%  original  \tok\t4.cfm
%  file name [t4.tex]

\input{defs.tex}


\section{��A���͂Ǝ听�����́@---�@���ϗʉ�͓���}

\subsection{\bf�@��A����}

���܂Q�̕ϐ� $(x, y)$ �̊ԂɈꎟ�̊֐��֌W $y =\alf+\bet x$ ��������̂�
����B $x$ �̒l��^����ƁA�W�� $\alf, \bet$ �����m�Ȃ�΁A $y$ �̒l���߂�
���Ƃ��ł���B��̓I�ȗ�Ƃ��āA����덷�ȂǁE�E�E 
�������A���܂��̍\�����̒��Ɋm���ϓ��̗v�f�������ƍl���悤�B�ϑ��l $y$ ��
�Ȃ��ɂ͊m���ϐ����܂܂��Ƃ���B���� $n$ �̃f�[�^
$$  (x_1 , y_1 ) ,  (x_2 , y_2 ) , \cdots ,  (x_n , y_n ) $$  
�ɂ���
$$
     \yi = \alf+\bet\xi +\eps_i, \quad i=1,2,\cdots
$$
�Ȃ�֌W������A���� $\eps_i$ �́A�e $i$ �ɂ��ēƗ��œ���̕��z
 $N(0,\sig^20)$ �ɂ��������Ƃ���B���Ȃ킿�e $\xi$ ���w�肳���ƁA
��̎��Œ�܂� $\yi$ �� $\eps_i$ �ɂ���Ċm���ϓ����A���� $\mu_i$ �́A
$\alf+\bet\xi$ �A���U $\sig_i^2 = \sig^2$ (���)�̐��K���z�ɂ��������B

���̂悤�ɂQ�̕ϐ��Ԃ��ꎟ���Ō��΂�ĕϓ�����悤�Ȋ֌W��
{\bf ���`��A���f��} (Linear Regression Model)�Ƃ�ԁB
�ϐ� $x$ �̂��Ƃ�
{\bf �����ϐ�} �iexplanatory variable)�܂���
�Ɨ��ϐ�(independent variable)�Ƃ�сA����ɑ΂���ϐ� $y$ �̂��Ƃ�
{\bf �]���ϐ�} �idependent variable)�Ƃ����B��ʂɁA�����ϐ���
��m���I�Ȃ��̂Ƃ���B�W�� $\alf, \bet$ �� {\bf ��A�W��} 
�iregression coefficient)�Ƃ�сA����͖��m�̕ꐔ�ł���B 
 $x$ ��^���Ċϑ����ꂽ $y$ �̒l���f�[�^�Ƃ��āA���̉�A�W���𐄒肷�邱�Ƃ�
���ƂȂ�B

��A�W���̐���ɂ́A�K�E�X�ɂ��{\bf �ŏ��Q��̌���} 
(principle of minimum square)�Ɋ�Â��B���� $n$ �̃f�[�^�F
$$
  (x_1 , y_1 ) ,  (x_2 , y_2 ) , \cdots ,  (x_n , y_n )  
$$
���^����ꂽ�Ƃ���B���m�p�����|�^ $\alf,\bet$ ��
$$
  S(\alf�C\bet)= \sum_{i=1}^{n} (\yi - (\alf+\bet\xi))^2 
$$
���ŏ��ƂȂ�悤�Ɍ��肵�悤�ƍl����B���̂悤�ȕ��@��{\bf �ŏ��Q��@} 
(least square method)�Ƃ�ԁB�f�[�^�͌Œ肳��Ă��āA$\alf$��$\bet$���ǂ�Ȓl��
�����Ă�

$$
  S(\hat\alf�C\hat\bet) \le S(\alf�C\bet)
$$
�𖞂����ŏ��l$\hat\alf,\hat\bet$ �����߂悤�Ƃ���킯�ŁA���̂悤�ɂ��Ē�܂�
�W���̒l��{\bf �ŏ��Q�搄��l} �Ƃ�ԁB $y=\alf+\bet x$ �͒����̕������ł���
����A�W����ω������邱�Ƃ́A���낢�뒼���𓮂������ƂŁA�ŏ��Q��@�Ƃ͊e�_
�ł̎c��  $y_i-\alf-\bet\xi$  �̂Q��a���������Ȃ�悤���������Ă͂߂悤��
���邱�Ƃł���B

