の計算（内積）； AB, BA などをよく復習しておいてください。

2.4 和の記号

足し算をする一般項が規則的に表現できるときには、足し算を表す記号（シグマとよび） ∑ で書き表します。とくに範囲を指定しなくても自明であれば、和をとるインデックスの範囲を省略することもあります。またインデックスそのものを省略してしまうこともよくあります。

インデックス変数 k(= 1, 2, 3, ⋯, N) に対応する第 k 項が a_{k} ならば

∑_{k=1}^{N} a_{k} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + ⋯ + a_{k} + ⋯ + a_{N}

と表します。和の計算にはいろいろ使う場合があり、略してつかうときもあります。

∑_{j} x^{(j)} = x^{(1)} + x^{(2)} + x^{(3)} + x^{(4)} + ⋯ + x^{(k)} + ⋯

∑_{i=1}^{3} ∑_{j=1}^{2} a_{ij} = {a_{11} + a_{12}} + {a_{21} + a_{22}} + {a_{31} + a_{32}}

∑_{i,j} a_{ij} = \begin{matrix}a_{11} + a_{12} + a_{13} + a_{14} + ⋯ \\ +a_{21} + a_{22} + a_{23} + a_{24} + ⋯ \\ +a_{31} + a_{32} + a_{33} + a_{34} + ⋯ \\ + ⋯ \end{matrix}

∑_{i≤j} a_{ij} = \begin{matrix}a_{11} + a_{12} + a_{13} + a_{14} + ⋯ \\ + a_{22} + a_{23} + a_{24} + ⋯ \\ + a_{33} + a_{34} + ⋯ \\ + a_{44} + ⋯ \end{matrix}

という意味を表しています。範囲があらかじめ分かっている場合には省略をすることが多いです。インデックス変数には自然数がよく用いられます。 \underline{和を求める計算式}

∑_{k=1}^{n} k = 1 + 2 + ⋯ + n = \frac{n(n + 1)}{2}

∑_{k=1}^{n} c = c + c + ⋯ + c = nc （ n 個の定数和）

∑_{k=1}^{n}(−1)^{(k−1)}/k = 1 − 1/2 + 1/3 + ⋯ + (±1)^{n}/n

∑_{k=1}^{n}(2k − 1) = 1 + 3 + 5 + ⋯ + (2n − 1) = n^{2}

∑_{k=1}^{n} k^{2} = 1^{2} + 2^{2} + ⋯ + n^{2} = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} （2 乗和の公式）

∑_{k=1}^{n} k(k + 1) = 1 × 2 + 2 × 3 + ⋯ + n × (n + 1) = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{3}

問 2.4.1 つぎの数列の和をシグマにより表現しなさい。

1. a_{1} + a_{3} + a_{5} + ⋯ + a_{31}

2. \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + ⋯ + \frac{1}{n^{2}} + ⋯

3. \frac{1}{1} + (\frac{2}{1} + \frac{2}{2}) + (\frac{3}{1} + \frac{3}{2} + \frac{3}{3}) + (\frac{4}{1} + \frac{4}{2} + \frac{4}{3} + \frac{4}{4}) + ⋯

問 2.4.2 （積が 3 つ）各項が 3 個の積のとき、 ∑_{k=1}^{n} k(k + 1)(k + 2) がどういう式にまとめられるか考えなさい。そして実際いくつかについて確かめてみなさい。

問 2.4.3 （3 乗和の計算） ∑_{k=1}^{n} k^{2} を、上の問いで得られた結果ももちいて、求めてみなさい。

\underline{2.5 極限、級数 11}

問 2.4.4 （三角型の和）正の整数 n が与えられたとき、 ∑_{k=1}^{n} ∑_{j=1}^{k} a_{kj} をそれぞれの項で書き並べてみましょう。この和のとり方の順序がはじめ、列をとってから、行で加える順ですが、この順序を逆にしてはじめは行でとり、あとから列を加えることにすると、シグマを用いるとどういう式になりますか？これを ∑_{i=1}^{n} ∑_{j=i}^{n} a_{ij} = ∑_{1≤i≤j≤n} a_{ij} と書くことにします。インデックス j の始まりが i であることに注意します。また ∑_{1≤i<j≤n} a_{ij} はどうなりますか？ i j の関係には等号が含まれていません。 さらに ∑_{1≤i≤j≤k≤n} a_{ijk} を３つの和で表してみましょう。（答え）２つの場合を書き並べれば、意味が理解できるはずです。

∑_{1≤i≤j≤n} a_{ij} = ∑_{i=1}^{n} ∑_{j=i}^{n} a_{ij}

= ∑_{i=1}^{n}(a_{ii} + a_{i(i+1)} + a_{i(i+2)} + ⋯ + a_{in})

= a_{11} + a_{12} + a_{13} + a_{14} + ⋯ + a_{1n} ; + a_{22} + a_{23} + a_{24} + ⋯ + a_{2n} ; + a_{33} + a_{34} + ⋯ + a_{3n} ; ⋮ ; + a_{nn}

= ∑_{j=1}^{n} ∑_{i=1}^{j} a_{ij} = ∑_{j=1}^{n}(a_{1j} + a_{2j} + a_{3j} + ⋯ + a_{jj})

= a_{11} ; + a_{12} + a_{22} ; + a_{13} + a_{23} + a_{33} ; ⋮ ; + a_{1n} + a_{2n} + a_{3n} + a_{3n} + ⋯ + a_{nn}

問 2.4.5 正の整数 n に対して、つぎの数列の和を求めなさい。。

1. ∑_{1≤i≤j≤n} 1

2. ∑_{1≤i≤j≤n}(i + j)

3. ∑_{1≤i≤j≤k≤n} 1

4. ∑_{1≤i≤j≤k≤n}(i + j + k)

2.5 極限、級数

数列の和に関して、項の数をどんどん大きくしていった状況を考えてみます。有限個で終わるのではなく、無限に続いて多数の項をもつ数列を級数といいます。もしこの和を順次計算していったとき、項数とともに増加あるいは減少していく傾向をもち、ある一定の値に近づくならば、この極限値を級数の和といいます。つまり、部分和の極限値として

lim_{N→∞} ∑_{n=1}^{N} a_{n} = lim_{N→∞} S_{N} = ∑_{n=1}^{∞} a_{n} = s

と表します。しかし一般項がゼロに近づいていても、和をもつ（有限和の極限値が存在する）とは限りません。たとえば a_{n} = 1/n などはその例です。これよりももっと早くゼロ

図 2.1 指数関数 (その１) y = exp(x)

になるような項でなければ、和をもちません。またここで収束する (convergent)、つまり S_{n} → s(n → ∞) であることは絶対値で表される距離 |S_{n} − s| が n の増加としたがい、ゼロに近づくことです。記号では lim_{n→∞} S_{n} = s と表します。

2.6 対数、指数関数

確率や統計では、コイン投げ、サイコロ振りを多数回繰り返した場合をよく考えます。どんどんと繰り返し数を多くしていくので、数列の極限を調べることがとても重要な基本事項となります。このときに表れる関数が、対数関数や指数関数です。概要をつぎで述べてみましょう。指数関数: 「べき」とは乗積のことで、正の数 a > 0 を m 乗するとは、 a^{m} = aa ⋯ a で明らかに a^{m}a^{n} = a^{m+n} などが成り立ち m を指数とよび、この性質を指数法則といいます。 m は自然数だけでなく負とでもよくて、一般に整数であっても法則が成り立ち、さらに分数、実数についても拡張して定義されます。

たとえば利率の計算では、元金が a 円あり、複利の利率が各期間ごとに r_{n} であれば、 n 期日後には a(1 + r_{n})^{n} となります。もし利率の値 r_{n} = r/n であり、 n を大きくすると（利率の計算期間を細かくしていくこと）、 a lim_{n}(1 + r_{n})^{n} を考えることです。基本的な項は r = 1 とおいた lim_{n}(1 + \frac{1}{n})^{n} で、これは少しづつ増加し、数値３を超えることはない。この極限値を e = 2.71828 ⋯ と表します。一般に lim_{n}(1 + r_{n})^{n} = e^{r} = exp r とも表します。この r を変化させた値がいわゆる y = exp x, x > 0 が指数関数とよばれるものです。先の述べた a^{m} の形が e^{x} となっています。対数関数: 上で述べた指数関数は、べき乗を細かくすることで表れた関数でしたが、対数関数は、指数関数の逆関数として定義されます。大きな数を計算するときはたいへん重要な役割をします。計算機が十分に発達していない時代には対数表とよばれるものを用いて、大きな数の計算をしていました。

与えられた指数関数に対して、その逆の対応を表す

y = e^{x} = exp x ↔ x = log y

ものです。独立変数 x から従属変数 y の形で書けば、 y = log x と表します。これは電卓などでは y = Ln(x) とキー入力します。実用上の計算には e の代わりに 10 を用いて、 y = Log(x) とキー入力します。ここでは省略していますが対数の底（てい）が e （ネイピア数ともよばれる）の場合、つまり自然対数の場合と一方は底が 10 の場合での常用対数のものです。実用上の計算には、常用対数が便利ですが、理論の展開には自然対数のほうが表現が簡単になるときが多いです。どちらを使っても本質は変わりません。

\underline{2.7 集合 13}

図 2.2 指数関数 (その２) y = exp(x^{2}) と y = exp(−x^{2})

2.7 集合

ある定まった数学的な対象の集まりあるいは集団を集合 (set) とよび，この集合を構成する一つ一つの対象を集合の要素 (element) あるいは、元という．一般に，集合は大文字をつかい A, B などと表し、この要素は小文字 x, y などをもちいる。ある要素 x が集合 A に属する (belong) かどうかによって定められている。もし属するならば x ∈ A と表す．また，逆に， A の要素でないときは x ∋ A と表す．

要素を並べ、括弧でくくることで {a, b, c, d, e} や {x_{1}, x_{2}, x_{3}, ⋯ } と表したり, あるいは｛要素—条件｝の形をもちいて、 {x_{i}|i = 1, 2, 3, ⋯ } や {x|a < x ≦ b} （つまり実数の半開区間 (a, b]）などの表し方ももちいる。

とくに集合の中で全くこれに属する要素をもたない場合には空集合 (empty set) とよび、 ∅ で表す。 2 つの集合において ∀x ∈ A ⇒ x ∈ B が成り立つとき、 A ⊂ B で表す。 A ⊆ B も同じ意味でこのとき、 A は B の部分集合という。 A = B とは、それぞれの部分集合であるときをいう。とくに真の部分集合とは A ⊂ B かつ A ≠ B のときであり、 A ⊊ B で表す。

元（要素）の個数が有限個しか含まれないときを有限集合、そうでない場合、自然数の全体とか、実数の全体は無限集合という。和集合と積集合数と数のあいだに足し算や引き算があるように、集合と集合のあいだにも演算を考える。

和集合: A ∪ B = {x | x ∈ A or x ∈ B}
積（共通）集合 : A ∩ B = AB = {x | x ∈ A and x ∈ B}

∩ を省略することもある。数の掛け算でも多くは省略している。

積集合が空集合のとき、 A ∩ B = AB = ∅ には互いに素、あるいは共通部分がない、交わりをもたないなどという。差集合とは A \ B = {x | x ∈ A and x ∉ B} いま対象とる全体の集合を Ω(オメガ) とするとき, この全体集合 Ω から A を引いた差集合、 Ω \ A を A の補集合 (complement) といい、全体集合を明示せずに A^{c} や\overline{A} という記号をもちいる。

交換法則と結合法則：演算の順序をかえることでも同じ場合にこの法則が成り立つという。 A ∪ B = B ∪ A などや (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) など。したがって単にカッコをもちいず A ∪ B ∪ C と表しても問題ないということでこの表現が意味をもつことになる。よって一般に多数のばあいについては

\begin{matrix}和集合: ⋃_{i=1}^{n} A_{i} = ⋃_{i} A_{i} = A_{1} ∪ A_{2} ∪ ⋯ ∪ A_{n}, \\ 積集合: ⋂_{i=1}^{n} A_{i} = ⋂_{i} A_{i} = A_{1} ∩ A_{2} ∩ ⋯ ∩ A_{n}. \end{matrix}

と表す。分配法則：３つの集合に対して、和と積の順序について交換するとどうなるかという関係式をいう。これをみれば明らかなように通常の数の演算 +, × が集合の和、積に対応している。

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C), A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

ドモルガン (de Morgan) の法則: 和と差、あるいは積と差のあいだの分配法則をあらわすもの、

\overline{A ∪ B} = \overline{A} ∩ \overline{B}, \overline{A ∩ B} = \overline{A} ∪ \overline{B}.

一般に n 個の集合 A_{i}, i = 1, 2, ⋯, n についても同様に

\overline{⋃_{i} A_{i}} = ⋂_{i} \overline{A_{i}}, \overline{⋂_{i} A_{i}} = ⋃_{i} \overline{A_{i}}.

２つの集合の直積: それぞれの集合からとった作られる順序のついた全体からなる集合を直積といい、 A × B で表す。 A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B} 掛け算の記号をつかっているが、その内容には注意をする。もし A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} であれば、 A × A は 36 個の要素をもつ (i, j); i, j = 1, 2, ⋯, 6 からなる集合でとなる。これはサイコロを 2 個投げたときに出るすべての目の組の可能性を列挙したものとなる。

集合族、べき集合：集合の集合、つまり元（要素）がまた集合となっているものを集合族 (a family of sets) という。とくにべき集合 (power set) とは記号で集合 A の部分集合全体 2^{A} で表す。たとえば A = {2, 4, 5} の 3 個の有限集合ならば 2^{A} = {∅, {2}, {4}, {5}, {2, 4}, {2, 5}, {4, 5}, {2, 4, 5}} の 2^{3} = 8 個の集合となる。

上極限集合、下極限集合：無限個の集合族について積や和をとったの概念である。数に対する集合でも同じような概念が、集合の無限列についても定義されている。これは確率の定義をするときには重要な働きをする。

2.8 写像

写像 (map,mapping) の定義は２つの集合 A, B において一つの要素 x ∈ A から他の一つ y ∈ B への対応があるとき、これを f と表し、 f : A ⟶ B つまり y = f(x), x ∈ A, y ∈ B とおく。

像 (image) と逆像 (inverse image) : 写像 f で、 b = f(a) のとき、 b を a の像といい、 a を b の原像という。集合についてある部分集合 A_{1} で、 A_{1} ⊂ A のとき、 f(A_{1}) = {f(a) | a ∈ A_{1}} を A_{1} の像といい、ある部分集合 B_{1} で、 B_{1} ⊂ B のとき、 f^{−1}(B_{1}) = {a | f(a) ∈ B_{1}} を B_{1} の逆像という。

定理写像 f : A ⟶ B でつぎの集合間の関係式 ; が成り立つ ( ただし A_{i} ⊂ A, B_{i} ⊂ B, i = 1, 2 ). ; \begin{matrix}(1) f(A_{1} ∪ A_{2}) = f(A_{1}) ∪ f(A_{2}) & (2) f(A_{1} ∩ A_{2}) ⊂ f(A_{1}) ∩ f(A_{2}) (部分集合となる) \\ (3) f^{−1}(B_{1} ∪ B_{2}) = f^{−1}(B_{1}) ∪ f^{−1}(B_{2}) & (4) f^{−1}(B_{1} ∩ B_{2}) = f^{−1}(B_{1}) ∩ f^{−1}(B_{2}) \\ (5) A_{1} ⊂ f^{−1}(f(A_{1})) (部分集合となる) & (6) f(f^{−1}(B_{1})) ⊂ B_{1} (部分集合となる) \end{matrix}

\underline{2.9 平方根の開平 15}

なぜなら (2) については

\begin{aligned}& \{b ∈ B | b = f(a), ∃a ∈ A_{1} ∩ A_{2}\} \\ ⊂ & \{b ∈ B | (b = f(a_{1}), ∃a_{1} ∈ A_{1}) and (b = f(a_{2}), ∃a_{2} ∈ A_{2})\} \end{aligned}

であるから。

問 2.8.1 たとえば実数上の 2 次関数 f(x) = x^{2} において上の例になる集合をあげてみよ。答えのひとつにはつぎがあり、他の例も各自考えてみよ。 A_{1} = [−3, 1], A_{2} = [−1, 2], B_{1} = [−1, 1]

写像としてとくに実数の集合を考えるには関数とよぶことがふつうであり、関数の定められている範囲やとり得る値の範囲を定義域 (domain)、値域 (range) とよぶ。また 2 つの関数の合成関数 f ∘ g(x) = f(g(x)) とか逆関数 f^{−1}、対数関数の逆関数として指数関数、指数関数の逆関数として対数関数、 f(x) = x^{2} (x ≥ 0) の逆関数として f^{−1}(x) = \sqrt{x} (x ≥ 0) も定義される。逆三角関数は三角関数の逆関数である。

2.9 平方根の開平

ルートの計算値を手計算で求めましょう。電卓がないと計算できないことはありません。つぎのように求められます。知っておいたほうがよいです。

たとえば、\sqrt{2} = 1.4142213562 と電卓では出てきますが、あるいは少し欲張ると、 1.4142135623730950488 ぐらいはパソコンでもでてきます。しかし機械に頼るではなく、理由を考えることもとても大切なことなのです。

かんたんなものから、始めます。 256 = 16^{2} ですから、これを考えてみます。手順をしてこれの理由を述べましょう。

(1) １の位から 2 桁づつに仕切りをいれます。 2 と 56 に分かれます。 (2) 左端からはじめて順次に進めます。平方して 2 を越えない最大の自然数を求めます。これは 1 です。 2 であれば、 4 となり、 2 を越えてしまいます。この最大の数を縦に書きます。

\begin{aligned}& 1 \\ 1 & \sqrt{2 56} \\ 1 & 1 \\ \overline{ } & \overline{ } \\ 2 & 1 56 \end{aligned}

(3) つぎは\begin{aligned}& 2 x \\ × & x \\ & y \end{aligned} の掛け算で、答え y が 156 を越えない数 x を考えます。これは x = 6

と求められるでしょう。 26 × 6 = 156 となりますから、これを右側に書き、元の値から引き算をして、答えは 0 となり、これで終了です。

1 6

1 \sqrt{2 56}
1  1
\overline{ }\overline{    } 26 1 56
6 1 56

\overline{ } 0

結局、\sqrt{256} = 16 が得られることになりました。 (4) もし引き算の答えが 0 でなかったら、繰り返します。 2 桁づつ下ろしてきてます。 (4) 仮に先ほどの引き算がゼロでなければ、 26 + 6 = 32 ですから、\begin{aligned}& 32 x \\ × & x \\ & y \end{aligned} の掛け算で、答え y が下ろしてきた数を越えないよう

に x を定めていきます。

さて問題はどうしてこのような手順で開平（平方根の計算）ができたのでしょうか？ヒントは (10a + b)^{2} = 100a^{2} + 20ab + b^{2} で a = 1 , b = 6 がいまの場合に対応しているのです。問いとして、上の\sqrt{2} を計算してみてください。

