%
%  h-para.tex 
%
%



\section{�m���p�����g���b�N�ȕ��@}


����܂ł̏q�ׂĂ����ꐔ$\mu,\sigma^2$�̐��肨��ь���ł�
��W�c�̕��z�^�����m�ł��邱�Ƃ����肵��(���ʂ͐��K���z�j�B
���z�^�����m�̏ꍇ����m�ł����Ă����̕W�{���_���m�����Ă��Ȃ�
�ꍇ�ɂ́A����܂ł̕��@�ɕς�铝�v�I���@���K�v�ɂȂ�B
�����ł̓m���p�����g���b�N�ȕ��@�i�܂��͕ꐔ�ɂ��Ȃ����@�j
�Ƃ�΂�A���낢��ȏ�ʂŎ��ۂɎg����W���I���@���q�ׂ�B

��{�����@�A���^�m�����x�֐�$f(x)$������W�c���璊�o����
�傫��$n$�̕W�{��$x_1,x_2,\cdots,x_n$�Ƃ���B�����$n$��
�W�{�����������̂���傫�����̂ւƏ��ɕ��בւ������̂�
\[
  x_{(1)}< x_{(2)}< \cdots < x_{(n-1)}< x_{(n)}
\]
��傫��$n$�̏������v�ʂƂ����B


\subsection{ �����l�̐M����� }

��W�c�����l��$\displaystyle\int_{\xi}^{\infty} f(x) dx = 1/2$ �𖞂���$\xi$
�𕪕z�̒����l�Ƃ��Ē�`�����B
���������Ĉ�̊ϑ��l��$\xi$���傫���m���A�܂��������m����
�Ƃ���$1/2$�ł���B����
\[
   x_{(i)} < \xi < x_{(n-i+1)}, i=1,2,\cdots,n-1, i < n/2
\]
���l����ƁA���̎��ۂ�$n$�̊ϑ��l�̂������Ȃ��Ƃ�$i$��
$\xi$��菬�����A���Ȃ��Ƃ�$i$��$\xi$���傫���Ƃ��ɋN���Ă���B
�����������$n$�̂������Ȃ���$i$��$\xi$��菬�ŁA
���X$n-i$�����傫���B
\[
   x_{(1)} <\cdots < x_{(i)} < \cdots<  \xi < \cdots < x_{(n-i+1)}
<x_{(n-i+2)} < \cdots < x_{(n)} 
\]
���������Ă��̎��ۂ̊m���́A�R�C����$n$�񓊂��ɂ����ĕ\�����Ȃ��Ƃ�
$i$���獂�X$n-i$��N����m���Ɠ����ł���B����䂦�����
�ϑ��l�������l���܂ފm���A�܂�$\xi$�̐M����Ԃƍl����΁A
���̐M���W��$C$��2�����z�̌v�Z����
\[
 \begin{array}{ll}
 c & =  P(x_{(i)} < \xi < x_{(n-i+1)}) \\
   & =  \sum_{k=i}^{n-i} \binom{n}{k}(1/2)^k \\
   & =  1 - 2 \sum_{k=0}^{i-1} \binom{n}{k}(1/2)^k \qquad 
  ( 1 < i < n/2 ).
 \end{array}
\]

���Ƃ���

\begin{tabular}{ll} \hline
�M���W��        &  $\xi$�̐M����� \\ \hline
$1- 2 (1/2)^n$  &  $ (x_{(1)}, x_{(n)})$ \\
$1- 2 (1/2)^n\{ 1 + n\}$  & $ (x_{(2)}, x_{(n-1)})$ \\
$1- 2 (1/2)^n\{ 1 + n + n(n-1)/2\}$ & $ (x_{(3)}, x_{(n-2)})$ \\
$1- 2 (1/2)^n\{ 1 + n + n(n-1)/2 + n(n-1)(n-2)/6\}$ &
$ (x_{(4)}, x_{(n-3)})$ \\ \hline
\end{tabular}


\subsection{ �����l�̕������� }

�����l�̕�������́A���K���z�̕��ϒl�ɂ�����t����ɔ�r�ł�����̂�
�ł����̕��z�ɂ��Ȃ��������\��Ă���B
�^����ꂽ�l$\xi_0$�Ƃ��đ傫��$n$�̕W�{
$x_1, x_2, \cdots, x_n$

(1) �Б�����
  \begin{tabular}{ll}
    �A������ & $H_0 : \xi = \xi_0$ \\
    �Η����� & $H_1 : \xi < \xi_0$ \\
  \end{tabular}

(2) �Б�����
  \begin{tabular}{ll}
    �A������ & $H_0 : \xi = \xi_0$ \\
    �Η����� & $H_1 : \xi > \xi_0$ \\
  \end{tabular}

