%

%\title{���Ғl}


\section{�m�����s�Ɗm���ϐ�}

�m�����s
�R�C������
\textbf{�m���ϐ�}�Ƃ�
�����̌���$\Omega$���琔�l�i�����j��Ή����������
��ʂ� $\{ X \leq a \} = 
   \{ \omega \in \Omega \vert X(\omega) \leq a \}$
�ƕ\���C���ꂪ���ۂƂȂ���́B���Ȃ킿
$\{ X \leq a \} \in \cal{F}$�Ƃ��܂��B

�T���̃R�C���𓊂��āC�\�̂ł�������$X$�Ƃ����΁C�e���ʂ�
$H$�i�\�CHead�j�C $T$�i���CTail�j���g���ƁC
$\{X=0\} = \{TTTTT\}$(1�_�W��)�C 
$\{X=1\} = \{HTTTT, THTTT, \cdots, TTTTH\}$(5�_�W��) �C
$\{X=2\} = \{HHTTT, HTHTT, \cdots, TTTHH\}$(10�_�W��) �C
$\{X=3\} = \{HHHTT, HHTHT, \cdots, TTTHH\}$(15�_�W��)
�Ȃ� 
�ƂȂ�܂��B�܂�
$\{X \leq 2\} = \{ X=0\} \cup \{ X=1\} \cup \{ X=2\}$,  
$\{X \leq \sqrt{2}\} = \{ X=0\} \cup \{ X=1\}$, �����
$\{ \sqrt{2} \leq X \leq \dfrac{3}{2}\} = \phi$ (�󎖏�), 
$\{ 0 \leq X \leq 5\} = \Omega$ (�S�̎���),
$ \overline{\{ 3 \leq X \}} = \{  X \leq 2 \}$ (�⎖��)
 �Ȃǂ�
���藧���܂��B����͏W���̕�܊֌W�ŗv�f�������ł��邱��,
�W���̓����A��
�\���Ă��܂��B


\section{�m�����z}
�R�C�������₳������U����J��Ԃ��āA���̎������ʂ𐮗��܂Ƃ߂Ă����ƁA����X�������߂��܂��B���Ƃ��΁C�T���̃R�C���𓊂��āC
�����\���o�������L�^���Ă��܂��B��̂��̂悤�Ȏ����ł́A�m���I�ɕϓ����܂�����A�N����₷���Ƃ���A�N����Ȃ��Ƃ���̑召�ŁA������`�����O���t���L�q���v�Œ��ׂ��x�����z�\�ł��B����ɑ΂��āC���_�I�ɂ��邢�͉��z�I�ɂ��ꂼ�ꂻ�̂��炢�̉\�������邩���v�Z���܂��B���ꂪ�C�R�C�������̊m�����z�ł��B
�R�C�������̕��z�ł́C�\�����ł��邾�����׏グ�āC���Ă͂܂�̎��ۂ̑傫���𑪂�܂��B�܂�m�����v�Z���܂��B���̂Ƃ��ɂ悭�p����T�O���Q���W���ȂǂŁC�ꍇ�̐��������悭�����グ�悤�Ƃ�����̂ł��B��̗�ł����΁C$2^5$�ʂ�̌��ʂ���C�\���P���o�鎖�ۂ�
�T�ʂ肠��̂ŁC$P(X=1) = \frac{5}{2^5}$�ƂȂ�܂��B

\textbf{�a�̕��z�G}�����̃R�C���𓊂���ꍇ�ł́C�e�R�C���̌��ʁi�\���P�C�����[���j���܂Ƃ߂āC�a�����ƁC�\�̏o�������ƂȂ�܂��B��ʂɂ���͘a�̕��z���v�Z���邱�Ƃł��B�Ɨ��Ȋm���ϐ��ɂ��āC
$$P(X_1+X_2 =a) = \sum_k P(X_1 = k) P(X_2 = a-k)$$
�����藧���܂��B
���Ƃ��΁A���������3�񓊂����Ƃ��̑��a�̕��z���l���܂��傤�B
�c(��)�ɂ�2��̘a$X_2$���������ׁA��(�s)�ɂ�3��ڂ̒l$X_1$
�������A
�����̘a���Ƃ����l��\�ɂ��Ă݂܂����B��Ƃ���
$$
\begin{array}{ll}
& P(X_1+X_2 =7) \\
=& \sum_k P(X_1 = k) P(X_2 = 7-k) \\
=& P(X_1 = 1) P(X_2 = 7-1)
                 +P(X_1 = 2) P(X_2 = 7-2) 
                 + \cdots \\
              &  \qquad  + \cdots 
                 +P(X_1 = 6) P(X_2 = 7-6) \\
=& (1/6) (5/36) 
                 +(1/6) (4/36) 
                 +(1/6) (3/36) 
                 +(1/6) (2/36) 
                 +(1/6) (1/36) \\
=& 15/216
\end{array}
$$
�ƂȂ�܂��B�\�̒��ł͎΂߂̒�����``7''�ɂȂ镔����
�����Ă����܂��B