また計算機のアルゴリズムを考えてみることもプログラムのよい練習になります。

\underline{2.10 場合の数、数え上げ 17}

2.10 場合の数、数え上げ

階乗（かいじょう、ファクトリアル）の記号とは n! = n(n−1)(n−2) ⋯ 3·2·1(n ≧ 1), 0! = 1 とする。「r 種類の箱に n 個のボールの中から選んで入れること」が場合の数を計算するための基本のことがらです。 \underline{順列}「区別のある箱」に「区別のあるボール」を入れる重複順列「重複を許してひとつの箱に何個入れてもよい場合」という条件で取り出された場合の数。

n^{r} = \overbrace{n × n × ⋯ n}^{r}  (2.1)

順列(permutation) 「重複は許さずにひとつの箱には高々ひとつしか入れない場合」という条件で取り出された場合の数。

\overbrace{n(n − 1)(n − 2) ⋯ (n − (r − 1))}^{r} = (n)_{r} = \frac{n!}{(n − r)!}  (2.2)

\underline{組合せ}「区別のある箱」に「区別のないボール」を入れる重複組合せ「重複を許してひとつの箱に何個入れてもよい場合」という条件。

\frac{n(n + 1)(n + 2) ⋯ (n + (r − 1))}{r!} = \binom{n + r − 1}{r} = \binom{n + r − 1}{n − 1}  (2.3)

組合せ(combination) 「重複は許さずにひとつの箱には高々ひとつしか入れない場合」という条件。

\frac{n(n − 1)(n − 2) ⋯ (n − (r − 1))}{r!} = \frac{(n)_{r}}{r!} = \binom{n}{r} = \binom{n}{n − r}  (2.4)

問 2.10.1 箱とボールがそれぞれ n = 5, r = 2 のとき、重複順列、順列、重複組合せ、組合せについてすべての場合を書き並べてみなさい。そして答えが一致していることを確かめよ。たとえば 5 個のボールを a, b, c, d, e としてそれぞれ書き上げてみなさい。

2.11 パスカル三角形

数式 (a + b)^{3} を展開してみれば、

(a + b)^{3} = a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}

となることは知られている。ここでそれぞれの係数をみると、 1, 3, 3, 1 となっている。 (a + b)^{3} = (a + b) × (a + b) × (a + b) であるから、たとえば 3a^{2}b という項は第 1 項から a, 第 2 項から a, 第 3 項から b としたときには a^{2}b が得られ、これを他の取り出しかた、第 1 項から a, 第 2 項から b, 第 3 項から a ととしても同じ a^{2}b を得る。もうひとつの取り出し、第 1 項から b, 第 2 項から a, 第 3 項から a として、これらの 3 通りがすべて a^{2}b になるから、結局 a^{2}b の係数は 3 で、 3a^{2}b となることがわかる。つまり次のような塊りとしてくくることで理解できるでしょう。

(a + b)^{3} = aaa \begin{matrix}+aab \\ +aba \\ +baa \end{matrix} \begin{matrix}+abb \\ +bab \\ +bba \end{matrix} + bbb

いくつかの項を計算してみます。最初の０次（ゼロ乗）が 0 となるのは計算ではなく、このように定めると考えていてください。順次に計算していけることがつぎの定理にある命題に結びついてくるはずです。

(a + b)^{0} · · · · · · 1
(a + b)^{1} · · · · · · 1 1
(a + b)^{2} · · · · · · 1 2 1
(a + b)^{3} · · · · · · 1 3 3 1
(a + b)^{4} · · · · · · 1 4 6 4 1
(a + b)^{5} · · · · · · 1 5 10 10 5 1
(a + b)^{6} · · · · · · 1 6 15 20 15 6 1

三角形に並べられてこの表をパスカル三角形とよびます。パスカルは確率論ではよく出てきますが、日本の有名な江戸時代の数学者、関孝和もこの関係式を導いています。２項係数をもちいれば、

(a + b)^{0} · · · · · · \binom{0}{k}
(a + b)^{1} · · · · · · \binom{1}{0} \binom{1}{1}
(a + b)^{2} · · · · · · \binom{2}{0} \binom{2}{1} \binom{2}{2}
(a + b)^{3} · · · · · · \binom{3}{0} \binom{3}{1} \binom{3}{2} \binom{3}{3}
(a + b)^{4} · · · · · · \binom{4}{0} \binom{4}{1} \binom{4}{2} \binom{4}{3} \binom{4}{4}
(a + b)^{5} · · · · · · \binom{5}{0} \binom{5}{1} \binom{5}{2} \binom{5}{3} \binom{5}{4} \binom{5}{5}
(a + b)^{6} · · · · · · \binom{6}{0} \binom{6}{1} \binom{6}{2} \binom{6}{3} \binom{6}{4} \binom{6}{5} \binom{6}{6}

となります。

2.12 ２項係数

ここで２項係数とはある自然数 n に対して k = 0, 1, 2, ⋯, n について

\binom{n}{k} = \frac{n(n − 1)(n − 2) ⋯ (n − k + 1)}{k!}

と表したものです。したがって一般式では

(a + b)^{n} = \binom{n}{0}a^{n}b^{0} + \binom{n}{1}a^{n−1}b^{1} + \binom{n}{2}a^{n−2}b^{2} + ⋯ + \binom{n}{k}a^{n−k}b^{k} + ⋯ + \binom{n}{n}a^{0}b^{n}

と表現できます。なぜ２項という理由は、(a+b) の２つの項を展開しているからで、(a+b+c) とか (a + b + c + d) などの３項、４項もあって当然です。もし興味があれば、調べてみることもよいでしょう。

\underline{2.12 ２項係数 19}

定理つぎの関係式が成り立つ； ; 1. \binom{n}{r} = \binom{n − 1}{n − r} + \binom{n − 1}{r} · · · · · · · · · （加法性） ; 2. \binom{n}{r} = \binom{n}{n − r} · · · · · · · · · （対称性）

問 2.12.1 加法性\binom{n}{r} = \binom{n − 1}{n − r} + \binom{n − 1}{r} が成り立つことを確かめ、さらにこの式は、どういうことを意味しているか、パスカル三角形の表で考えなさい。

問 2.12.2 つぎの式は定義に代入して計算すれば得られますが、パスカル三角形の表から考えてみなさい。さらに積和の計算式, ∑_{k=1}^{n} k(k + 1) などとの関係を考えてみなさい。

\binom{n}{r} = \binom{n − 1}{r − 1} + \binom{n − 2}{r − 1} + ⋯ + \binom{r − 1}{r − 1}

問 2.12.3 定義の式を代入して計算してみて確かめなさい。

1. \binom{m}{0}\binom{n − m}{r} + \binom{m}{1}\binom{n − m}{r − 1} + ⋯ + \binom{m}{r}\binom{n − m}{0} = \binom{n}{r}

2. 1 − \binom{n}{1} + \binom{n}{2} + ⋯ + (−1)^{n}\binom{n}{n} = 0

3. \binom{n}{1} + 2\binom{n}{2} + 3\binom{n}{3} + ⋯ + n\binom{n}{n} = n2^{n−1}

問 2.12.4 トランプ 52 枚から 5 枚を選ぶポーカーで、場合の数を考えなさい。 (1) すべての場合は何通りか？答え\binom{52}{5} 約 259 万通り

(2) ローヤルフラッシュ（同じ種類の絵札、 (10,J,Q,K,A））

(3) フォーカード（4 枚が同じ数、 x ≠ y, (x, x, x, x, y)）、答え 13 · 12 · 4

(4) ストレート（種類を無視して、続きの番号）答え 9 · 4^{5}

(5) スリーカード（3 枚が同じ数, (x, x, x, y, z)）答え 13\binom{12}{2}4 · 4^{2}

(6) ツーペア（2 組の同じ数, (x, x, y, y, z)）答え\binom{13}{2}11 · 6 · 6 · 4

(7) ワンペア（2 枚のみ同じ数で残りはバラバラ, (x, x, y, z, w)）答え 13\binom{12}{3}6 · 4^{3}

(補足) とくに見かけは大したことがないような\binom{52}{5} の値が驚くほどの約 259 万通り (正確には 2598960) にも大きな数になりますが、この概算の計算を試みてみます。スターリングの公式

n! ∼ n^{n}e^{−n}\sqrt{2πn}

では

52!

= 80658175170943878571660636856403766975289505440883277824000000000000 ∼ 8.05290203838866 ∗ 10^{67}

このようなたいへんな計算もパソコンのレベルでも計算できます。

問 2.12.5 いままで 2 項係数の表し方は_{n}C_{k}, C_{k}^{n} とも表したかもしれませんが、同じものです。しかしこれを拡張した意味を上の式ではこめているのです。たとえば、自然数 n のかわりに実数 α としても意味をもちます。

\binom{α}{k} = \frac{α(α − 1)(α − 2) ⋯ (α − k + 1)}{k!} k = 0, 1, 2, 3, ⋯

これをもちいて、 k = 0, 1, 2, 3, ⋯ に対して\binom{−1}{k}, \binom{−2}{k} などを計算してみなさい。どんなことが気づきますか？パスカル三角形と関係があるのです。

21

第 3 章確率、確率分布

\underline{22 第 3 章確率、確率分布}

3.1 偶然な実験

統計学の理論展開を数学モデルとして取り扱うためには，確率の概念が必要となります。不確実性の数値化（モデル化）には，コイン投げ，さいころ投げを例として議論されますが，これには概念の定義に，（１）再現性（繰り返すことができる）と（２）客観性（多くの人が認める）をもつ対象を考えるからです。数学的には，「測度論」とよばれる面積や体積を定めるための道具をつかいます。公理的な確率論とよばれる由縁です。抽象的にモデル化し，つぎのように確率空間とよび，偶然の現象を数学的に定義します。

偶然によって起こると考えられる全ての結果全体 Ω を考えます。結果のあつまり，集合，を意味します。つぎにそのうちのいくつかの結果を事象とよび，これを集めたものを A と表します。厳密にはすこし厄介になるので，一般には大きさを測る，あるいは数え上げができるものと解釈します。実際には， P という記号で，事象の大きさ（可能性）を数値で表現します。まず確率の大きさをはかる対象となる集合を事象とよび，全事象と空事象，和事象，積事象，余事象（補事象）を定義されているとします。全事象 Ω は，すべての可能な結果全体で，当たり前のこと，この確率を１と定める。空事象 ∅ は，起こり得ないことで，確率を０とします。和事象 A ∪ B とは少なくともひとつ，いづれかがが起こること，積事象 AB, A ∩ B とは，すべてのものが同時に起こること，余事象\overline{A}, A^{c} とは，これが起こらない，否定を意味します。確率の定義；３つの組 (Ω, A, P) が確率空間とは加法性と連続性をみたす集合関数（集合から数値を対応）のことです。つぎを満たすとします；

(a) 基準化 P (∅) = 0, P (Ω) = 1

(b) 加法性 P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)

(c) 連続性 A_{i}, i = 1, 2, ⋯ が A_{1} ⊂ A_{2} ⊂ ⋯, lim_{i} A_{i} = ⋃_{i=1}^{∞} A_{i} は

P (lim_{i} A_{i}) = P (⋃_{i=1}^{∞} A_{i}) = lim_{i} P (A_{i})

確率の基本定理：

(1) A ⊂ B ならば， P (B) = P (A) + P (B \ A) = P (A) + P (B ∩ A^{c}) ≥ P (A)

(2) P (A^{c}) = 1 − P (A)

(3) P (⋃_{i=1}^{n} A_{i}) = ∑_{i} P (A_{i})−∑_{i<j} P (A_{i}A_{j})+∑_{i<j<k} P (A_{i}A_{j}A_{k}) ⋯+(−1)^{n+1}P (A_{1}A_{2} ⋯ A_{n}), ここで ∑_{i<j} は i < j を満たすすべての (i, j) の組にわたる和をとる。他も同様。

(4) A_{i}, i = 1, 2, ⋯ が互いに素，すなわち A_{i}∩A_{j} = ∅(i ≠ j) ならば P (⋃_{i} A_{i}) = ∑_{i} P (A_{i})

(5) de Morgan の法則より

P (⋃_{i} A_{i}) = 1 − P (⋂_{i} A_{i}^{c})

少なくとも一つが起こる確率の計算は，１からすべてがまったく起こらない確率を引けばよい。

P (⋂_{i} A_{i}) = 1 − P (⋃_{i} A_{i}^{c})

\underline{3.2 条件付き確率と事象の独立 23}

3.2 条件付き確率と事象の独立

まず条件付き確率を定義する。ある事象が起こったときに，もう一つの事象にどの程度影響を及ぼしているかの尺度を表す。記号では P (B|A) と表す。

P (B|A) = \frac{P (B ∩ A)}{P (A)}

ただし P (A) > 0 とする。事象 A は多少とも起こるものと前提条件をする。これを A が起こったときの B の起こる条件付き確率という。

(1) P (A) = P (A|B)P (B) + P (A|B^{c})P (B^{c})

(2) P (A ∩ B ∩ C) = P (A)P (B|A)P (C|A ∩ B), P (A ∩ B) > 0

(3) ベイズの定理; 事象列 A_{1}, A_{2}, ⋯, A_{n} を Ω の分割，つまり互いに素（どの２つをとっても積事象が空事象）であり，これらすべての和集合が全事象になるとき，つぎの条件付き確率についての関係式が成り立つ。

P (A_{j}|B) = \frac{P (B|A_{j})P (A_{j})}{∑_{k} P (B|A_{k})P (A_{k})}

事象 A_{k}, k = 1, 2, ⋯, n を原因と考え，結果の事象 B の条件付き確率がわかっていれば，結果からどの原因により起こっているかを考える。事前確率 P (A_{k}), k = 1, 2, ⋯, n から事後確率 P (A_{j}|B) を計算する式を意味する。

独立事象の定義; ２つの事象の間について，独立とは一方の起こる可能性に影響を与えないこと。 P (B|A) = P (B) を書き換えて

P (A ∩ B) = P (A)P (B)

が成り立つとき。一般に A_{i}, i = 1, 2, ⋯, n が独立であるとは，

P (⋂_{i=1}^{n} A_{i}) = P (A_{1})P (A_{2}) ⋯ P (A_{n})

で n 個のすべての部分系（１組のかたまりと考えて）が独立であるとき，で定義する。

問 3.2.1 与えられた確率 P (A) = 1/3, P (B) = 1/4, P (AB) = 1/6 に対して，つぎの確率を計算しなさい。ただし\overline{A} = A の補事象。

(i) P (\overline{A}) (ii) P (\overline{A} ∪ B) (iii) P (A ∪ \overline{B}) (iv) P (A\overline{B}) (v) P (\overline{A} ∪ \overline{B})

問 3.2.2 事象列 A_{n}, n ≥ 1 に対して

P (A_{1}A_{2} ⋯ A_{n}) ≥ ∑_{i=1}^{n} P (A_{i}) − (n − 1) = 1 − ∑_{i=1}^{n} P (\overline{A_{i}})

問 3.2.3 つぎを示せ。また一般化 (n 個) の事象列についてはどうなるか。

P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (B) − P (AB) − P (BC) − P (CA) + P (ABC)

問 3.2.4 ２つの事象 (A, B) が独立ならば， (A, \overline{B}), (\overline{A}, B) (\overline{A}, \overline{B}) も独立となることを示せ。

問 3.2.5 つぎの等式を示せ。

P (AB)−P (A)P (B) = P (\overline{A})P (B)−P (\overline{A}B) = P (A)P (\overline{B})−P (A\overline{B}) = P (\overline{A} \overline{B})−P (\overline{A})P (\overline{B})

問 3.2.6 つぎの４つの命題は同値であることを示しなさい。

\begin{matrix}(a) 事象 A と B は独立 & (b) 事象 A^{c} と B は独立 \\ (c) 事象 A と B^{c} は独立 & (d) 事象 A^{c} と B^{c} は独立 \end{matrix}

問 3.2.7 もし P (A|B) > P (A) ならば， P (B|A) > P (B) を示せ。（ヒント：\frac{P (A|B)}{P (B|A)} = \frac{P (A)}{P (B)} を示せ。）

問 3.2.8 事象列 A_{1}, A_{2}, ⋯, A_{n} が独立で P (A_{i}) = p, i = 1, 2, ⋯, n とおくとき，

(a) 少なくとも一つの事象が起こる確率は？

(b) 少なくとも m 個の事象が起こる確率は？

(c) ちょうど m 個の事象が起こる確率は？

問 3.2.9 箱の中には 1, 2, ⋯, n と数字の記されたボールが入っている。 r 個のボールをとりだすとき，最大の数字が m となる確率を計算せよ。

(a) もとに戻してからボールを取り出すとき (復元抽出）。

(b) もとには戻さずにボールを取り出すとき（非復元抽出）。

\underline{3.3 確率試行と確率変数 25}

3.3 確率試行と確率変数

確率試行コイン投げ確率変数とは実験の結果 Ω から数値（実数）を対応させるもの一般に {X ≤ a} = {ω ∈ Ω|X(ω) ≤ a} と表し，これが事象となるもの。すなわち {X ≤ a} ∈ F とします。

５枚のコインを投げて，表のでた枚数を X とおけば，各結果を H（表，Head）， T （裏，Tail）を使うと，{X = 0} = {T T T T T }(1 点集合)，{X = 1} = {HT T T T, T HT T T, ⋯, T T T T H}(5 点集合) ， {X = 2} = {HHT T T, HT HT T, ⋯, T T T HH}(10 点集合) ， {X = 3} = {HHHT T, HHT HT, ⋯, T T T HH}(15 点集合) などとなります。また {X ≤ 2} = {X =

0\} ∪ \{X = 1\} ∪ \{X = 2\}, \{X ≤ \sqrt{2}\} = \{X = 0\} ∪ \{X = 1\}, さらに \{\sqrt{2} ≤ X ≤ \frac{3}{2}\} = ϕ

(空事象), \{0 ≤ X ≤ 5\} = Ω (全体事象), \overline{\{3 ≤ X\}} = \{X ≤ 2\} (補事象) などが成り立ちます。これは集合の包含関係で要素が同じであること, 集合の等号、を表しています。

3.4 確率分布

コイン投げやさいころ振りを繰り返して、この実験結果を整理まとめていくと、ある傾向が求められます。たとえば，５枚のコインを投げて，何枚表が出たかを記録してします。大体このような実験では、確率的に変動しますから、起こりやすいところ、起こらないところの大小で、高さを描いたグラフが記述統計で調べた度数分布表です。これに対して，理論的にあるいは仮想的にそれぞれそのくらいの可能性があるかを計算します。これが，コイン投げの確率分布です。コイン投げの分布では，可能性をできるだけ調べ上げて，当てはまるの事象の大きさを測ります。つまり確率を計算します。このときによく用いる概念が２項係数などで，場合の数を効率よく数え上げようとするものです。上の例でいえば， 2^{5} 通りの結果から，表が１枚出る事象は５通りあるので， P (X = 1) = \frac{5}{2^{5}} となります。