���ہA$\hat\alf, \hat\bet$ �����肷��ɂ́A�����ϕ��w�̋ɒl�����g���āA�܂�
�K�v�����Ƃ���  $S(\alf,\bet)$ �ɑ΂���Q�ϐ��̔����W�����[���Ƃ�����������
�����A�ŏ��l�̌������߂�B���Ȃ킿�A
$$
 \begin{array}{lll}
  \dfrac{\partial S}{\partial \alf}  
   &=&  -2 \sum_{i=1}^n (\yi - \alf - \bet\xi ) = 0 \\
 \noalign{\vspace{.5em}}
  \dfrac{\partial S}{\partial \bet} 
   &=&  -2 \sum_{i=1}^n \xi (\yi - \alf - \bet\xi )  = 0 \\
 \end{array}
$$
����𐮗������
$$
 \left\{
   \begin{array}{lr}
     n\alf + (\sum\xi)\bet = \sum\yi &  \cdots\cdots (1) \\
     (\sum\xi)\alf + (\sum\xi^2)\bet = \sum{\xi\yi} & \cdots\cdots (2) 
   \end{array}
 \right.
$$
�𓾂�B����� {\bf ���K������} (normal equation) �Ƃ�ԁB $\alf$ �� $\bet$ ��
�ւ���Q���A�����`�������ł���B $(1)$ ���A $\alf=\yb -\bet\xb$ 
(������ $\xb$ ��,  $x_1 , \cdots, x_n$  �̕��ϒl�A$\yb$ ��  
 $y_1 ,\cdots, y_n$  �̕��ϒl)�ƂȂ邩��A$(2)$ �ɑ�����āA$\bet$ �𓾂�B
����� $\alf$ ��������B�������ē��� $\alf, \bet$ �̒l��
$$
 \begin{array}{ll}
  \hat\alf &= \yb - \hat\bet\xb = \yb - \dfrac{\sig_{xy}}{\sig_{xx}}\xb \\
 \noalign{\vspace{.3em}}
  \hat\bet &= 
    \dfrac{\textstyle{\sum_i}(\xi - \xb)(\yi - \yb)}
           {\textstyle{\sum_i}(\xi - \xb)^2} = \dfrac{\sig_{xy}}{\sig_{xx}}\\
 \end{array}
$$
������ $\sig_{xx}$ �� $\sig_{xy}$ �͂��ꂼ�� $x, y$ �ɂ��Ă̕��U�A�����U��
�\���Ƃ���B����ɁA���܋��߂��l�ɑ΂��ċɒl���̏\������ 
 $S_{\alf\bet}^2 - S_{\alf\alf} S_{\bet\bet} < 0$ �𒲂ׁA����𖞂����Ă���
���炱�Ƃ��킩��B�ȏ�ɂ�苁�߂钼���̕�������
$$
 y - \yb  =   \dfrac{\sig_{xy}}{\sig_{xx}} (x - \xb)
$$
�ŗ^�����A���̉�A�����͓_ $(\xb, \yb)$ 
��ʂ�A�X����  $\dfrac{\sig_{xy}}{\sig_{xx}}$  �ł���B

