
%\title{���w�̊�b����}
%\date{}


%section 1
\section{���̎��}

\begin{itemize}
 \item �@���R��: $ 1,2,3, \cdots, $(0 �͓���Ȃ�)�A �����グ�ɂ�������B
   �����邱�Ƃ͎��R���Ƃ�1��1�Ή������邱�Ƃł��B
   ����: $0, \pm2, \pm4 \cdots$ (2�Ŋ���؂�鐔) �A
   �: $ \pm 1, \pm 3, \pm 5 \cdots$(2�Ŋ���؂�Ȃ���)
 \item �@�����Ƃ͎��R���̏W�܂�Ƀ[���Ǝ��R���ɕ���������
   ���̐��Ƃ����킹�����́B���̐�����$ 1,2,3, \cdots, $�Ŏ��R���Ɠ����W�܂�B
   �񕉂̐���:$ 0, -1, -2, -3, \cdots, $
 \item �@�����̌`�ŕ\���鐔��L�����Ƃ����܂��B�����͋�̓I�Ɋ���Z�����āA�����Ƃ���
   �\�����Ƃ������B�����ǂ����̌v�Z�ł͗L�����������v�w�ŏd�v�ɂȂ�܂��B�d��ł̌v�Z�A�Ƃ��ɐς�2��̌v�Z�ɂ�
   ���オ��A�������ɂ͒��ӂ��܂��B�܂��w���\�����o���Ă����܂��傤�B
 \item �@�������Ƃ͕����̌`�ŕ\���Ȃ����������܂��B���Ƃ��� $\sqrt{2}, \dfrac{\sqrt{5} + 1}{2}$, 
   2���������A3���������Ȃǂ̉��ƂȂ���̂ł��B����ɂ���ȊO�ɂ� 
   $\pi = 3.1415926538\cdots $, $e= 2.71828\cdots $�@������܂����A������
   �Ƃ��ɒ��z���Ƃ�΂�A�������ɂ��������ł͕\�����Ƃ��ł��܂���B�L�����͎��R���Ɛ�����
   �܂ނ��̂ł����A����ɖ��������������W�܂�������Ƃ��܂��B�������ɂ́A���̎����S�̂�������̂�
   ���܂��B�����ȊO�̐��͐������̏�ɂ͑��݂��Ă��Ȃ����̂Ɖ�������܂��B����������̘A����������
   ���܂��B
 \item �@���f���Ƃ͐V���ɋ����P�ʂ𓱓����Ď����̐��E���g���������̂ł��B���̐��̕��������������Ƃ�сA
   �����Ə������Ƃ̘a�𕡑f���ƒ�߂܂��B
    
\end{itemize}




\begin{Toi}
  ���̂������ɂ͂ǂ�Ȃ��Ƃ����邩�A�����������Ă݂Ă��������B
  �܂����Z�ɂ͂ǂ��������Ƃ�����܂����H
\end{Toi}

\begin{Toi}
  �d���p���Čv�Z����Ƃ��ɕ\������鐔����̓I�ɂ������
  �����Ă݂Ă��������B
  ���Ƃ��� $2.3E2 = 2.3*10^2 = 230, 1.5E-2 = 1.5*10^{-2} = 1.5/100 = 0.015$�ł��B\\ 
  \hspace{5em} $ (1) \quad 3.14E3  \hspace{2em} (2) \quad 5.0E10  \hspace{2em} (3) \quad 6.723E-3 $
\end{Toi}


\begin{Toi}
  ���m���̊܂ގ��ɂ��āA�������̉��Ɛ��̊֌W�͂ǂ�Ȃ��Ƃ��m���Ă��܂����H
\end{Toi}

\begin{Toi}
  �~�����̃p�C($\pi$)�⎩�R�ΐ��̒�Ɏg����C�[�i$e$)��
  ��������$\pi = 3.1415926538\cdots $, $e= 2.71828\cdots $�ƂȂ�܂����A
  �ǂ�����Čv�Z����̂��l���Ă݂Ă��������B
\end{Toi}



% section 2
\section{����}


���R����1��1�̑Ή�
\[ 
\begin{array}{clllllll}
 \hline\hline 
  �ԍ� & 1   & 2 & 3 & 4 &  \cdots & k & \cdots \\
  \hline\hline 
  ��   & a_1 & a_2 &  a_3 &  a_4 &  \cdots &  a_k & \cdots \\ 
 \hline 
  ��   & x^{(1)} &  x^{(2)} &  x^{(3)} &  x^{(4)} &  \cdots &  x^{(k)} &  \cdots \\
 \hline 
\end{array}
\]
�Y�����i�ԍ��j��2���Ă������
    $(i,j)$ �ɑΉ����� $a(i,j), a_{(i,j)}, a_{ij}$ 
(�J�b�R�������Ȃ���΃J���}���ȗ����邱�Ƃ�����)
�ɂ��Ă�2�d�a $\sum_i \sum_j a(i,j)$ ������������A
�Q�𓯎��ɂ܂Ƃ߁A�ЂƂ�$\sum_{i,j} a(i,j)$�ŕ\�����܂��B
�L���̘a�ł���΁A���������ւ��Ă������ł�����A���ׂē����l��
�Ȃ�܂��B������$\sum_i \sum_j a(i,j)$��$\sum_j \sum_i a(i,j)$�̕\���ł�
�O�҂ɂ��ẮA���$j$�ő����Z�����Ă���$i$�ŉ����A���̏����t���̂���҂ł��B
�L���ł͂Ȃ��ꍇ�ɂ́A��ʂɂ͏����̌�������ʂɂ͐��藧���܂��񂩂�A
���G�ɂȂ�܂����A�����\�ƂȂ�ꍇ������܂��B