和の分布；数枚のコインを投げる場合では，各コインの結果（表が１，裏がゼロ）をまとめて，和を取ると，表の出た枚数となります。一般にこれは和の分布を計算することです。独立な確率変数について，

P (X_{1} + X_{2} = a) = ∑_{k} P (X_{1} = k)P (X_{2} = a − k)

が成り立ちます。たとえば、さいころを 3 回投げたときの総和の分布を考えましょう。縦 (列) には 2 回の和 X_{2} を書き並べ、横 (行) には 3 回目の値 X_{1} を書き、これらの和をとった値を表にしてみました。例として

P (X_{1} + X_{2} = 7)
= ∑_{k} P (X_{1} = k)P (X_{2} = 7 − k)
= P (X_{1} = 1)P (X_{2} = 7 − 1) + P (X_{1} = 2)P (X_{2} = 7 − 2) + ⋯
+ ⋯ + P (X_{1} = 6)P (X_{2} = 7 − 6)
= (1/6)(5/36) + (1/6)(4/36) + (1/6)(3/36) + (1/6)(2/36) + (1/6)(1/36)
= 15/216

となります。表の中では斜めの直線で “7” になる部分を加えていきます。

\begin{matrix}[figure: X_{2} の値 (確率); X_{1} の値 (確率)] & 1(1/6) & 2(1/6) & 3(1/6) & 4(1/6) & 5(1/6) & 6(1/6) \\ 2(1/36) & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 3(2/36) & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 4(3/36) & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ 5(4/36) & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 \\ 6(5/36) & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\ 7(6/36) & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 \\ 8(5/36) & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 \\ 9(4/36) & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 \\ 10(3/36) & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 \\ 11(2/36) & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 \\ 12(1/36) & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 \end{matrix}

同時分布（結合分布）；２変量 (X, Y) の結果について，積事象 {X = a} ∩ {Y = b} を (X, Y) = (a, b) と表し， f_{X,Y} (a, b) = P (X = a, Y = b) を同時密度とよびます。周辺分布とは f_{X}(a) = ∑_{b} f_{X,Y} (a, b), f_{Y} (b) = ∑_{a} f_{X,Y} (a, b) をいいます。行列の表形式で与えられた２次元の度数分布表から周辺度数（縦計や横計）を求めたことに相当します。また和の分布は

P (X_{1} + X_{2} = a) = ∑_{{(x,y)|x+y=a}} f_{X,Y} (x, y)

という意味で，ここで和 ∑ は x + y = a となるすべての (x, y) にわたる和をとります。最後の項が独立であれば，確率の積になります。

以上は離散型確率変数ですが，連続型の場合もほぼ同様です。

離散型確率変数；

P (a ≤ X ≤ b) = ∑_{{k|a≤k≤b}} P (X = k)

連続型確率変数；

P (a ≤ X ≤ b) = ∫_{a}^{b} f_{X}(x)dx

ここで F_{X}(x) = P (X ≤ x) とおき，微分ができるばあい，その微分係数（導関数）を f_{X}(c) = \frac{dF_{X}(x)}{dx}|_{x=c} とします。

3.5 期待値

平均の定義式；

E(X) = \{ \begin{matrix}∑_{i} x_{i}f_{X}(x_{i}) & 離散型 \\ ∫_{−∞}^{∞} xf_{X}(x)dx & 連続型 \end{matrix}

離散型では E[(X − a)^{2}] = ∑_{i}(x_{i} − a)^{2}f_{X}(x_{i}) = ∑_{i} x_{i}^{2}f_{X}(x_{i}) − 2a ∑_{i} x_{i}f_{X}(x_{i}) + a^{2} 連続型では E[(X − a)^{2}] = ∫_{−∞}^{∞}(x − a)^{2}f_{X}(x)dx = ∫_{−∞}^{∞} x^{2}f_{X}(x)dx − 2a ∫_{−∞}^{∞} xf_{X}(x)dx + a^{2} となります。

\underline{3.5 期待値 27}

分散 V (X) の定義は，上の式で， a = E(X) とおいたもので，

V (X) = \{ \begin{matrix}∑_{i} x_{i}^{2}f_{X}(x_{i}) − \{E(X)\}^{2} & 離散型 \\ ∫_{−∞}^{∞} x^{2}f_{X}(x)dx − \{E(X)\}^{2} & 連続型 \end{matrix}

一般に２変量確率変数 (X, Y) から定めた実数値関数の確率変数 h(X, Y) の期待値は

E(h(X, Y)) = \{ \begin{matrix}∑_{i} ∑_{j} h(x_{i}, y_{j})f_{X,Y} (x_{i}, y_{j}) & 離散型 \\ ∫_{−∞}^{∞}∫_{−∞}^{∞} h(x, y)f_{X,Y} (x, y)dxdy & 連続型 \end{matrix}

２重積分やら，２重和をとることが入って，すこし難しいかも知れませんが，１変量が面積の計算，２変量が体積の計算をしているだけです。平均は重心の計算と同じです。和の分散には， h(x, y) = {(x + y) − a}^{2} として計算します。ここで a = E(X + Y) は既に定数となっていることに注意。

問 3.5.1 X が平均 μ, 分散 σ^{2} をもつとき，つぎの値を μ, σ^{2} で表しなさい。

\begin{matrix}(1) E(3X + 2) & (2) E(X^{2}) \\ (3) E(2X^{2} + 2X − 1) & (4) E[(X − 2)^{2}] \end{matrix}

問 3.5.2 分散に関するつぎの式を導きなさい。

(1) V (aX + b) = a^{2}V (X) (b にはよらない）

(2) X, Y が独立ならば， V (X − Y) = V (X) + V (Y) (符号に注意，差の分散でも分散の和になる）

問 3.5.3 つぎの表は離散型確率変数の結合密度を表すとします。

y の値 1  2  3
x 0 0.15 0.10 0.15
の 1 0.10 0.0 0.10
値 2 0.15 0.10 0.15

このとき，

(1) E(XY) = E(X)E(Y) が成り立つが, 独立ではないことを示せ。

(2) V (X + Y) を計算しなさい。

問 3.5.4 期待値の計算で、とくに確率変数が非負整数値 {0, 1, 2, ⋯, } をとる場合、期待値が存在する（級数が収束する）ときには

E[X] = ∑_{k=0,1,2,···} kP (X = k)
= P (X ≧ 1) + P (X ≧ 2) + P (X ≧ 3) + ⋯
= ∑_{k=0,1,2,···}(1 − F_{X}(k))

を確かめよ。ここで F_{X}(k) = P (X ≤ k).

3.6 コインとサイコロ

コインを投げると，表か裏のいずれか， 2 通りのうちのひとつが結果としておこる。結果を表す変数を確率変数といい，この変数がとり得る値の集まりを考え，その起こりえる可能性を尺度化することで，確率分布が定められる。コイン投げの 2 通りの結果がある場合をベルヌーイ分布といい，サイコロ投げのように 6 通りの目の出方が同じ確からしさをもつ場合，一様分布とよぶ。

3.7 ２項分布

表の出る確率が p のコインを一枚投げる実験では， X = \{ \begin{matrix}1, & p \\ 0, & 1 − p \end{matrix} で，これを n 枚投

げる（繰り返す）ことは Y_{n} = X_{1} + X_{2} + ⋯ + X_{n} とおき， k(k = 0, 1, 2, ⋯, n) 枚表が出る事象の確率 P (Y_{n} = k) は X_{i}(i = 1, 2, ⋯, n) のなかで１となっているものの数え上げであるから２項係数で表現できる。

P (Y_{n} = k) = \binom{n}{k}p^{k}(1 − p)^{n−k}, k = 0, 1, 2, ⋯, n

これをパラメータ n, p の２項分布という。２項分布の平均 μ と分散 σ^{2} は

μ = np, σ^{2} = np(1 − p)

とくに n = 1 はパラメータ p のベルヌイ分布とよばれる。ベルヌイ分布や２項分布から生じるさまざまな現象は，ランダムウオーク（酔歩），正規分布やポアソン分布などいろいろな分布の解析に結びつく。

3.8 超幾何分布

つぼの中からボールを取り出すとき，取り出されたボールを元のつぼに戻すかどうかで次に取り出すボールの結果に影響を与える。復元抽出と非復元抽出である。ボールの総個数が有限個しかないならば，復元抽出は同じ状況の繰り返しであるが，非復元の場合には取り出しの度毎に変わっていく。条件付きの確率を考えることになる。ボールの総個数を N とし， 2 種類のボール，たとえば赤 r と黒 N − r のボールがあるとき n 個のボールを非復元抽出するとき，この中に赤ボールが X 個含まれる，つまり黒ボールが n − X 個となる確率，

\begin{aligned}P (X = k) & = \binom{r}{k}\binom{N−r}{n−k}/\binom{N}{n} \\ & = \binom{n}{k}\frac{(r)_{k}(N − r)_{n−k}}{(N)_{n}} \end{aligned} , k = 0, 1, 2, ⋯, r

をパラメータ N, n, r の超幾何分布という。ボールの総数 N がかなり大きいときには，ボールをもとに戻してもつぎのボールの取出しにはほとんど影響ない。すなわち，同じ状況の繰り返しであるから，これはパラメータ n, p の 2 項分布になる。復元抽出（繰り返しのばあい）には 2 項分布であるが，非復元抽出（もとに戻さない取り出し）では，超幾何分布である。ここで lim_{N} r/N = p, lim_{N}(N − r)/N = 1 − p それぞれ赤ボール，黒ボールの比率を表す。上の超幾何分布の確率は N → ∞ とすれば， 2 項分布の確率に近づく。

29

第 4 章正規分布

\underline{30 第 4 章正規分布}

4.1 正規分布の発見

どんなに偏りのあるコインであっても，繰り返し投げ続けていくと，すべてが同じ結果，たとえば表ばかりとか裏ばかりではなく，ある変動をもった結果が得られると想像される。ｎ枚のコインを投げると（１枚のコイン投げをｎ回繰り返すと），表の出る枚数（回数）は２項分布にしたがうことという命題は既に学んだ。この枚数（回数）をどんどん大きくしていくと，２項分布ではあるが，ある分布に近づくことがわかる。この分布が正規分布である。ラプラス (Pierre Simon de Laplace), 1749-1827 フランスの革命期の数学者、天文学者。数学特に解析学の多くの分野に大きな業績を残したが、古典確率論の大成はその貢献の一つである。一方，ガウス (Karl Friedrich Gauss), 1777-1855, ドイツの数学者、物理学者、天文学者。幼少時より天才の誉れ高く、数学・物理学に巨大な功績を残しているが，この分野では正規分布の発見がある。正規分布を２項分布の極限として，ラプラスが導いた方法とは全く異なり，天体観測の誤差測定を解析し，変動があり得る状況から，微分方程式をたてて，正規分布を導いた。「誤差論」円錐曲線で太陽の回りを回る天体の運動理論 — 多くの観測結果にもっともよく合う軌道の決定 — という論文（1809 年）で密度関数を示した。

標準正規分布の密度関数の曲線です。滑らかに変化し、ひとつ山の形をしています。

ϕ(x)

x

このグラフの式はつぎで与えられるものです。

ϕ(x) = \frac{1}{\sqrt{2π}} exp (−\frac{x^{2}}{2} ) = \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{−x^{2}/2}

ガウスは、誤差の解析をすることで、微分方程式\frac{d}{dx}ϕ(x) = −xϕ(x) を導き、その結果正規分布を求めました。この微分方程式は変数分離形で初等的なテキストには必ず述べられています。

4.2 大数の法則

いま，表の出る確率が p, 裏のでる確率が 1 − p のコインがあったとする。このコインを投げ表が出れば，１点，裏ならば０点として，この点数が表される各回の結果を X_{1}, X_{2}, ⋯, X_{n} とおく。 Σ_{i}X_{i} は１がでた回数で，表の出た比率はデータ平均\overline{X} となる。大数の法則とは，この表の出た比率は，繰り返し数をどんどん大きくすると，１回投げたときに表れるべき表の確率の値 p に近づくことという命題である。近づくという意味を数学的には，確率収束と

\underline{4.3 中心極限定理 31}

か，概収束で正確に書き下される。より一般には，「独立な同一分布にしたがう確率変数列の標本平均（観測値を全体個数で割ったもの，データの平均，算術平均）は，個数を大きくしていくともとの分布の期待値（分布の平均）に確率収束（概収束）する」ということである。この定理は，抽出した標本数を大きくしていけばいくほど，母集団の平均を明らかにすることができるという，統計学の基本定理の一つである。

4.3 中心極限定理

大数の法則が，標本の平均（観測値の和をデータ総数で割ったもの）と分布の期待値（平均値）との関係を明らかにしているが，中心極限定理とは，同じようにデータ数を大きくしていった状況の近づきかたを示している。つまり，２項分布の極限が正規分布であるということがひとつの例である。繰り返されるコイン投げの列などを例にして，確率変数 X_{1}, X_{2}, ⋯, X_{n}, ⋯ は独立ですべて同じ平均 μ, 分散 σ^{2} をもつとします。この n 個の観測結果から，標本平均 \overline{X}_{n} = Σ_{i=1}^{n}X_{i} を作る。大数の法則から\overline{X}_{n} − μ は 0 に確率収束しま

す。これではどのように近づいていくのか分からないので，\frac{\overline{X}_{n} − μ}{\sqrt{σ^{2}/n}} を考える。この分数の

分母には，\overline{X}_{n} の分散の平方，すなわち，標準偏差です。もちろんこの値は n が大きくなれば，ゼロに近づきますが，分子もゼロですから極限の不定形になっています。ラプラスは，この極限分布が正規分布とよばれる分布であることを示しました。数学的に表現すると，任意の実数 a, b に対し，とすれば

lim_{n→∞} P (a ≤ \frac{\overline{X_{n}} − μ}{\sqrt{σ^{2}/n}} ≤ b) → ∫_{a}^{b} \frac{1}{\sqrt{2π}} exp(−\frac{x^{2}}{2} ) dx

が成り立つ。右辺の積分値のなかに表れている関数が標準正規分布の密度関数であり，ガウスが微分方程式で導いたものと同じである。積分の計算がそのままになっている理由は，原始関数が求められない（つまり積分が求められない）から，形を書いているだけである。もし実際に a, b を入れて，この値を求めるには「正規分布表」とよばれる，区間と対応する確率（積分値）を予め数値計算したものを準備しておかねばならない。簡単に言えば，面積の計算が積分で求められないから数値計算したというわけである。この数値表は，統計学のテキストには必ず掲載されているし，今後の推定や検定にはよく用いられるので手元に準備しておく必要がある。

この結果をいいかえると標本平均\sqrt{n}(\overline{X}_{n} − μ) の漸近分布 (個数が大きく場合の分布）は N(0, σ^{2}) である。ここで N(μ, σ^{2}) とは平均 μ と分散 σ^{2} の一般正規分布を表す。

\frac{1}{\sqrt{2π}σ} exp(−\frac{(x − μ)^{2}}{2σ^{2}} ) − ∞ < x < ∞

係数は面積が１となるようにしたもので，\frac{1}{\sqrt{2π}σ} とか\frac{1}{\sqrt{2πσ^{2}}} などとも表すので違いに注意する。グラフの概形は，ベル型をした一つ山で，頂点 x = μ が極大，２つの変曲点 x = μ ± σ。ここで変曲点とは，上にふくらんだ状態から下にふくらみをもつ状態に変わるところ，極大・極小が１階の微分係数をゼロとして求められ，変曲点は凸と凹の境目で，２階の微分係数をゼロとして求められる。

ガウスの示した中心極限定理のすばらしいことは，もとの分布がコイン投げ（パラメータ p のベルヌーイ分布）であろうがさいころ振り（６点集合の離散型一様分布）でもカマワナイこと。離散型，連続型のものであっても，極限は連続型の正規分布になる。多少の偏りがあっても，独立な繰り返しとその平均と分散の存在が保証されている限り，どんな分布であっても極限は正規分布になります。非常に強力で有用な定理であることがわかるだろう。

２項分布の正規近似をおこなうときに，ひとつ注意をすることがある。半整数補正とよばれる近似をよくするためのテクニックである。２項分布は整数の値をとる離散型で，一方正規分布は実数値をとる連続型であるから，次のような補正をする。

確率変数 X をパラメータ n, p の２項分布とするとき，中心極限定理から平均 np, 分散 np(1 − p) の正規分布 Y で近似される。また標準正規分布を Z とすると，このばあいの半整数補正とは

\begin{matrix}P (X = k) ≒ P (k − 0.5 < Y < k + 0.5) = P (\frac{(k − 0.5) − np}{\sqrt{np(1 − p)}} < Z < \frac{(k + 0.5) − np}{\sqrt{np(1 − p)}}) , \\ P (i ≤ X ≤ j) ≒ P (i − 0.5 < Y < j + 0.5) = P (\frac{(i − 0.5) − np}{\sqrt{np(1 − p)}} < Z < \frac{(j + 0.5) − np}{\sqrt{np(1 − p)}}) \end{matrix}

4.4 乱数の生成

関数電卓やパソコンの表計算ソフトには，乱数を生成する機能 randomize, rnd(), rand(), ran# などをもつ。シミュレーションや数値計算にはよく用いられる。いわゆる一様乱数とよばれるものであるが，統計・確率の言葉でいえば，一様分布にしたがう確率変数である。厳密に議論するとでたらめとは何かという概念まで深入りしないといけないので，ここでは単に計算機のつくる確率変数を信用しておくことにする。この計算機がつくった確率変数（擬似一様乱数）からさまざまな確率分布のシュミレーションを考えよう。最初に単位区間 [0, 1] 上で一様分布する確率変数を U, U_{1}, U_{2}, ⋯ などとしておく。

１枚のコイン投げ； X = \{ \begin{matrix}1; p, \\ 0; 1 − p \end{matrix} をつくるには，実現値 U が区間 [0, p] の内部か，

そうでないかという場合分けをおこなう。

if 0 < U < p, let X = 1, else X = 0.

さいころ振り； X = i; 1/6, (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6) についても上と同様に [0, 1] 上で一様分布する確率変数 U から，

if 0 ≤ U < 1/6, let X = 1,
elseif 1/6 ≤ U < 2/6, let X = 2,
elseif 2/6 ≤ U < 3/6, let X = 3,
· · · · · ·
elseif 5/6 ≤ U < １, let X = 6.

これらの方法は，逆変換法とよばれるものである。あるいはある数を超えないを対応させる関数 int() をつかうと， let X = int(6 ∗ U) + 1 でもよいことがわかる。

\underline{4.5 正規分布の確率計算 33}

ｎ枚のコイン投げ；これは２項分布のシミュレーションをすればいいから，１枚のコイン投げを n 回繰り返して，和をとる。これには 100 枚のコイン投げであれば， 100 個乱数を作らなければならない。その代わりに，上の逆変換法のように１個の一様乱数から作る方法がある。 n, p は予め与えておいてから， STEP.1 let c = p/(1 − p), i = 0, pa = (1 − p)^{n}, F = pa. STEP.2 if U < F, let X = i, STOP. STEP.3 let pa = [c(n − i)/(i + 1)] ∗ pa, F = F + pa, i = i + 1. STEP.4 goto STEP2.