���ɍŏ��Q��@�̊􉽓I�Ӗ����l���悤�B�^����ꂽ�\����\�����f���̎���
$$
 \yi = \alf + \bet\xi + e_i, \quad i=1,\cdots,n
$$
�Ə����Ă�������A�܂�������x�N�g����s���p���ĕ\���B
$$
 \left[ \begin{array}{l} y_1 \\
                         y_2 \\
                         \vdots \\
                         y_n \\ \end{array} \right]
  =  \left[ \begin{array}{ll} 1 & x_1 \\ 
                              1 & x_2 \\ 
                              \vdots & \vdots \\
                              1 &  x_n \\ \end{array} \right]
 \left[ \begin{array}{l} \alf \\ 
                         \bet \\ \end{array} \right]
 + 
 \left[ \begin{array}{l} e_1 \\ 
                         e_2 \\ 
                         \vdots \\
                         e_n  \end{array} \right]
$$
�܂�A�s��ƃx�N�g�����g����
$$
  \bf{y} =  \bf{X \bet}  + \bf{e}
$$
�����`��A���f���̕\���ł���B������
$$
 \bf{y} = \left[ \begin{array}{l} y_1 \\
                                  y_2 \\
                                  \vdots \\
                                  y_n \\ \end{array} \right], 
 \bf{X} = \left[ \begin{array}{ll} 1 & x_1 \\ 
                                   1 & x_2 \\ 
                                   \vdots & \vdots \\
                                   1 & x_n \\ \end{array} \right], 
 \bf{\bet} = \left[ \begin{array}{c} \alf \\
                                     \bet \\ \end{array} \right], 
 \bf{e} =  \left[ \begin{array}{c} e_1 \\
                                   e_2 \\
                                   \vdots \\
                                   e_n \\ \end{array} \right]. 
$$

�s��̓]�u(transpose)��\�����߁A����� $t$ ������Ƃ��悤�B
$$
  {}^t\bX = \left[\begin{array}{llll} 
                          1    & 1    &  \cdots & 1 \\
                          x_1  & x_2  &  \cdots & x_n  \\
                  \end{array}\right]
$$
�����p����ƁA���K��������
$$
  [{}^t\bX\bX] \bf{\bet }  =  {}^t\bX \bf{y }  
$$
�Ə�����B�Q���̐����s��
$$
 {}^t\bX\bX  =
 \left[ \begin{array}{ll}  n       &  \sum\xi   \\
                           \sum\xi & \sum{\xi}^2  \\ \end{array} \right] 
$$
���l����ƁA���̍s��(determinant)��
$  n  \sum_i \xi^2 -  (\sum\xi)^2 $
 �ŁA����� $n^2$ �Ŋ���ƕ��U $\sig_{xx}$ �ł��邩��A0�łȂ��Ƃ��Ă悢�B
���������čs��͐����ł���B�t�s�񂪑��݂��邩��
$ \bbet = [{}^t \bX \bX]^{-1} {}^t \bX \by $
��A�����͂���������
$ \by = \bX[{}^t \bX \bX]^{-1} {}^t \bX \by + \be $
�ƂȂ�B���̎��ɂ����ĉE�ӂ� $\bf{y}$ �̌W���s��� $P$ �Ƃ����ƁA
$$
 P =  \bX \left[ {}^t \bX \bX \right]^{-1}{}^t \bX 
$$ 
���� $P$ �͂��𖞂����Ă���B
\begin{enumerate}
 \item[1)]   $P^2 = P$ (�x�L���Ƃ���)
 \item[2)]   ${}^t P = P$ (�Ώ̂Ƃ���)
\end{enumerate}
��ʂɂ��̂悤�ȍs����W���Ƃ��Ē�܂���`�ʑ���{\bf �ˉe} (projection)�Ƃ����B  $
\by = \left[ y_1 y_2 \cdots y_n \right] 
$
�� $n$ �����x�N�g����Ԃ̓_�ŁA $P\by$  �͂Q�����x�N�g�����(����)�̓_�ŁA
$\by$ ���ˉe�����x�N�g���ƂȂ�B

\begin{figure}[h]
              �}(��)
\end{figure}







 $\by =  P\by + \be$  ��� $\be = (\bI - P)\by$   $\bI$ �͒P�ʍs��B

�c���x�N�g�� $\be$ �� $n$�����x�N�g���̓_ $\by$ ���Q�����x�N�g����Ԃ�
���낵��
������\���B����
$$
 \bbet =  \left[ {}^t \bX \bX  \right]^{-1}  {}^t \bX \by  
$$
�łȂ���ʂ� $\bbet$ ��p����ƁA$\by =  \bX \bbet + \be$  �ł���A
���̂Ƃ��̎c���x�N�g���� $\be = \by - \bX \bbet$ �� $\be =(\bI - P)\by$ 
�Ɣ�ׂ�΁A�x�N�g���̑傫���͒����Ȃ��Ă���B���ꂪ�ŏ��Q��@�̊􉽓I�Ӗ���
����B