(3) ��������
  \begin{tabular}{ll}
    �A������ & $H_0 : \xi = \xi_0$ \\
    �Η����� & $H_1 : \xi \ne \xi_0$ \\
  \end{tabular}

�̌�����l����B
���蓝�v�ʂƂ��Ă�
�W�{�l$x_i$��$\xi_0$�̍����v�Z���A���̐����̕�������
���ڂ���B$x_i- \xi_0 (i=1,2,\cdots, n )$ �̒���
���ƂȂ���̂̐���$X$�A���̂��̂́A$n-X$ �ł���B
�A�������̂��Ƃł�
$X$�̓p�����[�^$n,p=1/2$��2�����z�ɂ��������B
���ꂩ�猟��̊��p����߂���B
���Ȃ킿 (1) �̏ꍇ�ɂ́A2�����z�̍������A
(2) �̏ꍇ�ɂ͉E�������p��ɑI�חǂ��B
������2�����z�̊m���������ɋ��߂邱�Ƃ͈�ʂɂ�
�ʓ|�ł��邩��A�����傫���Ƃ��ɂ́A���K���z��
�ߎ�����B�Ƃ��Ɋm����$1/2$�̂Ƃ��̌v�Z�ł��邩��
$n$�������傫���Ȃ��Ă���r�I�悢�ߎ���������B
���p���

\begin{tabular}{l}
(1) $ X < n/2 - z_{2 \alpha} \sqrt{n}/2$ \\
(2) $ X > n/2 + z_{2 \alpha} \sqrt{n}/2$ \\
(3) $ X < n/2 - z_{\alpha} \sqrt{n}/2$,
    $ X > n/2 + z_{\alpha} \sqrt{n}/2$
\end{tabular}

�Ƃ���B������$z_{\alpha}$ �͗L�Ӑ���$\alpha$�ɑ΂���
�W�����K���z�̃p�[�Z���g�_�B


�܂���������͕W�{�f�[�^�l���Ή��̂���ꍇ�ɂ��K�p�\�ł���B
$n$�΂̑g�݃f�[�^�Ƃ��ė^����ꂽ�W�{��$(x_i,y_i), i=1,2,\cdots,n$
�Ƃ���Ƃ��A��$d_i = x_i - y_i$ �����ƂȂ�΂̐��ɑ΂��āA
��L�̕���������s���΂悢�B



\subsection{ Wilcoxson�̏��ʘa���� }

�Ɨ���2�W�{�ɑ΂��錟��ɗp������B
$ x_1,x_2,\cdots,x_n$, $ y_1,y_2,\cdots,y_n$
�����ꂼ��A���^���x�֐�$f(x), g(x)$������
��W�c����傫��$m,n$�̓Ɨ���2�W�{�ŁA
 $  m \leq n$ �Ƃ���B
�����2�g�̕W�{�l���e�g���Ƃɑ傫���̏���
���ёւ������́A���Ȃ킿�e�g�̏������v�ʂ�

\begin{tabular}{ll}
 $m$�F& $x_{(1)} < x_{(2)} < \cdots < x_{(m)}$ \\
 $n$�F& $y_{(1)} < y_{(2)} < \cdots < y_{(n)}$ \\
\end{tabular}

\noindent
����ɂ�����������������,  ���Ƃ���$m=3, n=4$��
\begin{center}
  ���������F
  $y_{(1)} < x_{(1)} < y_{(2)} < y_{(3)} <  y_{(4)} < x_{(2)} < x_{(3)}$\end{center}
���l����B

���̂Ƃ����̉����i�P�j���邢�́i�Q�j��


(1)
\begin{tabular}{ll}
  �A������ $H_0$ &: $f(x) = g(x)$ \\
  �Η����� $H_1$ &: $f(x)$ �� $g(x)$�̉E���Ɉʒu����
\end{tabular}



(2)
\begin{tabular}{ll}
  �A������ $H_0$ &: $f(x) = g(x)$ \\
  �Η����� $H_1$ &: $f(x)$ �� $g(x)$�̍����Ɉʒu����
\end{tabular}

\noindent
�Ƃ����Ƃ��A�����������ʐ����狁�߂�a����
���肷����@��Wilcoxson�̏��ʘa����Ƃ����B