正規分布にしたがう乱数，正規乱数；中心極限定理の応用として，正規乱数を生成する。これには 12 個の一様乱数から１個の正規乱数がつくれる。

for i = 1 to 12, X = X + U_{i} next i, let X = X − 6

つまり， 12 個の一様乱数をつけ加えて，これから，６を引くという，極めて簡単なアルゴリズムで，正規乱数が作れる。

4.5 正規分布の確率計算

正規分布に関する確率を計算するには，正規分布表をもちいる。この表は平均 0，分散 1 の標準正規分布 Z の分布関数を表にまとめたものです。横軸にとり得る値 x （−∞ から ∞）をとり縦軸に Φ(x) = P (Z ≤ x) を対応させます。密度関数の左右対称性から，正の値のみを書いてあるものが多いですが，これからでもすべての値を計算できます。連続型であることから， P (Z ≤ x) = P (Z < x) が成り立つ，離散型とことなり，等号が含まれていてもいなくても同じ値であることに注意します。

いくつかの点を取り上げると，

\begin{matrix}x & 0.000 & 1.00 & 1.282 & 1.645 & 1.960 & 2.00 & 2.241 & 2.326 & 2.576 & 2.807 & 3.00 \\ Φ(x) & .5000 & .8413 & .9000 & .9500 & .9750 & .97725 & .98745 & .9900 & .9950 & .9980 & .99865 \end{matrix}

正規分布表は「変数の値」と「（値以下の）確率」の対応を数値計算したものですが、すべては表していません。中間にある対応を求めるには「線形補間」をおこないます。三角形の相似形を応用したものです。確率 ϕ(x_{i}) = a_{i}, i = 1, 2 が与えられたとき、 a_{1} < α < a_{2} に対

する値は c = \frac{x_{2} − x_{1}}{a_{2} − a_{1}} (α − a_{1}) + x_{1} で近似されます。

例題

(1)P (0 < Z < 1.2) = P (0 < Z ≤ 1.2) = P (0 ≤ Z < 1.2) = P (0 ≤ Z ≤ 1.2) ≒ 0.3849 (2)P (−1.2 < Z < 0) = P (0 < Z < 1.2) ≒ 0.3849 (3)P (−1.2 < Z < 1) = P (0 < Z < 1.2) + P (0 < Z < 1) ≒ 0.3849 + 0.3413 = 0.7262 (4)P (Z < −1.2) = P (Z < 0) − P (−1.2 < Z < 0) = 0.5 − P (0 < Z < 1.2) ≒ 0.5 − 0.3849 = 0.1151

問 4.5.1 確率変数 X が平均 10, 分散 4 の正規分布にしたがうとき，つぎの値をもとめよ。

(1) P (X ≤ 13) (2) P (X > 11) (3) P (9 < X < 12) (4) P (X < c) = 0.1 を満たす c の値

問 4.5.2 ある測定器具の誤差は平均 0, 標準偏差 0.2(分散 0.2^{2} = 0.04)mm の正規分布にしたがう。この器具で測定誤差が 0.5mm 以上となる確率はいくつか（ヒント；誤差は両側を考えるから，絶対値として一定以上となる確率を求める）（注意）問題の訂正前の資料では標準偏差を 2 としていますので、標記の値で解答してください。

問 4.5.3 ポアソン分布について， P (X = k + 1) と P (X = k) の関係式 (k = 0, 1, 2, ⋯) を導き，２項分布と同様なアルゴリズムを作りなさい。

問 4.5.4 コインを 400 回投げるとき，表のでた回数が 180 回以上， 210 回以下となる確率はいくつか？半整数補正も加えて，正規分布近似で計算しなさい。

問 4.5.5 中心極限定理の応用として，正規乱数を求める方法の根拠を説明しなさい。（ヒント；和の分布として平均と分散を計算してみなさい）

「注意」解答には正規分布表をもちいます。多くのテキスト、演習参考書には掲載されています。もし必要ならば、正規分布表は講義 HP 「統計学 A」の「統計分布表」にもありますから、 [DownLoad] して使ってください。

どんなに偏りのあるコインであっても，繰り返し投げ続けていくと，すべてが同じ結果，たとえば表ばかりとか裏ばかりに一方的に偏ることがなく，適度な変動をもった結果が集約して得られると想像される。 n 枚のコインを投げると（１枚のコイン投げを n 回繰り返すと），表の出る枚数（回数）は２項分布にしたがうことという命題は既に学んだ。この枚数（回数）をどんどん大きくしていくと，２項分布ではあるが，ある分布に近づくことがわかる。この分布が正規分布である。ラプラス (Pierre Simon de Laplace), 1749-1827 フランスの革命期の数学者、天文学者。数学特に解析学の多くの分野に大きな業績を残したが、古典確率論の大成はその貢献の一つである。

これは古典的な中心極限定理の魁（さきがけ）となっています。中心という言葉は Polya(1920) によるものといわれ、基本的とか「中心的に重要なもの」という意味がこめられている。つまりどんな分布であってもたくさん集めて、その観測値データの算術平均をとれば、その分布は正規分布に近づくという。これを分布収束とよぶ。

中心極限定理 (Central Limit Theorem) とは

X_{1}, X_{2}, ⋯, を独立同一分布で共通の平均 μ と分散 σ^{2} をもつならば、観測データの和 ; S_{n} = ∑_{i=1}^{n} X_{i} について ; \frac{S_{n} − nμ}{\sqrt{n}σ} → N(0, 1), n → ∞ ; あるいは観測データの算術平均\overline{X_{n}} = \frac{1}{n}∑_{i=1}^{n} X_{i} について ; \frac{\overline{X_{n}} − nμ}{σ/\sqrt{n}} → N(0, 1), n → ∞

この中心極限定理は確率論の中心テーマの一つといえる。多くの研究者が取り組んでいるが、とくにロシア（ソビエト連邦）では盛隆であり、拡張された優れた結果が多く発表された。

正規分布の歴史は 1730 年ドモアブル（De Moivre）の記事 Miscellanea Analytica （さまざまな解析）、 1733 年 The Doctrine of Chances （偶然の原則）から始まる。さらに 1738 年の The Doctrine of Chances （偶然の原則）第 2 版に 2 項分布を近似する内容が述べられているという。その後ラプラスにより、 Analytical Theory of Probabilities （確率の解析的理論） (1812) によって拡張された。

一般のコイン投げを多数回繰り返すと、その分布は正規分布に近い形でことがわかる。つまり 2 項分布の極限は正規分布である。このように 2 項分布を正規分布で近似することは、ドモアブル・ラプラスの定理とよばれる。

確率変数がパラメータ n, p の 2 項分布にしたがうならば、記号では X ∼ Bin(n, p) と表し, その密度関数が P (X = x) = \binom{n}{x}p^{x}(1 − p)^{x} であるならば、

P (X = x) ∼ \frac{1}{\sqrt{2π}} exp \{− (\frac{x − np}{\sqrt{np(1 − p)}})^{2} /2\}\frac{1}{\sqrt{np(1 − p)}}

\underline{36 第 4 章正規分布}

(2 項分布の確率密度) ∼ (正規分布の確率密度関数)

標準正規分布の密度関数の曲線です。滑らかに変化し、ひとつ山の形をしています。 ϕ(x)

x

このグラフの式はつぎで与えられるものです。

ϕ(x) = \frac{1}{\sqrt{2π}} exp (−\frac{1}{2x^{2}} ) = \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{−1/2x^{2}}

実際、数値を当てはめてみると比較をしてみます。かなり正確に当てはまることがわかる。いま 2 項確率とは\sqrt{npq}P (X = x) 正規確率とは ϕ (u), u = \frac{x − np}{\sqrt{npq}}, q = 1 − p として計算してみます。たとえば n = 10, p = 0.7 のとき、

値  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10
2 項確率 0.000 0.000 0.002 0.013 0.053 0.149 0.290 0.387 0.338 0.175 0.041
正規確率 0.000 0.000 0.001 0.009 0.047 0.154 0.314 0.399 0.314 0.154 0.047

もう少し n を大きくして n = 30, p = 0.7 のときの数値結果は

値  10  12  14  16  18  20  22  24  26  28  30
2 項確率 0.000 0.001 0.011 0.058 0.188 0.355 0.377 0.208 0.052 0.005 0.000
正規確率 0.000 0.001 0.008 0.055 0.195 0.369 0.369 0.195 0.055 0.008 0.001

証明はすこし技術的な要素が強いですが、スターリングの公式 m! = \sqrt{2πm}m^{m}e^{−m} と対数関数の近似（テーラー展開） log(1+x) = x− \frac{x^{2}}{2} +O(x^{3}) をもちいる。\sqrt{npq}\binom{n}{x}p^{x}q^{n−x} ∼

\frac{1}{2π} e^{− \frac{u^{2}}{2}} の両辺の対数をとって示すことが多い。 x/n−p = u\sqrt{\frac{pq}{n}}, (n−x)/n−q = −u\sqrt{\frac{pq}{n}}

であり、先の公式から

log \frac{x/n}{p} = log (1 + u\sqrt{\frac{q}{np}}) = u\sqrt{\frac{q}{np}} − \frac{u^{2}}{2} \frac{q}{np}

,

log \frac{(n − x)/n}{q} = log (1 − u\sqrt{\frac{p}{nq}} ) = −u\sqrt{\frac{p}{nq}} − \frac{u^{2}}{2} \frac{p}{nq}

が得られ、より高次の n については無視することで近似される。

つぎは Pierr Simon Laplace(1749-1827) による厳密な証明である。彼は特性関数（ラプラス変換と同様）とその逆変換という技法をもちいた。つぎの変換 ψ(t) = E(e^{itX}) をおこなって,n → ∞ とした極限関数とが正規分布のそれと一致することから、対応の一意性によって厳密に証明した。確率論では強力に使える手法である。まず 2 項分布（ベルヌイ分布； 1 枚のコイン投げ）の特性関数を計算し、独立な和の分布は積になるから、 2 項分布の特性関数が求められる。コインの枚数 (n) を多くするから、これを n の値で評価する。微積分でのテーラー展開でもちいて、極限を計算する。この極限関数が、正規分布の特性関数に対応するものであり、対応が 1 対 1 であることから、証明される。

一方，ガウス (Karl Friedrich Gauss), 1777-1855 が正規分布について極めて大きな貢献を与えた。いわゆる中心極限定理である。ガウスはドイツの数学者、物理学者、天文学者で、幼少時より天才の誉れ高く、数学・物理学に巨大な功績を残している。ラプラスが議論した、２項分布の極限として正規分布を導いた方法とは全く異なり，天体観測の誤差測定を解析し，変動があり得る状況から，微分方程式をたてて，正規分布を導いている。「誤差論」円錐曲線で太陽の回りを回る天体の運動理論—多くの観測結果にもっともよく合う軌道の決定—という論文（１８０９年）で密度関数を示した。

ガウスは、誤差の解析をすることで、微分方程式\frac{d}{dx}ϕ(x) = −xϕ(x) を導き、その解を求める。この微分方程式は変数分離形であるから

log ϕ(x) = ∫ (−x)dx + const. = \{x の 2 次式\} = cx^{2}の形（条件から） = （係数） × \frac{−1}{2}x^{2}

と求められる。

ガウスの考えかたは（観測値）＝（未知の真の値）＋（誤差分布）ととらえ、もし n 個の観測値があれば、それらを M_{i} = z + v_{i}, i = 1, 2, ⋯ n とおく。また誤差分布はゼロを中心として対称（正と負の両方の値をとる）で標本 n が多数であればゼロに近いとし、 \frac{M_{1} + M_{2} + ⋯ + M_{n}}{n} = z 分布の確率は密度 ϕ(v)dv をもつとする。 v_{i} = M_{i}−z であるから、独立として積の形になるから P = ϕ(v_{1})dv_{1}×ϕ(v_{2})dv_{2}×⋯×ϕ(v_{n})dv_{n} この P を最大にするには対数をとって log P を最大にすればよい、すなわち log ϕ(v_{1})+log ϕ(v_{2})+⋯+log ϕ(v_{n}) を微分してゼロになるようなところを定める。

\frac{∂P}{∂z} = \frac{1}{ϕ(v_{1})} \frac{∂ϕ(v_{1})}{∂z_{1}} + \frac{1}{ϕ(v_{2})} \frac{∂ϕ(v_{2})}{∂z_{2}} + ⋯ + \frac{1}{ϕ(v_{n})} \frac{∂ϕ(v_{n})}{∂z_{n}} = 0

合成関数の微分から\frac{∂ϕ(v)}{∂z} = ϕ′(v)\frac{∂v}{∂z} であり、いま\frac{ϕ′(v)}{ϕ(v)} = ψ(v) とおけば

ψ(v_{1})\frac{∂v_{1}}{∂z_{1}} + ψ(v_{2})\frac{∂v_{2}}{∂z_{2}} + ⋯ + ψ(v_{n})\frac{∂v_{n}}{∂z_{n}} = 0

が成り立ち、仮定からすべての i で v_{i} = M_{i} − z としたから\frac{∂v_{i}}{∂z_{i}} = −1 で共通だから、

ψ(v_{1}) + ψ(v_{2}) + ⋯ + ψ(v_{n}) = 0 · · · · · · · · · (a)

の形に帰着される。また

v_{1} + v_{2} + ⋯ + v_{n} = 0 · · · · · · · · · (b)

である。なぜなら v_{1} +v_{2} +⋯+v_{n} = (M_{1} −z)+(M_{2} −z)+⋯ (M_{n} −z) = M_{1} +M_{2} +⋯+ M_{n} − nz = 0 したがって２つの関係式 (a), (b) から ψ(x) = cv （c は定数）の形でなければならない。元の関数で微分がはいった式では\frac{ϕ′(v)}{ϕ(v)} = cv、 log ϕ(v) = c\frac{v^{2}}{2} + c′(c, c′ : const)。

この c, c′ は ϕ(v) の対称性条件から ϕ(v) = ke^{−h^{2}v^{2}}(k, h : const) という正規分布の形に結論として得られた。この係数の値は k = \frac{1}{\sqrt{2π}} , h = \frac{1}{\sqrt{2}} である。

ラプラスの方法は解析の方法がかなり難しく簡単には述べられない。が、汎用性に富んでいる。これに比べればガウスの方法はシンプルであるといえる。しかし発想には天才による煌きがある。

4.6 大数の法則

いま，表の出る確率が p, 裏のでる確率が 1 − p のコインがあったとする。このコインを投げ表が出れば，１点，裏ならば０点として，この点数が表される各回の結果を X_{1}, X_{2}, ⋯, X_{n} とおく。 Σ_{i}X_{i} は１がでた回数で，表の出た比率はデータ平均\overline{X} となる。大数の法則とは，この表の出た比率は，繰り返し数をどんどん大きくすると，１回投げたときに表れるべき表の確率の値 p に近づくことという命題である。近づくという意味を数学的には，確率収束とか，概収束で正確に書き下される。より一般には，「独立な同一分布にしたがう確率変数列の標本平均（観測値を全体個数で割ったもの，データの平均，算術平均）は，個数を大きくしていくともとの分布の期待値（分布の平均）に確率収束（概収束）する」ということである。この定理は，抽出した標本数を大きくしていけばいくほど，母集団の平均を明らかにすることができるという，統計学の基本定理の一つである。

4.7 中心極限定理

大数の法則が，標本の平均（観測値の和をデータ総数で割ったもの）と分布の期待値（平均値）との関係を明らかにしているが，中心極限定理とは，同じようにデータ数を大きくしていった状況の近づきかたを示している。つまり，２項分布の極限が正規分布であるということがひとつの例である。繰り返されるコイン投げの列などを例にして，確率変数 X_{1}, X_{2}, ⋯, X_{n}, ⋯ は独立ですべて同じ平均 μ, 分散 σ^{2} をもつとします。この n 個の観測結果から，標本平均 \overline{X}_{n} = Σ_{i=1}^{n}X_{i} を作る。大数の法則から\overline{X}_{n} − μ は 0 に確率収束しま

す。これではどのように近づいていくのか分からないので，\frac{\overline{X}_{n} − μ}{\sqrt{σ^{2}/n}} を考える。この分数の

分母には，\overline{X}_{n} の分散の平方，すなわち，標準偏差です。もちろんこの値は n が大きくなれば，ゼロに近づきますが，分子もゼロですから極限の不定形になっています。ラプラスは，この極限分布が正規分布とよばれる分布であることを示しました。数学的に表現すると，任意の実数 a, b に対し，とすれば

lim_{n→∞} P (a ≤ \frac{\overline{X_{n}} − μ}{\sqrt{σ^{2}/n}} ≤ b) → ∫_{a}^{b} \frac{1}{\sqrt{2π}} exp(−\frac{x^{2}}{2} ) dx

が成り立つ。右辺の積分値のなかに表れている関数が標準正規分布の密度関数であり，ガウスが微分方程式で導いたものと同じである。積分の計算がそのままになっている理由は，原始関数が求められない（つまり積分が求められない）から，形を書いているだけである。も

\underline{4.8 乱数の生成 39}

し実際に a, b を入れて，この値を求めるには「正規分布表」とよばれる，区間と対応する確率（積分値）を予め数値計算したものを準備しておかねばならない。簡単に言えば，面積の計算が積分で求められないから数値計算したというわけである。この数値表は，統計学のテキストには必ず掲載されているし，今後の推定や検定にはよく用いられるので手元に準備しておく必要がある。

この結果をいいかえると標本平均\sqrt{n}(\overline{X}_{n} − μ) の漸近分布 (個数が大きく場合の分布）は N(0, σ^{2}) である。ここで N(μ, σ^{2}) とは平均 μ と分散 σ^{2} の一般正規分布を表す。

\frac{1}{\sqrt{2π}σ} exp(−\frac{(x − μ)^{2}}{2σ^{2}} ) − ∞ < x < ∞

係数は面積が１となるようにしたもので，\frac{1}{\sqrt{2π}σ} とか\frac{1}{\sqrt{2πσ^{2}}} などとも表すので違いに注意する。グラフの概形は，ベル型をした一つ山で，頂点 x = μ が極大，２つの変曲点 x = μ ± σ。ここで変曲点とは，上にふくらんだ状態から下にふくらみをもつ状態に変わるところ，極大・極小が１階の微分係数をゼロとして求められ，変曲点は凸と凹の境目で，２階の微分係数をゼロとして求められる。

ガウスの示した中心極限定理のすばらしいことは，もとの分布がコイン投げ（パラメータ p のベルヌーイ分布）であろうがさいころ振り（６点集合の離散型一様分布）でもカマワナイこと。離散型，連続型のものであっても，極限は連続型の正規分布になる。多少の偏りがあっても，独立な繰り返しとその平均と分散の存在が保証されている限り，どんな分布であっても極限は正規分布になります。非常に強力で有用な定理であることがわかるだろう。

２項分布の正規近似をおこなうときに，ひとつ注意をすることがある。半整数補正とよばれる近似をよくするためのテクニックである。２項分布は整数の値をとる離散型で，一方正規分布は実数値をとる連続型であるから，次のような補正をする。

確率変数 X をパラメータ n, p の２項分布とするとき，中心極限定理から平均 np, 分散 np(1 − p) の正規分布 Y で近似される。また標準正規分布を Z とすると，このばあいの半整数補正とは

\begin{matrix}P (X = k) ≒ P (k − 0.5 < Y < k + 0.5) = P (\frac{(k − 0.5) − np}{\sqrt{np(1 − p)}} < Z < \frac{(k + 0.5) − np}{\sqrt{np(1 − p)}}) , \\ P (i ≤ X ≤ j) ≒ P (i − 0.5 < Y < j + 0.5) = P (\frac{(i − 0.5) − np}{\sqrt{np(1 − p)}} < Z < \frac{(j + 0.5) − np}{\sqrt{np(1 − p)}}) \end{matrix}

4.8 乱数の生成

関数電卓やパソコンの表計算ソフトには，乱数を生成する機能 randomize, rnd(), rand(), ran# などをもつ。シミュレーションや数値計算にはよく用いられる。いわゆる一様乱数とよばれるものであるが，統計・確率の言葉でいえば，一様分布にしたがう確率変数である。厳密に議論するとでたらめとは何かという概念まで深入りしないといけないので，ここでは単に計算機のつくる確率変数を信用しておくことにする。この計算機がつくった確率変数（擬似一様乱数）からさまざまな確率分布のシュミレーションを考えよう。最初に単位区間 [0, 1] 上で一様分布する確率変数を U, U_{1}, U_{2}, ⋯ などとしておく。

１枚のコイン投げ； X = \{ \begin{matrix}1; p, \\ 0; 1 − p \end{matrix} をつくるには，実現値 U が区間 [0, p] の内部か，そうでないかという場合分けをおこなう。

if 0 < U < p, let X = 1, else X = 0.