���� $\alf$�A$\bet$ �̂��ꂼ��̐���l $\hat \alf$�A$\hat{\bet}$ ��  
$S(\alf,\bet)$  �ɑ�������ŏ��l��  $\sum_i (\yi -\hat{\yi})^2$  �ƂȂ�A
�����{\bf �c�������a} (sum of square of residue)�Ƃ����A$n-2$�Ŋ��������̂�
{\bf �c�����U} (variance of residue)�Ƃ�ԁB 
$$
 S_e =  \dfrac{1}{n - 2} \sum_{i=1}^{n}(\yi - \hat{y}_i)^2  
$$
���̎��͂��̂悤�ɕό`�ł���B
$$
\begin{array}{ll}
 \sum_i (\yi - \hat\yi )^2  
   &= \sum (\yi - \yb)^2 -  2 \hat\bet \sum (\yi - \yb )(\xi - \xb ) 
   + \hat\bet^2 \sum (\xi - \xb )^2 \\
   &= \sum (\yi - \yb)^2 - \hat\bet^2 \sum (\xi - \xb)^2 \\
   &= \sum (\yi - \yb)^2 - \sum(\hat\yi - \yb)^2 \\
\end{array}
$$
�䂦��
$$
 \sum(\yi -  \yb)^2  =  \sum (\hat\yi -\yb )^2  +  \sum (\yi -\yb)^2 
$$
�����藧�B���̎��� $y$ �̑S�ϓ�  $\sum_i (\yi -\yb)^2$  ����A�ɂ��ϓ�
  $\sum_i (\hat{\yi} - \yb )^2$  �Ǝc���ϓ�  $\sum_i (\yi -\yb )^2$  ��
��������邱�Ƃ������Ă���B �ϗ� $y$ �̑S�ϓ��̂����A��A�ɂ��ϓ��̐�߂�
�����A
$$
 \rho= 
 \dfrac{\textstyle{\sum}(\hat{\yi}- \yb)^2}{\textstyle{\sum}(\yi-\yb)^2} 
$$
����A��{\bf ����W��} (coefficient of determination)�Ƃ����B����$\rho$�̒l��
�P�ɋ߂���΁A$y$ �̕ϓ��̑啔���� $x$ �ɑ΂����A�ɂ���Đ�������邱�Ƃ�
�Ӗ����A�����A0�ɋ߂���� $y$ �̕ϓ��̐����� $x$ �͂قƂ�ǖ��͂ł��邱�Ƃ�
�Ȃ�B

�܂�
$
 \dfrac{1}{n} \sum_i (\hat\yi -\yb )^2   
 =  \dfrac{2\hat\bet}{n} \sum_i (\yi-\yb)(\xi-\xb) - \dfrac{\hat\bet^2}{n}
  \sum_i (\xi - \xb )^2  =  \dfrac{\sig_{xy}^2}{\sig_{xx}}
$
���
$$
 \rho =  \sig_{xy}^2 / \frac{\sig_{xx}}{\sig_{yy}} 
      =  \dfrac{\sig_{xy}^2}{\sig_{xx}\sig_{yy}} 
$$
���������� $\sig_x^2 =\sig_{xx},\>  \sig_y^2 =\sig_{yy}$ �ł��邩��
$$
  \sqrt{\rho} =  \dfrac{\sig_{xy}}{\sig_{x}\sig_{y}} 
$$
���Ȃ킿��A�̌���W��$\rho$�̕������� $x$ �� $y$ �Ƃ̑��֌W���ƂȂ�D