\begin{center}
\begin{tabular}{c|cccccc}
  \backslashbox{$X_2$�̒l(�m��)}  {$X_1$�̒l(�m��)}  &
   1(1/6) & 2(1/6) & 3(1/6) & 4(1/6) & 5(1/6) & 6(1/6) \\ \hline
  2(1/36) &  3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\
  3(2/36)  &  4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\
  4(3/36)  &  5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\
  5(4/36)  &  6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 \\
  6(5/36)  &  7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\
  7(6/36)  &  8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 \\
  8(5/36)  &  9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 \\
  9(4/36)  & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 \\
  10(3/36) & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 \\
  11(2/36) & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 \\
  12(1/36) & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18
\end{tabular}
\end{center}

\textbf{�������z�i�������z�j�G} �Q�ϗ�$(X,Y)$�̌��ʂɂ��āC�ώ���$\{X=a\}\cap \{Y=b\}$ �� $(X,Y)=(a,b)$�ƕ\���C$f_{X,Y}(a,b)=P(X=a,Y=b)$�𓯎����x�Ƃ�т܂��B���ӕ��z�Ƃ�$f_X(a) = \sum_b f_{X,Y}(a,b) , f_Y(b)=\sum_a f_{X,Y}(a,b) $�������܂��B
�s��̕\�`���ŗ^����ꂽ�Q�����̓x�����z�\������ӓx���i�c�v�≡�v�j�����߂����Ƃɑ������܂��B�܂��a�̕��z��
$$P(X_1+X_2 =a) = \sum_{\{(x,y) \vert x+y=a\}} f_{X,Y}(x,y)$$
�Ƃ����Ӗ��ŁC�����Řa$\sum$��$x+y=a$�ƂȂ邷�ׂĂ�$(x,y)$�ɂ킽��a���Ƃ�܂��B�Ō�̍����Ɨ��ł���΁C�m���̐ςɂȂ�܂��B

�ȏ�͗��U�^�m���ϐ��ł����C�A���^�̏ꍇ���قړ��l�ł��B

���U�^�m���ϐ��G
$$P(a \le X \le b) = \sum_{\{k \vert a \le k \le b\}}
                                     P(X=k)$$

�A���^�m���ϐ��G
$$P(a \le X \le b) = \int_{a}^{b}  f_X(x) dx$$
������$F_X(x) =P(X \le x)$�Ƃ����C�������ł���΂����C
���̔����W���i���֐��j�� $f_X(c)= \frac{dF_X (x)}{dx}\vert_{x=c}$ �Ƃ��܂��B



\section{���Ғl}
���ς̒�`���G
$$
E(X) = \left\{ \begin{array}{ll}
                  \sum_i x_i f_X(x_i) & \mbox{���U�^} \\
				  \int_{-\infty}^{\infty} x f_X(x) dx &
				  \mbox{�A���^} \\
				  \end{array} \right.
$$
���U�^ �ł� 
$ E[(X-a)^2] = 
                  \sum_i (x_i-a)^2 f_X(x_i)
                  = \sum_i x_i^2 f_X(x_i)	
				   -2 a \sum_i x_i f_X(x_i) + a^2 $   
�A���^�ł�
$ E[(X-a)^2] =\int_{-\infty}^{\infty} (x-a)^2 f_X(x) dx
                  = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f_X(x) dx 
				  -2 a \int_{-\infty}^{\infty} x f_X(x) dx +a^2 $
�ƂȂ�܂��B