さいころ振り； X = i; 1/6, (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6) についても上と同様に [0, 1] 上で一様分布する確率変数 U から，

if 0 ≤ U < 1/6, let X = 1,
elseif 1/6 ≤ U < 2/6, let X = 2,
elseif 2/6 ≤ U < 3/6, let X = 3,
· · · · · ·
elseif 5/6 ≤ U < １, let X = 6.

これらの方法は，逆変換法とよばれるものである。あるいはある数を超えないを対応させる関数 int() をつかうと， let X = int(6 ∗ U) + 1 でもよいことがわかる。

ｎ枚のコイン投げ；これは２項分布のシミュレーションをすればいいから，１枚のコイン投げを n 回繰り返して，和をとる。これには 100 枚のコイン投げであれば， 100 個乱数を作らなければならない。その代わりに，上の逆変換法のように１個の一様乱数から作る方法がある。 n, p は予め与えておいてから，

STEP.1 let c = p/(1 − p), i = 0, pa = (1 − p)^{n}, F = pa.

STEP.2 if U < F, let X = i, STOP.

STEP.3 let pa = [c(n − i)/(i + 1)] ∗ pa, F = F + pa, i = i + 1. STEP.4 goto STEP2.

正規分布にしたがう乱数，正規乱数；中心極限定理の応用として，正規乱数を生成する。これには 12 個の一様乱数から１個の正規乱数がつくれる。

for i = 1 to 12, X = X + U_{i} next i, let X = X − 6

つまり， 12 個の一様乱数をつけ加えて，これから，６を引くという，極めて簡単なアルゴリズムで，正規乱数が作れる。

4.9 正規分布の確率計算

正規分布に関する確率を計算するには，正規分布表をもちいる。この表は平均 0，分散 1 の標準正規分布 Z の分布関数を表にまとめたものです。横軸にとり得る値 x （−∞ から ∞）をとり縦軸に Φ(x) = P (Z ≤ x) を対応させます。密度関数の左右対称性から，正の値のみを書いてあるものが多いですが，これからでもすべての値を計算できます。連続型であることから， P (Z ≤ x) = P (Z < x) が成り立つ，離散型とことなり，等号が含まれていてもいなくても同じ値であることに注意します。

いくつかの点を取り上げると，

\begin{matrix}x & 0.000 & 1.00 & 1.282 & 1.645 & 1.960 & 2.00 & 2.241 & 2.326 & 2.576 & 2.807 & 3.00 \\ Φ(x) & .5000 & .8413 & .9000 & .9500 & .9750 & .97725 & .98745 & .9900 & .9950 & .9980 & .99865 \end{matrix}

正規分布表は「変数の値」と「（値以下の）確率」の対応を数値計算したものですが、すべては表していません。中間にある対応を求めるには「線形補間」をおこないます。三角形の相似形を応用したものです。確率 ϕ(x_{i}) = a_{i}, i = 1, 2 が与えられたとき、 a_{1} < α < a_{2} に対

する値は c = \frac{x_{2} − x_{1}}{a_{2} − a_{1}} (α − a_{1}) + x_{1} で近似されます。

例題

(1)P (0 < Z < 1.2) = P (0 < Z ≤ 1.2) = P (0 ≤ Z < 1.2) = P (0 ≤ Z ≤ 1.2) ≒ 0.3849 (2)P (−1.2 < Z < 0) = P (0 < Z < 1.2) ≒ 0.3849 (3)P (−1.2 < Z < 1) = P (0 < Z < 1.2) + P (0 < Z < 1) ≒ 0.3849 + 0.3413 = 0.7262 (4)P (Z < −1.2) = P (Z < 0) − P (−1.2 < Z < 0) = 0.5 − P (0 < Z < 1.2) ≒ 0.5 − 0.3849 = 0.1151

問 4.9.1 確率変数 X が平均 10, 分散 4 の正規分布にしたがうとき，つぎの値をもとめよ。 (1) P (X ≤ 13) (2) P (X > 11) (3) P (9 < X < 12) (4) P (X < c) = 0.1 を満たす c の値

問 4.9.2 ある測定器具の誤差は平均 0, 標準偏差 0.2(分散 0.2^{2} = 0.04)mm の正規分布にしたがう。この器具で測定誤差が 0.5mm 以上となる確率はいくつか（ヒント；誤差は両側を考えるから，絶対値として一定以上となる確率を求める）

問 4.9.3 ポアソン分布について， P (X = k + 1) と P (X = k) の関係式 (k = 0, 1, 2, ⋯) を導き，２項分布と同様なアルゴリズムを作りなさい。

問 4.9.4 コインを 400 回投げるとき，表のでた回数が 180 回以上， 210 回以下となる確率はいくつか？半整数補正も加えて，正規分布近似で計算しなさい。

問 4.9.5 中心極限定理の応用として，正規乱数を求める方法の根拠を説明しなさい。（ヒント；和の分布として平均と分散を計算してみなさい）

43

第 5 章データのまとめ方

\underline{44 第 5 章データのまとめ方}

5.1 統計の調査

統計調査をおこなって記述されたデータの結果は、大まかに、質的属性と量的属性の２種に分けることができる。質的属性とは、世帯主の職業とか有権者の支持政党など、調査結果が数値ではなく、いくつかの項目にいずれか属するとか属さないという形で与えられる。質的属性の分類項目をカテゴリー (category) とよぶ。また属性をカテゴリーに分類するとき、予めなんらの方法により、数量化しておいたほうが統計解析を施し易いことが多い。しかし複雑な多面的現象や微妙な心理的特性、知能や好み具合を数量化することは非常に難しいことである。これに対して、統計調査の観測結果が数値により記録される場合、そのデータを量的データという。量的データには、 0, 1, 2, 3, ⋯ など自然数や整数を結果としてとり得る計数データ (count data) と、小数（あるいは分数）の値をとり得ると考えられる計量データ (measure data) に分類される。長さ、重さ、温度など数直線上の目盛り、実数を測定するものも計量データである。後の確率的取り扱いと対応させるためには、前者を離散型データ (discrete data)、そして後者を連続型データ (continuous data) と呼んだほうが都合がよい。いずれの２つも、これらは計量データであり、理論上、測定を精密にすることにより、実数軸上の任意の値をとり得るが、測定値として記録する場合、離散化が施される。野球選手の打率は、小数第４位で丸めて、 0.263, 0.320 などとなり、また身長の測定値は mm の単位で、体重は kg で測定し、 100g 単位で丸めるのが普通に行われている。測定値が離散的になっていても、本来の変量が連続的に変化すると考えられるならば、それは連続的変量である。連続的変量の測定値は離散化されて記録されるが、元々の離散型データとは異なる状況にある。統計解析をおこなうために，調査，観測をした結果，得られた個体の特性の表す数値を変量という。

連続型変量数値が小数で表される，連続的な値をとる離散型変量整数や自然数など，とびとびの値をとる

統計データ

質的データカテゴリー（項目）で分類
量的データ計数データ離散型変量の観測値
計量データ連続型変量の観測値

5.2 標本の抽出

標本の抽出には統計調査の規模、正確度、また必要性、興味の対象からいろいろな方法がとられる。いわゆる公平性、偏りのなさを求め、全体をなるべく正確に把握するには、調査の結果が客観的に受け入れられるよう、無作為抽出が行われる。対象とする母集団にきわめて近い特徴をもつような標本を抽出するため行われるものが確率標本抽出法である。これには関して

• 単純無作為抽出【たんじゅんむさくいちゅうしゅつほう】

• ２段抽出【２だんちゅうしゅつほう】

• 層化（層別）抽出【そうか（そうべつ）ちゅうしゅつほう】

\underline{5.3 単純無作為抽出法 45}

を説明しよう。統計調査の結論は社会的に大きな影響を与える。政治的、経済的な政策決定はもちろんのこと、市場調査、将来予測、需要の調査などは企業にとって社運を決定することもありえる重要なことがらである。国勢調査には統計法として定められた法律の義務があり、将来の社会政策や人口予測、経済活動などには極めて重要なことである。ましてや意図しないあるいは気づかれない誤謬を犯さぬよう、騙されぬようきちんとした統計知識の判断知識をもたなければならないと思う。

5.3 単純無作為抽出法

母集団のすべての構成要素に番号をつけておき、乱数表や計算機の発生する乱数（擬似乱数）などにより、構成要素を同じ確からしさで抽出する。母集団の大きさが大であると抽出は困難となるが、理論的な解析は容易にできる。 N 個からなる有限母集団から n 個の標本を無作為に抽出するのは次のように行う。

１母集団の構成要素の全てに通し番号をつける。２ N 個の番号から n 個の番号をでたらめに選ぶ。３選ばれた番号の標本を実際に調査する（抽出する）。

ここで， N 個からなる有限母集団から n 個の標本を無作為に抽出するしかたは，作意や主観など人為的要素の混入を防ぐために道具をもちいる。乱数サイといわれる，正 20 面体のサイコロを投げて番号を決めたり、乱数表を用いたりする。多くの場合はコンピュータで疑似乱数を発生させる。乱数表から番号を選ぶとき、たとえば７３５人の集団から、５人を選ぶには、３桁の乱数（０００から９９９）をつくって、このうちから番号１から番号７３５に対するもの５個を選ぶが、もし該当しない番号には除外していけばよい。あるいは計算プログラムにより一定の範囲内（番号１から７３５まで）の擬似一様乱数を５個作り出せばよい。また宝くじなどの抽選では、回転する円盤に矢を射ることで抽出する状況をテレビでみたことがあるであろう。

5.4 ２段抽出法

対象とする母集団全体をある属性によって、いくつかの部分集団に分ける。これを層とよび、各々の層から無作為に標本を抽出する方法である。各層からはどのくらい抽出したらよいか、標本の大きさを決定する問題には、比例割当法やネイマンの最適割り当て法が知られている。また母集団をあらかじめいくつかのブロック（グループ）に分けて抽出して、選んだブロックすべての標本とする方法を集落（ブロック）抽出法という。集落抽出法によって抽出した標本集落の中に，構成単位が多くあるとき，その全部を標本としないで，再抽出を行って標本とする方法が２段抽出法とよばれる。この場合，初めに集落を抽出する事を１段目の抽出又は第１次抽出，集落の中での抽出を２段目の抽出又は第２次抽出という。このような方法は母集団の構成要素から個体を直接抽出するより、効率性や経済性、実行可能性あるいは調査のもつ性格などを考慮してそれぞれ工夫がなされている。

一般に全国規模の大がかりな調査では，前述のような単純無作為抽出法は作業量が膨大なものになる。そこでまず，市町村を抽出単位として無作為抽出する。つぎに選ばれた市町村の中でそれぞれ前述の方法で個体を抽出する。これを多段抽出法という。抽出は何段階でもよい。例えば，最初に都道府県を抽出し，市町村を抽出し，地区を抽出し，その後で個体を抽出するなど。ただし単純無作為抽出法などに比べると精度が落ちてしまう。

ある都市から１０人を選ぶには、住民台帳などをもとにこの都市の住所により、区、町別にあらかじめブロックに分けて、これから第１段階の抽出をおこない、つぎに選ばれた区や町から番号付けておいた人を選ぶ。多くは人口に比例した標本の大きさで選ぶ確率比例法が用いられる。

例えば，家計調査を行うのに，初めに調査区を抽出し，次に，抽出された調査区の中から世帯を抽出するという方法が２段抽出法の一例である。２段抽出法においては，各段で抽出単位が異なるのが特徴である。すなわち，第１次抽出単位は第２次抽出単位の集落である。しかし，取り扱う項目は各段共通である。この点，２相抽出法と対照的である。平均は集団に属するすべての単位を合計し，単位数で割ったもの、いわゆる重みつき平均で集団の平均が計算される。

5.5 層化抽出法

ある母集団を構成するブロック（母集団に対応しているという意味）を分割して，部分母集団となる幾つかのブロックを作り，各ブロックから標本を抽出するとき，各ブロックに対応する部分母集団を層という。層を作ることを層化，各層から標本を抽出することによって全標本を得るとき，その抽出方法を層化抽出法という。層化は抽出単位に対して行われる。抽出は，原則として，層ごとに独立で行われる。層ごとの抽出は，単位無作為抽出法でも系統抽出法（系統抽出法とはつぎの抽出法：母集団の全構成要素に通し番号をつける。はじめの一つの標本だけは乱数表などでランダムに選ぶ。それ以降の標本はこの数字から始めて一定間隔で抽出する。この方法は、標本抽出枠が非常に大きく、単純無作為抽出法が難しい場合に用いられる。ただし番号の付け方に一定の周期性があるときには偏りが生じるので注意が必要である）でもよい。また，ある層で単純無作為抽出法を用い，別の層で系統抽出法を用いてもよい。層化の効果は調査項目ごとに評価される。ある項目に対して層化を効果的にするためには，単なる枠の分割でなく，その項目について同質なものを同じ枠にする，という方針で層を作らなければならない。これは，ちょうど，集落抽出法において効果的な集落を作るために同質なものを別の集落に，異質なものを同じ集落にするという方針と逆である。

たとえば、ある都市の事業所・企業統計に対して調査をすることを考えよう。抽出に先立って，企業を種別に分け，農業、鉱業、製造業、サービス業、運輸・通信業などのような等質のグループに分け，それぞれのグループから標本を抽出する。このときの，等質な各グループを層，層に分けることを層別化という。景気の状況を把握するには、標本を無作為に抽出した場合，母集団の構成がそのまま標本に反映するとは限らないから、このような工夫をおこなう。

5.6 標本の割り当ての大きさ

層別抽出法には最適割当法と比例割当法がある。よく用いられるのは比例割当法であり，必要な標本の大きさを n，各層の大きさを N_{i} (i = 1, 2, ⋯, k), 母集団の大きさを N としたとき，各層から抽出する標本の大きさ n_{i} は， n_{i} = n \frac{N_{i}}{N} とする。

統計データの参考資料

\underline{5.6 標本の割り当ての大きさ 47}

統計資料はインターネットでたくさん入手できます。政府統計の総合窓口としてポータルサイト^{*1}として http://portal.stat.go.jp/ が代表的なものです。また総務省統計局は http://www.stat.go.jp/index.htm は日本の統計を行政の立場から国勢調査などを実施し、管理する重要な役割をもっているところです。統計データがたくさんあるので一度は WEB 訪問してみたらいいとおもいます。

*1 インターネットの入り口となる巨大な Web サイト。検索エンジンやリンク集を核として、ニュースや株価などの情報提供サービス、ブラウザから利用できる Web メールサービス、電子掲示板、チャットなど、ユーザがインターネットで必要とする機能をすべて無料で提供して利用者数を増やし、広告や電子商取引仲介サービスなどで収入を得るサイトのことをいう。出典： http://e-words.jp/ IT 用語辞典

49

第 6 章度数分布表、データの代表値、相関係数

\underline{50 第 6 章度数分布表、データの代表値、相関係数}

6.1 度数分布表とヒストグラム

データの個数 n をデータの大きさとよぶ。以下はそれぞれ離散型データ，連続型データの度数分布表とよばれる。変量のとり得る値とその対応する調査結果，観測あるいは実験した結果の集計を表にまとめたものである。

\underline{とり得る値が k 個の種類をもつ離散型データ}

\begin{matrix}変量 & x_{1} & x_{2} & ⋯ & x_{k} & 合計 \\ 度数 & f_{1} & f_{2} & ⋯ & f_{k} & n \end{matrix}

\underline{データを k 個の組に級分けした連続型データ}階級は数値の測定値から「以上」（等号を含む場合）と「未満」（含まない場合）をつかって，重なりがないよう分ける。階級値は階級の真ん中の値。

階級  a_{1}^{+}–a_{2}^{−} a_{2}^{+}–a_{3}^{−} ⋯ a_{k}^{+}–a_{k+1}^{−} 合計
階級値  x_{1}  x_{2} ⋯  x_{k}
度数  f_{1}  f_{2} ⋯  f_{k}  n
相対度数 (%) f_{1}/n f_{2}/n ⋯ f_{k}/n  n

連続型データをグラフに表現したものが，ヒストグラムである。同時に２つの集団を書くと，重なってしまうので，柱の中点を順に結んでできる，度数多角形もよく用いられる。級の間隔や級の個数を適切に選択することは大切なことであるが，最も適切というものは判断が難しい。しかし集団の状況をさまざまな処理により，視覚により把握，判断することは，新しい発見や知見を高める上で最も重要な基本的な「探索的なデータの解析」である。コンピュータの図的表現の利用も基本的なものである。グラフによる表現には，棒グラフ，円グラフ，絵グラフ，折れ線グラフがよく用いられる。とくに棒グラフとヒストグラムは似ているが，本質的に異なることに注意する。

また複雑な状況を分かり易くするためや見栄えをよくするためにいろいろと工夫がされている。たとえば実験データについては，ボックスチャート（最大，最小，平均，４分位数を同時に表現）などがある。また単なるヒストグラムの代わりに，幹葉図，デジタルチャートというものもある。１個体について変数の組を同時に考える（多変量データ）場合には，レーダーチャートなどがよく用いられる。