\vspace{2cm}

{\bf �听������}

  �听�����͂Ƃ͑��ϗʃf�[�^���������Ȃ�ׂ����Ȃ����ƂȂ��A�k�񂷂邽�߂�
���v�I��@�ł���B���Ƃ��΁A�w���̐��w������O���ƌ���̂Q�񂨂��Ȃ���
���уf�[�^���^����ꂽ�Ƃ���B���̑��֌W���͂������A����̐��т��ǂ���Α�����
�悢�Ƃ����X�����F�߂���ł��낤�B�P�ɎZ�p���ς�����̂ł͂Ȃ��A�Q�̐��т�
���l���P�̑�\�l�ɂ܂Ƃ߂邱�Ƃ��l����B�܂��p��̐��тƐ��w�̂���Ƃ�
�܂Ƃ߂�ꍇ�������l�ɍl������B���� $n$ �̂Q�����f�[�^
$$
  (x_1, y_1) ,(x_2 , y_2 ) , \cdots , (x_n , y_n )   
$$
���^����ꂽ�Ƃ���B������
$$
  z_i = a \xi + b \yi , \> i=1,2,\cdots,n 
$$
�Ƃ������`�ϊ����{���āA�Q�����f�[�^���P�����ɏk�񂷂�B�Q�����f�[�^�̏��
�Ȃ�ׂ����Ȃ��Ȃ��悤�k�񂷂�ɂ́A�ǂ̂悤�ȕϊ����s���΂悢���낤���H 
�܂����̐��`�ϊ����􉽓I�ɂǂ������֌W��\���Ă��邩���l���悤�B���_��
�_ $(a,b)$ ������łł��钼�����������ĐV��������݂���B�^����ꂽ�Q����
�̓_ $(x,y)$ ���炱�̎��ɐ����ɂ��낵�������̑��� $z$ �Ƃ����΁A���`�ϊ���
�Q�����f�[�^�̓_  $(\xi, \yi)$ ��Ή�����V��������̓_ $z_i$ �ɑΉ��A�ڂ���
�����ƁA���ʂ̓_�����̎��̂����Ɏˉe�����Ă���B


