
%\title{ヒストグラム、散布図}


\section{集団の位置尺度}
\noindent
集団の中心位置を表す尺度
\begin{description}
 \item[平均] もっとも多く使われる算術平均であるが，重心を意味する。
数学的に取り扱いやすいし，理論的な側面もきわめて重要であるが，
万能というわけではなく，裾の影響に大きく左右される欠点をもつ。
        $\overline{X} = \dfrac{1}{n} \{ X_1 + X_2 + \cdots + X_n\}
                 = \sum_i X_i /n $
	    データの平均値(average, mean value)とは、データの値の総和を
 個数で割ったものをいい、$\overline{X}$ (エックスバーとよむ)で表す。
 $n$個のデータの総和は$k$個に分けた階級値と度数をつかって表すと，
$X_1 + X_2 + \cdots + X_n$ の計算の代わりに
$x_1 f_1 + x_2 f_2 + \cdots + x_k f_k$ で総和を求める。
\item[中位数（中央値）] 小さいものから大きいものへと，大きさの順に並べて，
ちょうど真ん中に位置する値で，小さい方も大きい方もそれぞれ５０％
ずつとなる値。比較的頑健性をもち，常識にもかなっている。
ただし，データがたくさんであると，大きさの順に並び替えることに
労力を要する。
\item[モード]　度数分布表で求めた度数の最大となっている値をいう。
ヒストグラム（度数多角形）がひとつ山の形を単峰型といい，モードが
中心傾向を表す。一つ山で対称なときにはこれら３つともほぼ同じ値に
なるが，集団の山形に歪み（Ｌ字型は正の歪み，逆Ｌ字型は，負の歪みを
もつという）があれば，これらは異なった値となる。
\end{description}



\section{バラツキの尺度}
バラツキを表すための尺度

\begin{description}
      \item[分散] 各データと平均からのずれ（差）を平方(square)した値の平均で，
	  非負の値である。ゼロとなるのは，全てのデータが同じ値，すなわち
	  まったく変動がない場合である。
	  $$
		    s^2 = s_X^2 = \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2
			          = \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i^2 - (\overline{X})^2
	  $$
      \item[標準偏差] 分散の単位はもとのデータの２乗値となるが，この平方根を
	  とったもので，平均と同じ単位となる。Standard Deviation からＳＤと
	  約されることが多い。
	 $$
		    s = \sqrt{s^2} = \sqrt{s_X^2}
	$$
\item[四分位数]中位数（メディアン）がちょうど１／２となる点であったと
   同様に，４つの２５％ずつに分けた値で，第１四分位数（小さい方から
   ２５％の点），第２（中位数），第３四分位数（７５％の点）といい，
   第３から第２を引いた値を４分位範囲という。
\item[パーセンタイル（百分位数）]；非常に大きな集団で，これを
   １００個のパーセントに分けたものをいう。上位５％点，下位５％点が
   とくに集団の特質や特徴を表すために用いられる。
\end{description}



ヒストグラムと棒グラフ

連続型変量と離散型変量とを区別して、グラフに表します。
連続型とは、精密に測れば測るほど、細かな数値が得られるものに対して、
離散型とは、整数や自然数のみ限られて、その他の値はとらないものと
みなせます。たとえば
身長、体重のような数値は連続型で、子供の人数や起こった回数などは
離散型変量になります。連続量の場合、同じ数値が複数回出てくることは
少ないので、 適当な小区間に分割し、各小区間に含まれるデータの個数を
数え上げてます。重ならないように分けられた小区間と
そこに何個データが含まれるかによって集計します。
 これを「度数分布表」(Frequency Table)という。各小区間を「階級」、各階級（小区間）に入っているデータの個数を「度数（頻度）」という。 度数分布表をグラフにしたものは「ヒストグラム」(histogram)と呼ばれる。 「棒グラフ」と似ているが、棒グラフはデータの数値（個数）を棒の高さで表したものであり、ヒストグラムは各階級の度数（データの個数）を棒の高さで表したものである。 数値にしろ、度数にしろ、いずれも高さで大小をあらわしているに過ぎない。 大きく異なるのは、ヒストグラムは各階級（小区間）に入っている個数であるので、 棒の幅は対応する階級（小区間）の幅に等しくするのが自然であり、 必然的に、隣の階級とは接することになる。
表計算ソフト Excel での度数分布表の作成

度数分布表の形式に集計されたデータであれば、その表をExcelに入力すればよいが、 度数表の形式に集計されていない生データであれば、階級（小区間）の切れ目の端点の 値を指定して、度数分布表を作成しよう。
表計算ソフト Excel でのヒストグラムの作成

表計算ソフト「Excel」のグラフ機能を使って、ヒストグラムを描かせるためには次の手順を行えばよい。
度数が入っている系列を指定して、「棒グラフ」を描かせるように指定する。
棒グラフと指定しているので、当然棒と棒とはくっついていない。
くっついていない棒グラフを描かせた後、どれかの棒の中で右クリックして
「データ系列の書式設定」画面を表示させ
「オプション」タグの「棒の間隔」を０に変更し
「OK」ボタンをクリックする。

\begin{Toi}
5個の数値データ$ 3,5,4,1,7$の平均と分散を計算し、
これをもちいて、つぎの場合の数値データの平均と分散を
計算しなさい。
\begin{description}
\item[(a)]
  $13, 15, 14, 11, 17$
\item[(b)]
  $2.3, 2.5, 2.4, 2.1, 2.7$
\end{description}
\end{Toi}

\begin{Toi}
4個の数の平均は$5$、分散は$2$で、もうひとつの集団の6個の数値の
平均は$7$、分散は$3$であるという。この2つを合わせた10個に対する
平均と分散を計算しなさい。
\end{Toi}

\begin{Toi}
2つの集団があり、ひとつは大きさ$m$個でその平均は$\overline{x}$、分散は$v_x$で、もうひとつの集団の$n$個で、
平均は$\overline{y}$、分散は$v_y$であるという。この2つを合わせた$m+n$個に対する
平均$\overline{z}$と分散$v_z$を計算しなさい。結果は
$\overline{z} = \dfrac{m}{m+n} \overline{x} + \dfrac{n}{m+n} \overline{y}$,
$v_z 
  = \dfrac{m}{m+n} v_x + \dfrac{n}{m+n} v_y 
   + \left(\dfrac{m}{m+n}\right) \left(\dfrac{n}{m+n}\right) 
     (\overline{x} - \overline{y})^2
$
で与えられる。



\end{Toi}

\begin{Toi}
与えられたデータ$X_1,\cdots,X_n$について、これを変換して
平均は５０、分散は１００，（標準偏差は１０）にするには
どうしたら、よいか。これは「ｔスコア（偏差値）」とよばれます。
\end{Toi}