6.2 データの標準化

与えられたデータを簡単に効率よく計算するには、データの変換をします。基本的には、データの集団を平行移動や目盛りの縮約・拡大です。これらの操作を線形変換とよびます。もとのデータ X_{1}, X_{2}, ⋯, X_{n} から、新しいデータをつくるために、ある定数 a を加え、 c 倍します。 c(X_{1} + a), c(X_{2} + a), ⋯, c(X_{n} + a) これを変数 Y とおきます。つまり Y_{i} = c(X_{i} + a), i = 1, 2, ⋯, n が線形変換の形です。このとき X の平均\overline{X}、分散 s_{X}^{2} と Y の平均\overline{Y} 、分散 s_{Y}^{2} とは、つぎの関係式が成立します。

\overline{Y} = c(\overline{X} + a), s_{Y}^{2} = c^{2}s_{X}^{2}(a にはよらない  (6.1)

\underline{6.2 データの標準化 51}

とくに a = \overline{X}, c = \frac{1}{s_{X}} のばあいには\overline{Y} = 0, s_{Y}^{2} = 1 となりますから、平均ゼロ、分散は１にすることができます。

6.3 集団の位置尺度

集団の中心位置を表す尺度

平均もっとも多く使われる算術平均であるが，重心を意味する。数学的に取り扱いやすいし，理論的な側面もきわめて重要であるが，万能というわけではなく，裾の影響に大きく左右される欠点をもつ。\overline{X} = \frac{1}{n}\{X_{1} + X_{2} + ⋯ + X_{n}\} = ∑_{i} X_{i}/n データの平均値 (average, mean value) とは、データの値の総和を個数で割ったものをいい、\overline{X} (エックスバーとよむ) で表す。 n 個のデータの総和は k 個に分けた階級値と度数をつかって表すと， X_{1} + X_{2} + ⋯ + X_{n} の計算の代わりに x_{1}f_{1} + x_{2}f_{2} + ⋯ + x_{k}f_{k} で総和を求める。

中位数（中央値）小さいものから大きいものへと，大きさの順に並べて，ちょうど真ん中に位置する値で，小さい方も大きい方もそれぞれ５０％ずつとなる値。比較的頑健性をもち，常識にもかなっている。ただし，データがたくさんであると，大きさの順に並び替えることに労力を要する。

モード 度数分布表で求めた度数の最大となっている値をいう。ヒストグラム（度数多角形）がひとつ山の形を単峰型といい，モードが中心傾向を表す。一つ山で対称なときにはこれら３つともほぼ同じ値になるが，集団の山形に歪み（Ｌ字型は正の歪み，逆Ｌ字型は，負の歪みをもつという）があれば，これらは異なった値となる。

6.4 バラツキの尺度

バラツキを表すための尺度

分散各データと平均からのずれ（差）を平方 (square) した値の平均で，非負の値である。ゼロとなるのは，全てのデータが同じ値，すなわちまったく変動がない場合である。

s^{2} = s_{X}^{2} = \frac{1}{n} ∑_{i=1}^{n}(X_{i} − \overline{X})^{2} = \frac{1}{n} ∑_{i=1}^{n} X_{i}^{2} − (\overline{X})^{2}

標準偏差分散の単位はもとのデータの２乗値となるが，この平方根をとったもので，平均と同じ単位となる。 Standard Deviation からＳＤと約されることが多い。

s = \sqrt{s^{2}} = \sqrt{s_{X}^{2}}

四分位数中位数（メディアン）がちょうど１／２となる点であったと同様に，４つの２５％ずつに分けた値で，第１四分位数（小さい方から２５％の点），第２（中位数），第３四分位数（７５％の点）といい，第３から第２を引いた値を４分位範囲という。

\underline{6.4 バラツキの尺度 53}

パーセンタイル（百分位数）；非常に大きな集団で，これを１００個のパーセントに分けたものをいう。上位５％点，下位５％点がとくに集団の特質や特徴を表すために用いられる。 (a) 13, 15, 14, 11, 17

(b) 2.3, 2.5, 2.4, 2.1, 2.7

問 6.4.2 4 個の数の平均は 5、分散は 2 で、もうひとつの集団の 6 個の数値の平均は 7、分散は 3 であるという。この 2 つを合わせた 10 個に対する平均と分散を計算しなさい。

問 6.4.3 2 つの集団があり、ひとつは大きさ m 個でその平均は\overline{x}、分散は v_{x} で、もうひとつの集団の n 個で、平均は\overline{y}、分散は v_{y} であるという。この 2 つを合わせた m + n 個に対する平均

\overline{z} と分散 v_{z} を計算しなさい。結果は\overline{z} = \frac{m}{m + n}\overline{x} + \frac{n}{m + n}\overline{y}, v_{z} = \frac{m}{m + n}v_{x} + \frac{n}{m + n}v_{y} +

(\frac{m}{m + n}) (\frac{n}{m + n}) (\overline{x} − \overline{y})^{2} で与えられる。

6.5 集団の位置尺度

集団の中心位置を表す尺度

平均もっとも多く使われる算術平均であるが，重心を意味する。数学的に取り扱いやすいし，理論的な側面もきわめて重要であるが，万能というわけではなく，裾の影響に大きく左右される欠点をもつ。\overline{X} = \frac{1}{n}\{X_{1} + X_{2} + ⋯ + X_{n}\} = ∑_{i} X_{i}/n データの平均値 (average, mean value) とは、データの値の総和を個数で割ったものをいい、\overline{X} (エックスバーとよむ) で表す。 n 個のデータの総和は k 個に分けた階級値と度数をつかって表すと， X_{1} + X_{2} + ⋯ + X_{n} の計算の代わりに x_{1}f_{1} + x_{2}f_{2} + ⋯ + x_{k}f_{k} で総和を求める。

中位数（中央値）小さいものから大きいものへと，大きさの順に並べて，ちょうど真ん中に位置する値で，小さい方も大きい方もそれぞれ５０％ずつとなる値。比較的頑健性をもち，常識にもかなっている。ただし，データがたくさんであると，大きさの順に並び替えることに労力を要する。

モード 度数分布表で求めた度数の最大となっている値をいう。ヒストグラム（度数多角形）がひとつ山の形を単峰型といい，モードが中心傾向を表す。一つ山で対称なときにはこれら３つともほぼ同じ値になるが，集団の山形に歪み（Ｌ字型は正の歪み，逆Ｌ字型は，負の歪みをもつという）があれば，これらは異なった値となる。

6.6 バラツキの尺度

バラツキを表すための尺度

分散各データと平均からのずれ（差）を平方 (square) した値の平均で，非負の値である。ゼロとなるのは，全てのデータが同じ値，すなわちまったく変動がない場合である。

s^{2} = s_{X}^{2} = \frac{1}{n} ∑_{i=1}^{n}(X_{i} − \overline{X})^{2} = \frac{1}{n} ∑_{i=1}^{n} X_{i}^{2} − (\overline{X})^{2}

標準偏差分散の単位はもとのデータの２乗値となるが，この平方根をとったもので，平均と同じ単位となる。 Standard Deviation からＳＤと約されることが多い。

s = \sqrt{s^{2}} = \sqrt{s_{X}^{2}}

四分位数中位数（メディアン）がちょうど１／２となる点であったと同様に，４つの２５％ずつに分けた値で，第１四分位数（小さい方から２５％の点），第２（中位数），第３四分位数（７５％の点）といい，第３から第２を引いた値を４分位範囲という。

パーセンタイル（百分位数）；非常に大きな集団で，これを１００個のパーセントに分けたものをいう。上位５％点，下位５％点がとくに集団の特質や特徴を表すために用いられる。 (a) 13, 15, 14, 11, 17

(b) 2.3, 2.5, 2.4, 2.1, 2.7

問 6.6.2 4 個の数の平均は 5、分散は 2 で、もうひとつの集団の 6 個の数値の平均は 7、分散は 3 であるという。この 2 つを合わせた 10 個に対する平均と分散を計算しなさい。

57

第 7 章標本データ

\underline{58 第 7 章標本データ}

7.1 有限母集団と無限母集団

母集団の構成要素、これから調べようとする対象の個数が有限個か無限個によって、有限母集団、無限母集団とよぶ。ただし実際には無限母集団というときには、標本の抽出を繰り返して何度でもできる場合が無限母集団の議論で、繰り返しによって、調査の対象の状況が変わってくる場合が有限母集団である。しかし理論的ではなく、近似的に大きな数、たとえば N が大きく 1/N がゼロと近いとみなせる場合には、標本の抽出の前後でによって変化しないと考えられるから、有限母集団と無限母集団は同じと考えられる。これに対して、抽出の前後で母集団が変わってくるとき、復元抽出と非復元抽出の区別をする必要がでてくる。

いま母集団には 2 種類の属性 (♡と♣) がそれぞれ M,N 個あるものとしてこれから標本を取り出す。番号をつけて区別するとして、起こりえるあらゆる場合を表にまとめてみる。表の行は最初の取り出しで、横の列は 2 回目の取り出しの結果を表すとしよう。まず母集団は

\overbrace{♣1 ♣2 ⋯ ♣M}^{M} \overbrace{♡1 ♡2 ⋯ ♡N}^{N} ♣k, k = 1, 2, ⋯ M : ♡j, j = 1, 2, ⋯ N であり、 2 個

の標本をとりだしたときから考える。 [復元抽出]

[figure: {行 \atop （１回目）}; {列 \atop (２回目）}] ♣1  ♣2  ⋯  ♣M  ♡1  ⋯  ♡N
♣1  ♣1 ♣1 ♣1 ♣2  ♣1 ♣M ♣1 ♡1  ♣1 ♡N
♣2  ♣2 ♣1 ♣2 ♣2  ♣2 ♣M ♣2 ♡1  ♣2 ♡N
⋮
♣M  ♣M ♣1 ♣M ♣2  ♣M ♣M ♣M ♡1  ♣M ♡N
♡1  ♡1 ♣1 ♡1 ♣2  ♡1 ♣M ♡1 ♡1  ♡1 ♡N
⋮
♡N  ♡N ♣1 ♡N ♣2  ♡N ♣M ♡N ♡1  ♡N ♡N

上の表における要素の個数

[figure: 1 回目; 2 回目] ♣ 1 ♣ 2 ⋯ ♣ M ♡ 1 ⋯ ♡ N
♣ 1
♣ 2 M^{2} MN
⋮
♣ M
♡ 1
⋮ MN N^{2}
♡ N

\underline{7.1 有限母集団と無限母集団 59}

2 個の結果を属性でまとめて合計してみると

\begin{matrix}♣♣ & : M^{2} \\ ♣♡ + ♡♣ & : 2MN \\ ♡♡ & : N^{2} \end{matrix} \} = (M + N)^{2} = (M + N)(M + N)

つぎに非復元では 1 回目と 2 回目に同じものはないから、つまり非復元の場合には対角線の部分を除く。 [非復元抽出] 表中の × は起こらないことを意味している

♣1  ♣2 ⋯ ♣M  ♡1 ⋯ ♡N
♣1  ×  ♣1♣2  ♣1♣M ♣1♡1  ♣1♡N
♣2 ♣2♣1  ×  ♣2♣M ♣2♡1  ♣2♡N

⋮

♣M ♣M♣1 ♣M♣2  ×  ♣M♡1  ♣M♡N
♡1 ♡1♣1 ♡1♣2  ♡1♣M  ×  ♡1♡N

⋮

♡N ♡N♣1 ♡N♣2  ♡N♣M ♡N♡1  ×

したがって要素の個数は

♣1 ♣2 ⋯ ♣M ♡1 ⋯ ♡N
♣1
♣2 (M)_{2} MN
⋮
♣M
♡1
⋮ MN (N)_{2}
♡N

合計は

\begin{matrix}♣♣ & : (M)_{2} \\ ♣♡ + ♡♣ & : 2MN \\ ♡♡ & : (N)_{2} \end{matrix} \} = (M + N)_{2} = (M + N)(M + N − 1)

さらに 3 回くり返しを考えると、つぎの表の行には 2 回目までの属性による合計結果を表し、横の列は 3 回目の結果で分けてみる。

[復元抽出] での要素の数とその合計は

\begin{matrix}[figure: {2 回目 \atop までの結果}; 3 回目] & ♣ & ♡ \\ ♣ ♣ : M^{2} & M^{3} & M^{2}N \\ ♣ ♡ : 2MN & 2M^{2}N & 2MN^{2} \\ ♡ ♡ : N^{2} & MN^{2} & N^{3} \end{matrix} \begin{matrix}♣ + ♣ + ♣ & : M^{3} \\ ♣ + ♣ + ♡ & : 3M^{2}N \\ ♣ + ♡ + ♡ & : 3MN^{2} \\ ♡ + ♡ + ♡ & : N^{3} \end{matrix} \} = (M + N)^{3}

[非復元抽出] での要素の数とその合計は

\begin{matrix}[figure: {2 回目 \atop までの結果}; 3 回目] & ♣ & ♡ \\ ♣ ♣ : (M)_{2} & (M)_{3} & (M)_{2}N \\ ♣ ♡ : 2MN & 2(M)_{2}N & 2M(N)_{2} \\ ♡ ♡ : (N)_{2} & M(N)_{2} & (N)_{3} \end{matrix} \begin{matrix}♣ + ♣ + ♣ & : (M)_{3} \\ ♣ + ♣ + ♡ & : 3(M)_{2}N \\ ♣ + ♡ + ♡ & : 3M(N)_{2} \\ ♡ + ♡ + ♡ & : (N)_{3} \end{matrix} \} = (M +

N)_{3}

以上の計算から、一般に n 回くり返した場合には

「復元抽出」

\begin{matrix}\overbrace{♣ + ♣ + ⋯ + ♣}^{n} & : \binom{n}{0}M^{n} \\ \overbrace{♣ + ⋯ + ♣}^{n−1} +♡ & : \binom{n}{1}M^{n−1}N \\ \overbrace{♣ + ⋯ + ♣}^{n−k} + \overbrace{♡ + ⋯ + ♡}^{k} & : \binom{n}{r}M^{n−k}N^{k} \\ \overbrace{♡ + ♡ + ⋯ + ♡}^{n} & : \binom{n}{n}N^{n} \end{matrix} \} = (M + N)^{n}

「非復元抽出」

\begin{matrix}\overbrace{♣ + ♣ + ⋯ + ♣}^{n} & : \binom{n}{0}(M)_{n} \\ \overbrace{♣ + ⋯ + ♣}^{n−1} +♡ & : \binom{n}{1}(M)_{n−1}N \\ \overbrace{♣ + ⋯ + ♣}^{n−k} + \overbrace{♡ + ⋯ + ♡}^{k} & : \binom{n}{k}(M)_{n−k}(N)_{k} \\ \overbrace{♡ + ♡ + ⋯ + ♡}^{n} & : \binom{n}{n}(N)_{n} \end{matrix} \} = (M + N)_{n}

確率変数 X を抽出における標本での n 個のうち ♣ の個数を表すとすると k = 0, 1, 2 ⋯, n に対して

\begin{aligned}P (X = k) & = P (\overbrace{♣ + ⋯ + ♣}^{k} + \overbrace{♡ + ⋯ + ♡}^{n−k}) \\ & = \{ \begin{matrix}\binom{n}{k}\frac{M^{k}N^{n−k}}{(M + N)^{n}} & :復元抽出 \\ \binom{n}{k}\frac{(M)_{k}(N)_{n−k}}{(M + N)_{n}} & :非復元抽出 \end{matrix} \end{aligned}

復元抽出はパラメータ n, p = \frac{M}{M + N} の 2 項分布 Binom (n, \frac{M}{M + N} ) であり、

f(k) = \binom{n}{k}p^{k}(1 − p)^{n−k}, k = 0, 1, 2, ⋯, n

\underline{7.2 標本平均の平均と分散 61}

また非復元抽出の場合には超幾何分布 Hyper(M + N, M, n) と呼ばれ、

f(k) = \binom{n}{k}\frac{(M)_{k}(N)_{n−k}}{(M + N)_{n}} = \begin{matrix}\binom{M}{k} & \binom{N}{n−k} \\ ( & {M+N \atop n} & ) \end{matrix}, k = 0, 1, 2, ⋯, n

と表されることが多い。これを比較すればわかるよう、べき乗の数と組合せの数が対応している。復元抽出では

M^{n} = \overbrace{M · M ⋯ M}^{n} に対して、非復元抽出では (M)_{n} = \overbrace{M(M − 1) ⋯ (M − n + 1)}^{n} となっ

ていることに注意する。

7.2 標本平均の平均と分散

標本データから求められる基本的な統計量としては、標本平均がある。単純に算術平均を求めることである。いま母集団には 2 種類の属性があるときに、標本平均に対する平均（期待値）と分散を求める。属性が 2 種類しかないから、標本平均というより、標本比率あるいは標本割合ということが多い。つまり母集団の属性が ♣, ♡ として、 i 番目 (i = 1, 2, ⋯, n)

に抽出された標本に対して X_{i} = \{ \begin{matrix}1 if ♣が抽出されたとき \\ 0 if ♡が抽出されたとき \end{matrix}とおくと、これらの和

X = X_{1} + X_{2} + ⋯ + X_{n} の分布は復元抽出ならば、 2 項分布 Binom (n, \frac{M}{M + N} ) であっ

て、もし非復元抽出ならば、超幾何分布 Hyper(M + N, M, n) にしたがう。したがってこれを利用すれば、標本平均（標本比率）

\overline{X}_{n} = \frac{X}{n} = \frac{1}{n} (X_{1} + X_{2} + ⋯ + X_{n})

の平均と分散が求められる。

\begin{matrix}復元抽出: E(\overline{X}_{n}) = \frac{M}{M + N} , & V (\overline{X}_{n}) = \frac{1}{n} \frac{M}{M + N} \frac{N}{M + N} \\ 非復元抽出: E(\overline{X}_{n}) = \frac{M}{M + N} , & V (\overline{X}_{n}) = \frac{1}{n} \frac{M}{M + N} \frac{N}{M + N} \frac{M + N − n}{M + N − 1} \end{matrix}

非復元抽出の分散で\frac{M + N − n}{M + N − 1} は有限補正項とよばれるが、標本数 n に比べて母集団サイズが大きく M + N が大とすると、この値は 1 に近いとみなせるから、復元と非復元の違いはなくなってくることが分かる。

問 7.2.1 非復元抽出で平均 E(X_{i}) = p, 分散 V (X_{j}) = p(1 − p) ただし p = M/(M + N) を示し、また共分散 Cov(X_{i}, X_{j}) = P (X_{j} = 1)P (X_{j} = 1|X_{i} = 1) − p^{2} を計算せよ。