\begin{figure}[h]
                  �}�i���j
\end{figure}

���̐��`�ϊ��ɂ���ĂQ�����̃f�[�^�Ƃ��ĎU��΂�A�L�����Ă������̂��A�P������
�V��������̓_�Ƃ��ĕ��ъ�����ꂽ���ƂɂȂ�B���������Ė��́A�U�z���Ă���
�f�[�^���A�Ȃ�ׂ����̓������悭��\����悤�A�K�؂Ȏ���I�Ԃ��ƂɂȂ�B�f�[�^
�̓������\����Ƃ����l���������A���U�̍ő剻�A���Ȃ킿�̂̎��ʌ��ʂ�傫��
���邱�ƂƈӖ��Â��Ă݂�B�܂��W�� $a, b$ �̖����͒����̕��������߂Ă���B �_ 
$(a,b)$ ��P�ʉ~����̓_�A����������ƁA�x�N�g��  
$\left[ \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right]$  �̒����� 1 �A
$a^2 + b^2 = 1$ �𖞂����Ƃ��Ă悢�B
���̗���ɗ��Ă΁A���� �m�����F $a^2 + b^2 = 1$ �̉��ŁA $z = ax + by$ ��
���U
 $\sig_z ^2 =  a^2 \sig_x^2  + 2 a b \sig_{xy} +  b^2 \sig_y^2 $
���ő�ɂ���B�n �Ƃ����`�ɋA�����ꂽ�B  ���Ă��̏������ő剻����������
����΂Ȃ�Ȃ��B���`�㐔�ɂ�����Ώ̍s��̑Ίp����p���悤�B�x�N�g���ƍs���
�������āA�ړI�֐���\������ƁA���U�Ƌ����U��v�f�Ƃ���Ώ̍s��(����𕪎U
�����U�s��Ƃ���)
$\Sigma = \left[ \begin{array}{cc} \sig_x^2  &  \sig_{xy} \\
                                   \sig_{xy} & \sig_y^2  \end{array}\right]$
 �Ƃ�����
$$ 
   \sig_z^2 =  a^2 \sig_x^2  + 2 a b \sig_{xy} +  b^2 \sig_y^2 
   =  (a,b)  \Sigma \left[ \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right]
$$
����̓x�N�g��  $\left[ \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right]$  
�Ɋւ���Q���`���ƌĂ΂��B�W���s���
�Ώ̂ł��邩��A�K���Ȓ����s�� $P$ ��p���āA
$$
  P^{-1} \Sigma P 
    = \left[\begin{array}{ll} \lambda_1 & 0 \\
                              0         & \lambda_2 \end{array} \right] 
    = \Lambda 
$$
�ƑΊp���\�ł���B(�ڂ����͐��`�㐔�̃e�L�X�g���Q�l�ɂ��ꂽ��)�B������ 
$\lambda_1, \lambda_2$ �͍s�� $\Sigma$ �̌ŗL�l�ł���B���ہA
�W���s�� $\Sigma - \lambda \bI$ �̍s�񎮂� 0 �Ƃ����Q���������F
$$
  \lambda^2 -  (\sig_x ^2 + \sig_y ^2 )\lambda 
    +  \sig_x ^2 \sig_y^2 - \sig_xy ^2 = 0 
$$
����A�Q�� $\lambda_1,\lambda_2$ ���ŗL�l�ł������B�������͂Ƃ��ɌŗL��������
��΂�Ă���B
��̎��ɂ����� $\Sigma$ ��
$\Sigma = P\Lambda P^{-1}$
�Ƃ��ĖړI�֐��̎��ɑ������ƁA
$\sig_z^2 =  \lambda_1 \tilde a ^2  +  \lambda_2 \tilde b ^2 $
�ɓ������B
������ �x�N�g�� 
$ \left[ \begin{array}{c} \tilde{a} \\
                          \tilde{b} \end{array} \right] 
  = P^{-1} 
    \left[ \begin{array}{c} a \\
                            b \end{array} \right]$.
���̌ŗL�l�̐������݂�ƁA�ŗL�������̔��ʎ����Q�̉��͎������ŁA
 $\sig_x ^2 + \sig_y ^2  \ge 0 , \quad
 \sig_x ^2 \sig_y^2 - \sig_{xy}^2 \ge 0$ ���Q���Ƃ��񕉂łƂȂ��Ă���B
���������āA������p���� 
 $\lambda_M = \max ( \lambda_1 , \lambda_2 ) , \quad
 \lambda_m =  \min( \lambda_1 , \lambda_2 ) $ 
�Ƃ�����, 
$
 \lambda_M = \lambda_M \tilde{a}^2 + 
 \lambda_M \tilde{b}^2 
    \ge \lambda_1 \tilde{a}^2 + \lambda_2 \tilde{b}^2 
    \ge \lambda_m \tilde{a}^2 + \lambda_m \tilde{b}^2 
     = \lambda_m 
$
����A���ǁA $z$ �̕��U $\sig_z^2$ �͍ő�l���s�� $\Sigma$ �̍ő�ŗL�l�ƂȂ�A
�ŏ��l�͍ŏ��ŗL�l�ƂȂ�B
���̂悤�ɂ��Ė��̍ő�l�͕��U�����U�s��̍ő�ŗL�l�ł��邱�Ƃ�������B
�܂� $\Sigma = P \Lambda P^{-1}$ ���
�g���[�X�̒l�͕ς�Ȃ��A
$\mbox{tr}(\Lambda) = \mbox{tr}(P\Lambda P)^{-1} = \mbox{tr}(\Lambda)$ �B
���Ȃ킿
$ \sig_x^2 + \sig_y^2  =  \lambda_1 + \lambda_2 $
�Ƃ����֌W��������B���̎�����A���Ƃ̃f�[�^�Ɛ��`�ϊ����ꂽ�f�[�^��
�Q�ɂ́A���U�̍��v�������Ƃ����Ӗ��œ������������ƂƂ炦�邱�Ƃ��ł���B