\noindent
���U$V(X)$�̒�`�́C��̎��ŁC$a = E(X)$�Ƃ��������̂ŁC
$$
V(X) = \left\{ \begin{array}{ll}
                  \sum_i x_i^2 f_X(x_i) - \{ E(X) \}^2 
				  & \mbox{���U�^} \\
				  \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f_X(x) dx 
				  - \{ E(X) \}^2 &
				  \mbox{�A���^} \\
				  \end{array} \right.
$$
\noindent
��ʂɂQ�ϗʊm���ϐ�$(X,Y)$�����߂������l�֐��̊m���ϐ�
$h(X,Y)$ �̊��Ғl��
$$
E(h(X,Y)) = \left\{ \begin{array}{ll}
                  \sum_{i}\sum_j h(x_i,y_j) f_{X,Y}(x_i,y_j) 
				  & \mbox{���U�^} \\
				  \int_{-\infty}^{\infty}
				  \!\!\int_{-\infty}^{\infty} h(x,y) f_{X,Y}(x,y) dx dy&
				  \mbox{�A���^} \\
				  \end{array} \right.
$$
�Q�d�ϕ����C�Q�d�a���Ƃ邱�Ƃ������āC��������������m��܂��񂪁C�P�ϗʂ��ʐς̌v�Z�C�Q�ϗʂ��̐ς̌v�Z�����Ă��邾���ł��B
���ς͏d�S�̌v�Z�Ɠ����ł��B�a�̕��U�ɂ́C
$h(x,y)=\{(x+y) - a\}^2$�Ƃ��Čv�Z���܂��B������$a=E(X+Y)$
�͊��ɒ萔�ƂȂ��Ă��邱�Ƃɒ��ӁB



\begin{Toi}
$X$ ������$\mu$, ���U$\sigma^2$�����Ƃ��C
���̒l��$\mu,\sigma^2$�ŕ\���Ȃ����B
\begin{center}
\begin{tabular}{ll}
(1)  $E(3X+2)$   \qquad &
(2) $E(X^2)$ \\
(3)  $E(2 X^2 + 2 X -1)$  \qquad &
(4)  $E[(X -2)^2 ]$
\end{tabular}
\end{center}
\end{Toi}


\begin{Toi}
 ���U�Ɋւ�����̎��𓱂��Ȃ����B
\begin{description}
\item[(1)]
   $V(aX+b) = a^2 V(X)$ ($b$�ɂ͂��Ȃ��j
\item[(2)]$X,Y$ ���Ɨ��Ȃ�΁C
   $V(X-Y) =  V(X) + V(Y) $ (�����ɒ��ӁC���̕��U�ł�
   ���U�̘a�ɂȂ�j
\end{description}
\end{Toi}


\begin{Toi}
���̕\�͗��U�^�m���ϐ��̌������x��\���Ƃ��܂��B
\begin{center}
\begin{tabular}[t]{c|c|ccc} \hline
    \multicolumn{2}{c|} { $y$ �̒l } & 1 & 2 & 3 \\ \hline
   $x$   &  0 &  0.15   &  0.10  & 0.15    \\
    ��   &  1  &  0.10   &  0.0  &  0.10   \\
    �l   &  2  &   0.15  &  0.10  &  0.15   \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
���̂Ƃ��C
\begin{description}
\item[(1)]
   $E(XY) = E(X) E(Y) $ �����藧��,�Ɨ��ł͂Ȃ����Ƃ������B
 \item[(2)]
   $V(X+Y) $ ���v�Z���Ȃ����B
 \end{description}
\end{Toi}

\begin{Toi}
���Ғl�̌v�Z�ŁA�Ƃ��Ɋm���ϐ����񕉐����l$\{ 0,1,2,\cdots,\}$
���Ƃ�ꍇ�A���Ғl�����݂���i��������������j�Ƃ��ɂ�
$$ 
 \begin{array}{ll}
  E[X] & = \sum_{k=0,1,2,\cdots} k P(X=k) \\
       & = P(X \geqq 1) + P(X \geqq 2) + P(X \geqq 3)
           + \cdots \\
       & = \sum_{k= 0, 1,2,\cdots} (1- F_X(k)) \\
 \end{array}
$$
���m���߂�B
������ $F_X(k) = P(X \leq k)$.
\end{Toi}