63

第 8 章推定と検定

\underline{64 第 8 章推定と検定}

8.1 推定と検定（推測理論）

母集団分布は適当な確率分布で表されますが，分布のパターンは分かっていても，そのパラメータ（たとえば， 2 項分布ならば，事象の起こる確率，正規分布ならば，その平均や分散）が分からないという場合がよくあります。母集団パラメータのことをとくに推測理論では母数ということが多いです。

（１）このように分布のパターン，すなわち，母集団分布が 2 項分布とか正規分布にしたがうことを仮定するが，その分布を定めるパラメータが未知であるを前提にした議論，これを分布の母数に関する推測理論といいます。

（２）一方，母集団の分布を前提にしない場合を，母数によらない推測理論といいます。たとえば，事象の起こる／起こらないことが，独立であるかどうかを調べる（独立性）問題，標本をまとめた度数分布表が予めの確率分布に当てはまっているかどうかの (適合度）問題，などがあります。

\begin{matrix}確率分布を特定に限定した場合 · · · · · · 母数による推定・検定 \\ とくに分布を限らない場合 · · · · · · ノンパラメトリック推定・検定 \end{matrix}

母数の推測理論には，標本データから母数の値を推定する問題と，母数に関する仮説を検定する問題があります。

推測理論 \{ \begin{matrix}未知母数の推定 \\ 仮説の検定 \end{matrix}

推定では，データをもちいて作った，標本から得られる値，統計量（これを母数の推定統計量という）が未知の母数とどのような関係があるかを調べます。

たとえば，データからつくった標本平均と母集団分布の平均パラメータ（母平均という）とはどう関係があるか。また 2 項分布にしたがう母集団（2 項母集団）では，標本比率（個数全体を分母にして，事象の起こった回数を割ったもの，すなわち標本平均）と 2 項分布の平均とは，どういう関係式があるか。平均だけでなく，標本データからつくった標本分散などは，母分散（確率分布の分散をいう）とは，どうなるかを議論します。一般に母数を推定するための統計量を推定量といい，推定量の性質，変動の範囲を調べます。

検定では，未知母数に関して立てた命題が，実際に得られた標本データの値 (検定統計量 ) と比較して，命題が正しいかどうかを判断を下します。「正しい，真である」という意味は，いままでの経験から，想定をしていた命題の確率分布に従って確率変動していることで，「正しくない，偽である」とは，本質的に異なった別の確率分布にしたがって確率変動していることをいいます。

標本データは確率変数で，変動をしますから，確率分布が想定して考えていたものと違っていてもすぐには，判断つかないからです。正しいかどうかの判断は，立てた命題のもとで，ほとんど起こり得ないことが実際に起これば，これは何か変だなと考えるわけです。仮説の真偽，仮説命題が正しいかどうかを，標本データの確率変動から判断することを仮説検定といいます。

\underline{8.1 推定と検定（推測理論） 65}

★ 推定には，点推定と区間推定があります．母数の値を一つの統計量で推定することが点推定で，この推定統計量がどのような性質をもっているか，を調べます．区間推定は，母数があり得そうな範囲（区間）を定めます．未知母数が含まれる区間の両端を統計量から定め，この区間に母数が含まれる確率（信頼係数）を定めます．

★ 検定には，判断の誤りを少なくするよう，検定統計量の選び方と仮説を採択／棄却する領域（棄却域）をどのように決めるか，議論します．判断に伴う誤りには 2 種類があるので，一方を一定値以下として，他方をなるべく少なくするよう，条件付最小問題問題を解くことになります．

8.2 点推定

母集団分布の密度関数 f(x; θ) における未知母数 θ を推定するために，この母集団からの無作為抽出された大きさ n の標本 X_{1}, X_{2}, ⋯, X_{n} （標本は確率変数であるから，大文字をつかうが，小文字で表すこともある）のある関数 T = T (x_{1}, x_{2}, ⋯, x_{n}) を定めることで， θ を推定することを考える。これを点推定をいい，この関数で定める統計量のことを推定量，実際の標本値 X_{1}, X_{2}, ⋯, X_{n} から T を計算した値 T (X_{1}, X_{2}, ⋯, X_{n}) のことを推定値という。では推定量をどのように定めればよいか？未知の母数に相応しい推定量としては，つぎの性質をもつことが望ましい。

(1) 統計量の期待値が推定する未知の値に等しい。つまり

E[T (X_{1}, X_{2}, ⋯, X_{n})] = θ

のときを，不偏推定量という。推定量の期待値（平均）を推定したい母数（パラメータ）の値に等しくさせることである。つまり平均的な意味で偏りがないこと。

(2) 任意の正数 ϵ に対して，

P (|T_{n} − θ| > ϵ) → 0 (n → ∞)

ここで T_{n} は n 個の標本から計算された推定量とし，これを一致推定量という。標本の大きさが大きくなればなるほど，推定量は母数とのズレが少なくなることである。

(3) 不偏性に加えて，さらに分散を小さくする意味でよい推定量を考える。分散を比較して小さいほうがより有効な推定量という。すべての不偏推定量のなかで分散が最小な推定量を有効推定量（分散最小推定量）という。適当な条件があると，不偏推定量に対する分散の最小値が求められる。

V ar\{T \} ≥ \frac{1}{nE[(\frac{∂}{∂θ} log f(X; θ))^{2}]}

この評価の下限をクラメル・ラオの不等式という。ただしつねに有効推定量が存在するわけではない。

与えられた推定量がどのような性質をもつかが，代表的な３つの推定量であるが，実際に推定量を見つける方法として，最尤（さいゆう）推定法（ＭＬ法）がある。

母集団分布を f(x; θ) とするとき，この母集団から標本値 X_{1}, X_{2}, ⋯, X_{n} を得る確率は L(θ) = f(X_{1}; θ)f(X_{2}; θ) ⋯ f(X_{n}; θ) で，この確率を尤度とよぶ。これを最大にするような θ を考えると標本の関数であって，このように定めた推定量を最尤推定量という。最大を求める計算には，直接求めることと対数をとって求めることとは同値であるから，対数尤度 log L(θ) = ∑_{i} log f(X_{i}; θ) を使うことがよく行われる。これを最大 max_{θ} log L(θ) にするものを最大対数尤度という。またこの最尤推定量を求めるために（いわゆる極値（最大最小）となる必要条件）\frac{∂}{∂θ} log L(θ) = 0 を最尤方程式という。

つぎの命題が成り立つ：

\underline{8.2 点推定 67}

（１）標本平均は母平均（母集団分布の平均）の不偏推定量である。（２）標本分散は，母分散（母集団分布の分散）の不偏推定量とはならないが，標本不偏

分散は不偏推定量である。（３）母集団分布が分散をもつと仮定すれば，標本平均は母平均の一致推定量である。（４）もし n 個の標本から標本平均をつくると，すべてデータを用いた場合がもっとも分

散が小さくなる。すなわちより有効な推定量である。（５）分散を既知とした正規母集団において，平均に対する有効推定量は標本平均である。

最尤推定で記述される確率モデルが，未知の真の確率モデルとどのくらいずれているかを，つぎの尺度で測る。

I(θ_{0}, θ) = E\{log \frac{f(X; θ_{0})}{f(X; θ)}\}

8.3 仮説検定の例題

例題 1. （平均値の検定）正規母集団 N(μ, σ^{2}) において，分散 σ^{2} = 15^{2} = 225 は既知であるとして， 100 個のデータから計算された標本平均が\overline{x} = 38.0 であった。このとき，帰無仮説 H_{0} : μ = 40，対立仮説 H_{0} : μ ≠ 40 の有意水準 α = 0.05 の検定をおこなえ。

（解）母集団分布は正規分布であり， σ^{2} = 15^{2} = 225 は既知として与えられているから，検定統計量は， z = \frac{\overline{x} − μ_{0}}{\sqrt{σ^{2}/n}} = \frac{\overline{x} − 40}{\sqrt{225/100}} = −1.33 , 対立仮説から両側検定を考える。有意

水準は α = 0.05 で，両側にそれぞれ α/2 = 0.025 = 2.5% , に対する標準正規分布のパーセント点を正規分布表（インターネットのホームページ，統計テキストの付表など）から読み取ると， z_{α/2} = z_{0.0025} = 1.960 である。したがって棄却域は |z| > 1.960 を得る。この棄却域と検定統計量の値，すなわち z = −1.33 との大小関係を比較すると，棄却域に含まれない（棄却域に落ちない）ので，帰無仮説は棄却されない，いいかえると，帰無仮説は採択される。つまり 100 個の標本平均値\overline{x} = 38.0 を得たが，このデータは正規分布 N(40, 225) からの抽出されたと判断される。（終）例題２ある技師がニッケルの融点を 9 回測定して，つぎの値を得た（単位：^{o}C）。

1475 1420 1433 1452 1441 1466 1432 1453 1414 この結果はニッケルの真の融点とされている 1455^{o}C に矛盾しないという仮説を有意水準 5% で検定せよ。

（解）分布は明記されていないが，正規分布であるとする。また対立仮説は問題の意図から，両側検定，すなわち

H_{0} : μ = 1455 H_{1} : μ ≠ 1455

とすることが適当である。与えられたデータから，検定統計量の値を計算する。まず変量を x_{1}, x_{2}, ⋯, x_{9} とおき， n = 9, ∑_{i} x_{i} = 12986, ∑_{i}^{2} = 18740684 となる。 (注意；このデータのように， 2 乗すると桁数が多くなる。電卓等の有効計算桁数を正確にするためには，分散の計算は，直接 2 乗するのでなく，変数変換，つまり各データから 1400 を引いて，小さい数字の平均と分散を計算して，もとにもどすこと，を行うべきである。）題意より，分散が未知の場合であり， α = 0.05, ν = 9 − 1 のｔ−分布表を用いる。 t_{0.025}(8) = 2.306 であるから，棄却域は |t| > 2.306 つまり， (−2.306 < t < 2.306)。与えられた標本値から検定統計量の値は，

t = \frac{\overline{x} − μ_{0}}{\sqrt{u^{2}/n}} = \frac{1442.9 − 1455}{\sqrt{416.1/9}} = −1.78

この値は棄却域に落ちないから，帰無仮説 H_{0} は棄却されず，採択となる。したがってこの実験結果は真の融点とされている値と矛盾していない。 (終）

例題３．ある年に行われたレスリングの重量別大会で， 36 試合中の勝者の平均体重は 64.5Kg, 標準偏差は 3.2Kg であった。一方敗者はそれぞれ平均 62.8Kg, 標準偏差は 2.5Kg であったという。選手の体重は試合の勝ち負けに影響するといえるか？ (解）「体重は試合の結果に影響しない」という帰無仮説を立て，また選手の体重は正規分布に従うとして，有意水準を 5% として解く（問題には水準が要求されていないから， 1% な

\underline{8.3 仮説検定の例題 69}

どとして解いてもよい）。帰無仮説をいいかえると，「すべての勝者の平均体重 μ_{1} とすべての敗者の平均体重 μ_{2} との間には差がない」ということであり，体重の多いほうが有利と考えられるので，ここでは右側検定を用いる。すなわち

H_{0} : μ_{1} − μ_{2} = 0 H_{1} : μ_{1} − μ_{2} > 0

また n_{1} = n_{2} = 36 だから，大標本による２つの平均値の差の検定における統計量と棄却域をもちいる。与えられた標本値から検定統計量の値は，

z = \frac{\overline{x}_{1} − \overline{x}_{2}}{\sqrt{\frac{s_{1}^{2}}{n_{1}} + \frac{s_{2}^{2}}{n_{2}}}} = \frac{64.5 − 62.8}{\sqrt{\frac{3.2^{2}}{36} + \frac{2.5^{2}}{36}}} = 2.51

α = 0.05 の右側 (片側）検定で， z_{0}.05 = 1.645 だから，棄却域は， {z : z > 1.645} の区間である。したがって z = 2.51 > 1.645 より，帰無仮説は棄却される。体重はレスリングの試合結果に影響すると考えられる。 (終）

8.4 適合度検定，独立性の検定

母集団の属性が k 個の互いに排反なクラス C_{1}, C_{2}， ⋯, C_{k} に分かれ、このクラスに入る確率が理論的に p_{1}， p_{2}， ⋯ ， p_{k}, (∑_{i} p_{i} = 1) であるものとしよう。しかし実際に母集団からの抽出した標本の値が n_{1}, n_{2}, ⋯, n_{k} であれば、これらは， (∑_{i} n_{i} = n) であるが、その対応する理論値 np_{1}， np_{2}， ⋯ ， np_{k} とは，必ずしも合致しないから, ずれが生じる。このずれに関して適当な尺度を考えて，理論と実際とが一致しているかどうかを検定する。

たとえば，ある大学での入学者１０００人について，男女の性別が５３５人と４６５人であったとき，これについて性差がないもとのと仮定するならば、当然入学の比率は 1/2 対 1/2 でなければならない。このとき、性差がないといえるかどうかを検定する問題である。すなわち比率が理論的には５００人対５００人になるはずであるが，この実際の標本値とのずれを適当な尺度で調べることを考える。

\begin{matrix}クラス & C_{1} & C_{2} & ⋯ & C_{k} & 計 \\ 観測度数（標本値） & n_{1} & n_{2} & ⋯ & n_{k} & n \\ 期待度数（理論値） & np_{1} & np_{2} & ⋯ & np_{k} & n \end{matrix}

検定統計量は χ^{2} := ∑_{i=1}^{k} \frac{(n_{i} − np_{i})^{2}}{np_{i}} を用いる。ここで分子は２乗をしているが，分母はそ

うでないことに注意。帰無仮説：母集団の各クラスに属する確率が p_{1}， p_{2}， ⋯ ， p_{k}, (∑_{i} p_{i} = 1) であるという仮説のもとでは近似的に自由度 ν = k − 1 のカイ２乗分布に従う。近似であるから，この精度を高めるには各クラスの期待度数を５以上にする必要がある。この検定を適合度検定という。有意水準が α% の棄却域は， χ^{2} > χ_{α}^{2}(ν) でカイ 2 乗分布の右側（大きい値のほう）裾のパーセント点による。

つぎに属性が２つの場合 A, B を考える。縦と横のマス目の形でデータが与えられる場合である。一方の属性 A を縦 (第 i 行) ともう一方 B を横 (第 j 列) に並べれば，行列の形に枠が書ける。これを分割表とよぶ。このような２つの分類基準の間に関して、これらの関連性の有無があるかどうかを調べる。「関連がない」ということは，それぞれの枠に属する/ 属さないことが「独立である」とみなす。これを実際の標本値と理論値と比較する。前と同様、ずれの大きさで判断をおこなう。このような検定を独立性の検定という。各枠に対する確率の理論値はそれぞれの周辺度数から独立性の仮定のもとで計算できる。

周辺度数をそれぞれ横の合計，縦の合計から r_{i}, c_{j} とおくと，一つの枠 (i, j) には， n × (\frac{r_{i}}{n})(\frac{c_{j}}{n}) = \frac{r_{i}c_{j}}{n} が理論値による期待度数であり，実際の標本値 n_{ij} とを比較する。

検定統計量は

χ^{2} := ∑_{i} ∑_{j} \frac{(n_{ij} − \frac{r_{i}c_{j}}{n} )^{2}}{\frac{r_{i}c_{j}}{n}}

帰無仮説のもとでは，近似的に自由度が ν = ｛（行数−１）（列数−１）｝のカイ 2 乗分布にしたがい，有意水準が α% の棄却域は， χ^{2} > χ_{α}^{2}(ν) でカイ 2 乗分布の右側（大きい値のほ

\underline{8.4 適合度検定，独立性の検定 71}

う）裾のパーセント点による。とくに 2 行 2 列の特別な場合には，

B_{1} B_{2} 計
A_{1} n_{11} n_{12} r_{1}
A_{2} n_{21} n_{22} r_{2}
計 c_{1} c_{2} n

期待度数が小さい場合には，近似をよくするために 0.5 だけずらす方法がイェーツの補正という。

χ^{2} = ∑_{i} ∑_{j} \frac{(|n_{ij} − \frac{r_{i}c_{j}}{n} | − 0.5)^{2}}{\frac{r_{i}c_{j}}{n}}

8.5 適合度検定，独立性の検定の例題

母集団の属性が k 個の互いに排反なクラス C_{1}, C_{2}， ⋯, C_{k} に分かれているものとする。そのクラスに入る確率が理論的に p_{1}， p_{2}， ⋯ ， p_{k} （ただし ∑_{i} p_{i} = 1）とする。実際に母集団からの抽出した標本の値が n_{1}, n_{2}, ⋯, n_{k} （ただし ∑_{i} n_{i} = n）は，その理論値 np_{1}， np_{2} ， ⋯ ， np_{k} とは，必ずしも合致していないから, ずれが生じる。このずれに関して適当な尺度を考えて，理論と実際とが一致しているかどうかを検定する。

例題（確率分布の適合度検定）人間の血液型は， 4 種類で，その構成比率は ; 0.16, 0.48, 0.20, 0.16 という。いまある職業をもつ 770 人について調べたら， ; 180, 360, 132, 98 であった。これに対して，もとの構成比率のそれを比べて検 ; 定せよ。

（解）

血液型  C_{1}  C_{2}  C_{3}  C_{4}  計
観測度数（標本値）180  360  132  98  770
期待度数（理論値）770 ∗ 0.16 770 ∗ 0.48 770 ∗ 0.20 770 ∗ 0.16 770
= 123.2 = 369.6 = 154.0 = 123.2 = 770.0

検定統計量は

\begin{aligned}χ^{2} & := ∑_{i=1}^{k} \frac{(n_{i} − np_{i})^{2}}{np_{i}} \\ & = \frac{(180 − 123.2)^{2}}{123.2} + \frac{(360 − 369.6)^{2}}{369.6} + \frac{(132 − 154.0)^{2}}{154.0} + \frac{(98 − 123.2)^{2}}{123.2} = 34.73 \end{aligned}

を用いる。有意水準は α = 0.05，自由度 ν = 4 − 1 = 3. χ^{2} 分布表より， χ_{0.05}^{2}(3) = 7.81 よって棄却域は {χ^{2}|χ^{2} > 7.81} χ^{2} の値は棄却域に入っているから，仮説は棄却される。したがってこの血液型の分布は仮説が与える構成比率とは異なるものである。（終）

つぎに属性が２つの場合 A, B を考える。一方の属性 A を縦 (行) ともう一方 B を横 (列) に並べれば，行列の形に枠が書ける。これを分割表とよぶ。つまり２つの分類基準の間に関してこれらの関連性の有無を調べる。「関連がない」ということは，それぞれの枠に属する/ 属さないことが「独立である」 (独立性の検定)。これを実際の標本値と理論値と比較する。確率の理論値はそれぞれの周辺度数から独立性の仮定のもとで計算できる。

例題（独立性の検定）つぎの表はある科目の成績評価を学部別にしたものである。こ れについて学部間に成績の優劣が認められるかどうかを有意水準 1% で検定せよ。 A 学部 B 学部 C 学部 優  8  12  6 良  25  32  10 可  10  9  14 不可  7  5  12