���ɑ�؂ȃ|�C���g�Ƃ��ẮA����ꂽ�ŗL�l�̑傫�������ł���B���ܑΊp������
���߂̒����s�������x�N�g���̏����������āA�ŗL�l���傫�����̂��珬��������
�ւƂȂ�Ԃ悤�ɂ���B $\lambda_1  \ge \lambda_2 $
���̂悤�ɂ���ƍő�ŗL�l�ɑ΂����ꐬ�������U�̘a  
 $\lambda_1 + \lambda_2$  
�̂����A�ł��傫�ȏ����܂ށB 
 $\dfrac{\lambda_1}{\lambda_1 + \lambda_2}$  
���̒l���傫����Α傫���قǁA��P���������ő������̃f�[�^���k�񂵂Ă���A
��P�����łQ�����f�[�^������ł��Ă��邱�ƂɂȂ�B
���ׂĂ̌ŗL�l�̑��a�̒��łP�̌ŗL�l�̐�߂銄������^���Ƃ�сA
���̒l�̍ő�l�ɑ΂��鐬������P�听���A���̂��̂���Q�听���Ƃ�΂��B
�ő�ŗL�l�ɂ�������ŗL�x�N�g����
  $\left[ \begin{array}{c} a^* \\
                           b^* \end{array} \right]$  
�Ƃ���ƁA���`�ϊ�
 $z =  a^* x + b^* y$  
���A�ϐ� $z$ �̕��U���ł����������Ȃ�悤�ȕϊ��ł���A�Q�����f�[�^ $(x,y)$ ��
�P�����f�[�^ $z$ �Ɋ�^��  $\dfrac{\lambda_1}{\lambda_1 + \lambda_2}$ �ŏk��
������P�听���ł���B


�ϗʂ� $(x,y,z)$ �̂R�ł����Ă��A���̃f�[�^�� $w = ax + by + cz$ �ƂP�����ɏk�񂷂邱�Ƃ��l������B
�R������ԂɌ��_���牄�т钼���������A�����V�������Ƃ��āA��Ԃ̓_�����̎��̏�Ɏˉe���ĕ��ׂ�B
����ɕ��񂾓_�̕��U���Ȃ�ׂ��傫���Ȃ�悤���������߂�B���̂Ƃ����A�R���̑Ώ̍s��͒����s���
�Ίp������A���U�����U�s��ɑ΂���ő�ŗL�l�����̍ő啪�U�ŁA�Ή�����ŗL�x�N�g����
���̕��������肷��̂ł���B����ɑ傫���̏��ɌŗL�l���Ȃ�ׁA��P�听���A��Q�听���Ƃ��Ă����B
���̂悤�ɁA�^����ꂽ�������̃f�[�^���Ȃ�ׂ����Ȃ����̎听���Ő������悤�Ƃ������Ƃ��听�����͂ł���B




{\bf ���D} 

�ϗ� $x, y$ �̕��ρA���U�A�����U��
 $\xb = k,  \yb = l, \sig_x^2 = A , \sig_y^2 = B, \sig_xy = C$
�Ɨ^����ꂽ�Ƃ��A
 $z = ax + by $
�̕��U���傫���Ȃ�悤 $a, b$ ���߂�B
(��)

���U�����U�s���
$\left[ \begin{array}{cc} A & C \\
                          C & B \end{array}\right]$  �B
�ŗL��������
$ \lambda^2 - ( A + B )\lambda + AB - C^2 = 0 $
�ł��邩��A���� $\lambda_1 \ge \lambda_2$ �Ƃ���
$a$ �� $b$ �ɂ��񂷂�A��������
$$\left\{ \begin{array}{ll}
 ( A - \lambda_1 ) a + C b  & = 0 \\
  C a + ( B - \lambda_1 ) b  & = 0 \\
 \end{array} \right. 
$$
�����߁A $a^* = \dfrac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \>
         b^* = \dfrac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$
�Ƃ����A
 $z =  a^* x + b^* y  $
�����U�ő�ƂȂ��\�l�ł���B