����2�f�[�^�̍���������
%$y_{(1)} < y_{(2)} < x_{(1)} < y_{(3)} < x_{(2)} < y_{(4)} < y_{(5)} < x_{(3)} $
��L�̂悤�ł���Ȃ�΁A���̂Ƃ��Ɋϑ��l���A����������
�E���ɂ���Ă���̂��ǂ����l����B���ʐ��̒l�̘a��

\begin{tabular}{llllllll}
 �A��      & 1 & 2  & 3 & 4 & 5 & 6 & 7    \\
 ��������  & $y_{(1)}$ &  $x_{(1)}$ &  $y_{(2)}$ &  $y_{(3)}$ &  
     $y_{(4)}$ &  $x_{(2)}$  & $x_{(3)}$   \\
  $f(x)$ �̑Ή����� & -  & 2  & - & - & - & 6 & 7    \\
  ���ʘa $T = $ &   0 +  & 2 +  & 0 + & 0 + & 0 +  & 6 + & 7    = 15 \\ 
\end{tabular}
�ƂȂ�B


����������s�����߂ɂ́A�A�������̂��Ƃł̌��蓝�v�ʁA�܂菇�ʘa�̕��z��
���ׂ�K�v������B�A������$H_0$�̂��Ƃł́A�N�蓾��$(m+n)!$�ʂ�̑S�Ă�
�����n��͓����m���œ����邩��A$H_0$�̂��Ƃł�$T$�̕��z�͑g�ݍ��킹�v�Z����
�����グ����B���Ƃ���$m=3,n=4$�̌v$7$�̊ϑ��l�ɑ΂��邷�ׂĂ̏����n���
�S����$\binom{7}{3}=\dfrac{7!}{3!4!}=35$�ʂ�ł���B���̂Ƃ��̏��ʘa��
�v�Z���Ă݂�B

���\���ł�$y_{(i)}$ ��$-$�Œu�������Ă���

\begin{tabular}{ccccccccc}
\hline
���� & 1   & 2  &  3 & 4 & 5 & 6 & 7 & T�̒l \\
\hline
 & -   & -  &  - & - & $x_{(1)}$ & $x_{(2)}$ & $x_{(3)}$ & 18 \\
 & -   & -  &  - & $x_{(1)}$ & - & $x_{(2)}$ & $x_{(3)}$ & 17 \\
 & -   & -  & $x_{(1)}$ & - & - & $x_{(2)}$ & $x_{(3)}$ & 16 \\
 & -   & -  & -  & $x_{(1)}$ & $x_{(2)}$ & - & $x_{(3)}$ & 16 \\
 & -   & $x_{(1)}$  & -  & - & - & $x_{(2)}$ & $x_{(3)}$ & 15 \\
 & -   & -  &  $x_{(1)}$ & - & $x_{(2)}$ & - & $x_{(3)}$ & 15 \\
 & -   & -  & -  & $x_{(1)}$ & $x_{(2)}$ & $x_{(3)}$ & - & 15 \\
 & -   & -  &  $x_{(1)}$ & - & $x_{(2)}$ & $x_{(3)}$ & - & 14 \\
\hline
\end{tabular}

���ʘa�̒l��$T \geq 15$ �𖞂����ꍇ�̐��͏�̂V�ʂ肾����A
�m����$P(T \geq 15 \vert H_0) = 7/35 = 0.20 $.
����ėL�Ӑ���$\alpha = 5\%$�Ȃ�΁A$T=15$��$5\%$�̊��p���
�܂܂�Ȃ��B���������ėL�ӂł͂Ȃ��B


\subsection{���ʘa�ɑ΂��鐳�K�ߎ�}
���v$m+n$����$m$��$x$�l�ɂ��Ă�$T$�ɑ΂���
\[
  \mu_T = E[T] = m(m+n+1)/2, \quad
  \sigma_T^2 =  E(T - \mu_T)^2 = mn(m+n+1)/12
\]
�����藧�B
$T$�̊��p�_��^���鐔�\���f�ڂ���Ă���B

$m=4, n=4$�̏ꍇ�ɁA���m�Ȋm��$P(T \geq t)$��
���̐��K�ߎ��l$P(Z \geq (t-\mu_T)/\sigma_T)$��
��r�����

$\mu_T= 4 * 9 /2 =18, \sigma^2 = 4^2 *9 /12 = 12 $


\begin{tabular}{ccccccccc}
\hline
  $t$�̒l           &    26 &    25 &    24 &    23 &    22 &    21 
                    & 20& 19 \\
 �m��$P(T \geq t)$  & 0.014 & 0.029 & 0.057 & 0.010 & 0.171 & 0.243 
                    & 0.343 & 0.443 \\
 ���K�ߎ��l         & 0.015 & 0.030 & 0.056 & 0.097 & 0.156 & 0.235 
                    & 0.333 & 0.443 \\
% �덷               &       &       & \\
\hline
\end{tabular}