\underline{8.5 適合度検定，独立性の検定の例題 73}

（解）周辺和から各マスの期待度数を\frac{r_{1}c_{1}}{n} = 26 ∗ 50/150 = 8.67, \frac{r_{1}c_{2}}{n} = 26 ∗ 58/150 = 10.05, ⋯ と計算してもとめると

8.67 10.05 7.28
22.33 25.91 18.76
11.00 12.76 9.24
8.00 9.28 6.72

χ^{2} = ∑_{i} ∑_{j} \frac{(|n_{ij} − \frac{r_{i}c_{j}}{n} |)^{2}}{\frac{r_{i}c_{j}}{n}} = \frac{(8 − 8.67)^{2}}{8.67} + ⋯ + \frac{(12 − 6.72)^{2}}{6.72} = 16.39

有意水準と自由度 α = 0.05, ν = 3 × 2 = 6 のカイ２乗分布表から χ_{0.05}^{2}(6) = 12.59 よって棄却されない（有意である）。すなわち学部間に優劣が認められる。（終）

75

第 9 章回帰分析と主成分分析

\underline{76 第 9 章回帰分析と主成分分析}

9.1 回帰分析と主成分分析 — 多変量解析入門

9.1.1 回帰分析

いま２つの変数 (x, y) の間に一次の関数関係 y = α + βx があるものとする。 x の値を与えると、係数 α, β が既知ならば、 y の値を定めることができる。具体的な例として、測定誤差など・・・しかし、いまこの構造式の中に確率変動の要素が加わると考えよう。観測値 y のなかには確率変数が含まれるとする。いま n 個のデータ

(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), ⋯, (x_{n}, y_{n})

について

y_{i} = α + β x_{i} +ε_{i}, i = 1, 2, ⋯

なる関係があり、この ε_{i} は、各 i について独立で同一の分布 N(0, σ^{2}0) にしたがうとする。すなわち各 x_{i} が指定されると、上の式で定まる y_{i} は ε_{i} によって確率変動し、平均 μ_{i} は、 α + β x_{i} 、分散 σ_{i}^{2} = σ^{2} (一定) の正規分布にしたがう。

このように２つの変数間が一次式で結ばれて変動するような関係を線形回帰モデル (Linear Regression Model) とよぶ。変数 x のことを説明変数（explanatory variable) または独立変数 (independent variable) とよび、これに対する変数 y のことを従属変数（dependent variable) という。一般に、説明変数は非確率的なものとする。係数 α, β を回帰係数（regression coefficient) とよび、これは未知の母数である。 x を与えて観測された y の値をデータとして、この回帰係数を推定することが問題となる。

回帰係数の推定には、ガウスによる最小２乗の原理 (principle of minimum square) に基づく。いま n 個のデータ：

(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), ⋯, (x_{n}, y_{n})

が与えられたとする。未知パラメ−タ α, β を

S(α，β) = ∑_{i=1}^{n}(y_{i} − (α + β x_{i}))^{2}

が最小となるように決定しようと考える。このような方法を最小２乗法 (least square method) とよぶ。データは固定されていて、 α と β がどんな値であっても

S(α̂，β̂) ≤ S(α，β)

を満たす最小値 α̂, β̂ を求めようとするわけで、このようにして定まる係数の値を最小２乗推定値とよぶ。 y = α + βx は直線の方程式であるから、係数を変化させることは、いろいろ直線を動かすことで、最小２乗法とは各点での残差 y_{i} − α − β x_{i} の２乗和が小さくなるよう直線をあてはめようとすることである。

実際、 α̂, β̂ を決定するには、微分積分学の極値問題を使って、まず必要条件として S(α, β)

\underline{9.1 回帰分析と主成分分析 — 多変量解析入門 77}

に対する２変数の微分係数をゼロとした方程式を解き、最小値の候補を求める。すなわち、

\begin{aligned}\frac{∂S}{∂α} & = & −2 ∑_{i=1}^{n}(y_{i} − α − β x_{i}) = 0 \\ \frac{∂S}{∂β} & = & −2 ∑_{i=1}^{n} x_{i}(y_{i} − α − β x_{i}) = 0 \end{aligned}

これを整理すれば

\{ \begin{matrix}nα + (∑ x_{i})β = ∑ y_{i} & · · · · · · (1) \\ (∑ x_{i})α + (∑ x_{i}^{2})β = ∑ x_{i} y_{i} & · · · · · · (2) \end{matrix}

を得る。これを正規方程式 (normal equation) とよぶ。 α と β に関する２元連立線形方程式である。 (1) より、 α = \overline{y} −β \overline{x} (ただし\overline{x} は, x_{1}, ⋯, x_{n} の平均値、\overline{y} は y_{1}, ⋯, y_{n} の平均値) となるから、 (2) に代入して、 β を得る。さらに α も得られる。こうして得た α, β の値は

\begin{aligned}α̂ & = \overline{y} −β̂ \overline{x} = \overline{y} −\frac{σ_{xy}}{σ_{xx}} \overline{x} \\ β̂ & = \frac{_{∑i}(x_{i} − \overline{x})(y_{i} − \overline{y})}{_{∑i}(x_{i} − \overline{x})^{2}} = \frac{σ_{xy}}{σ_{xx}} \end{aligned}

ここで σ_{xx} と σ_{xy} はそれぞれ x, y についての分散、共分散を表すとする。さらに、いま求めた値に対して極値問題の十分条件 S_{αβ}^{2} − S_{αα}S_{ββ} < 0 を調べ、これを満たしているからことがわかる。以上により求める直線の方程式は

y − \overline{y} = \frac{σ_{xy}}{σ_{xx}} (x − \overline{x})

で与えられ、この回帰直線は点 (\overline{x}, \overline{y}) を通り、傾きが\frac{σ_{xy}}{σ_{xx}} である。つぎに最小２乗法の幾何的意味を考えよう。与えられた構造を表すモデルの式は

y_{i} = α + β x_{i} +e_{i}, i = 1, ⋯, n

と書けていたから、まずこれをベクトルや行列を用いて表す。

[ y_{1} ; y_{2} ; ⋮ ; y_{n} ] = [ \begin{matrix}1 & x_{1} \\ 1 & x_{2} \\ ⋮ & ⋮ \\ 1 & x_{n} \end{matrix} ] [ \begin{matrix}α \\ β \end{matrix} ] + [ e_{1} ; e_{2} ; ⋮ ; e_{n} ]

つまり、行列とベクトルを使って

y = Xβ + e

が線形回帰モデルの表現である。ただし

y = [ y_{1} ; y_{2} ; ⋮ ; y_{n} ] , X = [ \begin{matrix}1 & x_{1} \\ 1 & x_{2} \\ ⋮ & ⋮ \\ 1 & x_{n} \end{matrix} ] , β = [ \begin{matrix}α \\ β \end{matrix} ] , e = [ e_{1} ; e_{2} ; ⋮ ; e_{n} ] .

行列の転置 (transpose) を表すため、左上に t をつけるとしよう。

tX = [ \begin{matrix}1 & 1 & ⋯ & 1 \\ x_{1} & x_{2} & ⋯ & x_{n} \end{matrix} ]

これを用いると、正規方程式は

[^{t}XX]β = ^{t}Xy

と書ける。２次の正方行列

tXX = [ \begin{matrix}n & ∑ x_{i} \\ ∑ x_{i} & ∑ x_{i}^{2} \end{matrix} ]

を考えると、その行列式 (determinant) は n ∑_{i} x_{i}^{2} −(∑ x_{i})^{2} で、これは n^{2} で割ると分散 σ_{xx} であるから、 0 でないとしてよい。したがって行列は正則である。逆行列が存在するから β = [^{t}XX]^{−1}^{t}Xy 回帰直線はしたがって y = X[^{t}XX]^{−1}^{t}Xy + e となる。この式において右辺の y の係数行列を P とおくと、

P = X [^{t}XX]^{−1} ^{t}X

この P はつぎを満たしている。

1) P^{2} = P (ベキ等という)

2) ^{t}P = P (対称という)

一般にこのような行列を係数として定まる線形写像を射影 (projection) という。 y = [y_{1}y_{2} ⋯ y_{n}] は n 次元ベクトル空間の点で、 P y は２次元ベクトル空間 (平面) の点で、 y を射影したベクトルとなる。

図 (略)

y = Py + e より e = (I − P)y I は単位行列。

残差ベクトル e は n 次元ベクトルの点 y より２次元ベクトル空間へおろして垂線を表す。もし

β = [^{t}XX]^{−1} ^{t}Xy

でない一般の β を用いると、 y = Xβ + e であり、このときの残差ベクトルは e = y − Xβ は e = (I − P)y と比べれば、ベクトルの大きさは長くなっている。これが最小２乗法の幾何的意味である。

さて α、 β のそれぞれの推定値 α̂、 β̂ を S(α, β) に代入した最小値は ∑_{i}(y_{i} − ŷ_{i})^{2} となり、これを残差平方和 (sum of square of residue) といい、 n − 2 で割ったものを残差分散 (variance of residue) とよぶ。

S_{e} = \frac{1}{n − 2} ∑_{i=1}^{n}(y_{i} − ŷ_{i})^{2}

この式はつぎのように変形できる。

∑_{i}(y_{i} − ŷ_{i})^{2} = ∑(y_{i} − \overline{y})^{2} − 2β̂ ∑(y_{i} − \overline{y})(x_{i} − \overline{x}) + β̂^{2} ∑(x_{i} − \overline{x})^{2}
= ∑(y_{i} − \overline{y})^{2} − β̂^{2} ∑(x_{i} − \overline{x})^{2}
= ∑(y_{i} − \overline{y})^{2} − ∑(ŷ_{i} − \overline{y})^{2}

ゆえに

∑(y_{i} − \overline{y})^{2} = ∑(ŷ_{i} − \overline{y})^{2} + ∑(y_{i} − \overline{y})^{2}

が成り立つ。この式は y の全変動 ∑_{i}(y_{i} − \overline{y})^{2} が回帰による変動 ∑_{i}(ŷ_{i} − \overline{y})^{2} と残差変動 ∑_{i}(y_{i} − \overline{y})^{2} に分解されることを示している。変量 y の全変動のうち、回帰による変動の占める割合、

ρ = \frac{∑(ŷ_{i} − \overline{y})^{2}}{∑(y_{i} − \overline{y})^{2}}

を回帰の決定係数 (coefficient of determination) という。この ρ の値が１に近ければ、 y の変動の大部分が x に対する回帰によって説明されることを意味し、もし、 0 に近ければ y の変動の説明に x はほとんど無力であることになる。

また\frac{1}{n} ∑_{i}(ŷ_{i} − \overline{y})^{2} = \frac{2β̂}{n} ∑_{i}(y_{i} − \overline{y})(x_{i} − \overline{x}) − \frac{β̂^{2}}{n} ∑_{i}(x_{i} − \overline{x})^{2} = \frac{σ_{xy}^{2}}{σ_{xx}} より

ρ = σ_{xy}^{2}/\frac{σ_{xx}}{σ_{yy}} = \frac{σ_{xy}^{2}}{σ_{xx}σ_{yy}}

したがって σ_{x}^{2} = σ_{xx}, σ_{y}^{2} = σ_{yy} であるから

\sqrt{ρ} = \frac{σ_{xy}}{σ_{x}σ_{y}}

すなわち回帰の決定係数 ρ の平方根は x と y との相関係数となる．

主成分分析

主成分分析とは多変量データがもつ情報をなるべく損なうことなく、縮約するための統計的手法である。たとえば、学生の数学試験を前期と後期の２回おこなった成績データが与えられたとする。この相関係数はたかく、一方の成績が良ければ他方もよいという傾向が認められるであろう。単に算術平均をするのではなく、２つの成績の数値を１つの代表値にまとめることを考える。また英語の成績と数学のそれとをまとめる場合も同じ様に考えられる。いま n 個の２次元データ

(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), ⋯, (x_{n}, y_{n})

が与えられたとする。これらに

z_{i} = a x_{i} +by_{i}, i = 1, 2, ⋯, n

という線形変換を施して、２次元データを１次元に縮約する。２次元データの情報がなるべく損なわれないよう縮約するには、どのような変換を行えばよいだろうか？まずこの線形変換が幾何的にどういう関係を表しているかを考えよう。原点と点 (a, b) を結んでできる直線を延長して新しい軸を設ける。与えられた２次元の点 (x, y) からこの軸に垂直におろした垂線の足を z とおけば、線形変換は２次元データの点 (x_{i}, y_{i}) を対応する新しい軸上の点 z_{i} に対応、詳しくいうと、平面の点をこの軸のうえに射影させている。

図（略）

この線形変換によって２次元のデータとして散らばり、広がっていたものが、１次元の新しい軸上の点として並び換えられたことになる。したがって問題は、散布していたデータを、なるべくその特徴をよく代表するよう、適切な軸を選ぶことになる。データの特徴を代表するという考えかたを、分散の最大化、すなわち個体の識別効果を大きくすることと意味づけてみる。また係数 a, b の役割は直線の方向を決めている。点 (a, b) を単位円周上の点、

いいかえると、ベクトル [ \begin{matrix}a \\ b \end{matrix} ] の長さが 1 、 a^{2} + b^{2} = 1 を満たすとしてよい。この立場に

立てば、問題は［条件： a^{2} + b^{2} = 1 の下で、 z = ax + by の分散 σ_{z}^{2} = a^{2}σ_{x}^{2} + 2abσ_{xy} + b^{2}σ_{y}^{2} を最大にせよ。］という形に帰着された。さてこの条件つき最大化問題を解かなければならない。線形代数における対称行列の対角化を用いよう。ベクトルと行列をもちいて、目的関数を表現すると、分散と共分散を要素とする対称行列 (これを分散共分散行列という)

Σ = [ \begin{matrix}σ_{x}^{2} & σ_{xy} \\ σ_{xy} & σ_{y}^{2} \end{matrix} ] とおいて

σ_{z}^{2} = a^{2}σ_{x}^{2} + 2abσ_{xy} + b^{2}σ_{y}^{2} = (a, b)Σ [ \begin{matrix}a \\ b \end{matrix} ]

これはベクトル [ \begin{matrix}a \\ b \end{matrix} ] に関する２次形式と呼ばれる。係数行列は対称であるから、適当な

直交行列 P を用いて、

P^{−1}ΣP = [ \begin{matrix}λ_{1} & 0 \\ 0 & λ_{2} \end{matrix} ] = Λ

と対角化可能である。 (詳しくは線形代数のテキストを参考にされたい)。ここで λ_{1}, λ_{2} は行列 Σ の固有値である。実際、係数行列 Σ − λI の行列式が 0 という２次方程式：

λ^{2} − (σ_{x}^{2} + σ_{y}^{2})λ + σ_{x}^{2}σ_{y}^{2} − σ_{x}y^{2} = 0

から、２解 λ_{1}, λ_{2} が固有値であった。方程式はとくに固有方程式とよばれている。上の式における Σ を Σ = P ΛP^{−1} として目的関数の式に代入すると、 σ_{z}^{2} = λ_{1}ã^{2} + λ_{2}b̃^{2} に等

しい。ただしベクトル [ ã ; b̃ ] = P^{−1} [ \begin{matrix}a \\ b \end{matrix} ]. この固有値の性質をみると、固有方程式の

判別式より２つの解は実数解で、 σ_{x}^{2} + σ_{y}^{2} ≥ 0, σ_{x}^{2}σ_{y}^{2} − σ_{xy}^{2} ≥ 0 より２解とも非負でとなっている。したがって、条件を用いて λ_{M} = max(λ_{1}, λ_{2}), λ_{m} = min(λ_{1}, λ_{2}) とおくと, λ_{M} = λ_{M}ã^{2} + λ_{M}b̃^{2} ≥ λ_{1}ã^{2} + λ_{2}b̃^{2} ≥ λ_{m}ã^{2} + λ_{m}b̃^{2} = λ_{m} から、結局、 z の分散 σ_{z}^{2} は最大値が行列 Σ の最大固有値となり、最小値は最小固有値となる。このようにして問題の最大値は分散共分散行列の最大固有値であることが分かる。また Σ = P ΛP^{−1} よりトレースの値は変らない、 tr(Λ) = tr(P ΛP)^{−1} = tr(Λ) 。すなわち σ_{x}^{2} + σ_{y}^{2} = λ_{1} + λ_{2} という関係が得られる。この式から、もとのデータと線形変換されたデータの２つには、分散の合計が同じという意味で等しい情報をもつととらえることができる。

特に大切なポイントとしては、得られた固有値の大きさが問題である。いま対角化するための直交行列をつくるベクトルの順序を換えて、固有値が大きいものから小さいものへとならぶようにする。 λ_{1} ≥ λ_{2} このようにすると最大固有値に対する第一成分が分散の和 λ_{1} + λ_{2} のうち、最も大きな情報を含む。\frac{λ_{1}}{λ_{1} + λ_{2}} この値が大きければ大きいほど、第１成分だけで多次元のデータを縮約している、第１成分で２次元データを説明できていることになる。すべての固有値の総和の中で１つの固有値の占める割合を寄与率とよび、この値の最大値に対する成分が第１主成分、つぎのものが第２主成分とよばれる。最大固有値にたいす

る固有ベクトルを [ \begin{matrix}a^{∗} \\ b^{∗} \end{matrix} ] とすると、線形変換 z = a^{∗}x + b^{∗}y が、変数 z の分散を最もおお

きくなるような変換であり、２次元データ (x, y) を１次元データ z に寄与率\frac{λ_{1}}{λ_{1} + λ_{2}} で縮小した第１主成分である。

変量が (x, y, z) の３個であっても、このデータを w = ax + by + cz と１次元に縮約することが考えられる。３次元空間に原点から延びる直線を引き、それを新しい軸として、空間の点をこの軸の上に射影して並べる。軸上に並んだ点の分散がなるべく大きくなるよう方向を決める。このときも、３次の対称行列は直交行列で対角化され、分散共分散行列に対する最大固有値がその最大分散で、対応する固有ベクトルがその方向を決定するのである。さらに大きさの順に固有値をならべ、第１主成分、第２主成分としていく。このように、与えられた高次元のデータをなるべく少ない個数の主成分で説明しようということが主成分分析である。

例題．

変量 x, y の平均、分散、共分散が\overline{x} = k, \overline{y} = l, σ_{x}^{2} = A, σ_{y}^{2} = B, σ_{x}y = C と与えられたとき、 z = ax + by の分散が大きくなるよう a, b を定めよ。 (解)

分散共分散行列は [ \begin{matrix}A & C \\ C & B \end{matrix} ] 。固有方程式は λ^{2} − (A + B)λ + AB − C^{2} = 0 であるか

ら、解を λ_{1} ≥ λ_{2} として a と b にかんする連立方程式

\{ \begin{matrix}(A − λ_{1})a + Cb & = 0 \\ Ca + (B − λ_{1})b & = 0 \end{matrix}

を求め、 a^{∗} = \frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} , b^{∗} = \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} とおき、 z = a^{∗}x + b^{∗}y が分散最大となる代表値で

ある。