%section 3
\section{�x�N�g���ƍs��}
�����𒷕��`�ɂȂ�ׂăJ�b�R�ł����������́B�����s�Ƃ�сA�c���Ƃ�ԁB
����Ή������邽�߂ɁA�Y�����i�C���f�b�N�X�j��
�g��$(i,j)$�ł���A���̑Ή��������$a_{i,j}$�𐬕����邢�͗v�f�Ƃ�ԁB�A�s�Ɨ�
    \[ (i,j)  \Rightarrow  a_{ij} \]

�c(��j�x�N�g���Ɖ�(�s�j�x�N�g��:
�R�s�P��̍s��ƂP�s�R��̍s��Ƃ݂Ȃ���
\[  \begin{pmatrix}
      a \\ b \\ c \\
    \end{pmatrix}
    \qquad
    \begin{array}{l}
    \left( a, b, c \right) \\
    \end{array}
\]


\noindent
�����s��(3�s3��)
\[
  \begin{pmatrix}
        a_1 & a_2 & a_3 \\
        b_1 & b_2 & b_3 \\
        c_1 & c_2 & c_3
      \end{pmatrix}
\] 
\noindent
�����s��
\[
  A = \begin{pmatrix}
        a_{11} & a_{12} & \cdots & \cdots  \\
        a_{21} & a_{22} & \cdots & \cdots  \\
        \cdots & \cdots & \cdots & \cdots  \\
        a_{k1} & a_{k2} & \cdots & \cdots  \\
        \cdots & \cdots & \cdots & \cdots  \\
      \end{pmatrix}
\] 

\noindent
�s��̉��Z: (1)�s��̘a $A+B$, (2)�s��̃X�J���[�{ $cA$
($c$�X�J���[)�B
�����ŃX�J���[�Ƃ̓x�N�g���ɑ΂���T�O�ŁA�����Ƃ��čl���Ă悢�B
�܂�
�s��̐ς̌v�Z�i���ρj�G$AB$, $BA$�Ȃǂ��悭���K���Ă����Ă��������B


%section 4
\section{�a�̋L��}
�����Z�������ʍ����K���I�ɕ\���ł���Ƃ��ɂ́A
�����Z��\���L���i�V�O�}�Ƃ�сj $\sum $ �ŏ����\���܂��B
�Ƃ��ɔ͈͂��w�肵�Ȃ��Ă�
�����ł���΁A�a���Ƃ�C���f�b�N�X�͈̔͂��ȗ����邱�Ƃ�����܂��B
�܂��C���f�b�N�X
���̂��̂��ȗ����Ă��܂����Ƃ��悭����܂��B

�C���f�b�N�X�ϐ� $k(=1, 2,  3, \cdots , N)$ �ɑΉ������$k$���� $a_k$ �Ȃ��
\[
  \sum_{k=1}^{N} a_k = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + \cdots + a_k + \cdots + a_N
\] 
�ƕ\���܂��B
�a�̌v�Z�ɂ͂��낢��g���ꍇ������A�����Ă����Ƃ�������܂��B
\[
   \sum_{j} x^{(j)} = x^{(1)} + x^{(2)} + x^{(3)} + x^{(4)} 
   + \cdots + x^{(k)} + \cdots 
\]
\[ 
  \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^2 a_{ij} =  \left\{ a_{11} + a_{12} \right\}
                    + \left\{ a_{21} + a_{22} \right\}
                    + \left\{ a_{31} + a_{32} \right\}
\] 
\[
   \sum_{i,j} a_{ij} = 
    \begin{array}[t]{l}
      \quad a_{11} + a_{12} + a_{13} + a_{14} + \cdots \\ 
      + a_{21} + a_{22} + a_{23} + a_{24} + \cdots \\ 
      + a_{31} + a_{32} + a_{33} + a_{34} + \cdots \\ 
      + \cdots
    \end{array}
\]
\[
   \sum_{i \leq j} a_{ij} = 
    \begin{array}[t]{l}
      \quad a_{11} + a_{12} + a_{13} + a_{14} + \cdots \\ 
      \phantom{+ a_{21}} + a_{22} + a_{23} + a_{24} + \cdots \\ 
      \phantom{+ a_{31} + a_{32}} + a_{33} + a_{34} + \cdots \\ 
      \phantom{+ a_{41} + a_{42} + a_{43}} + a_{44} + \cdots \\ 
    \end{array}
\]
�Ƃ����Ӗ���\���Ă��܂��B�͈͂����炩���ߕ������Ă���ꍇ�ɂ͏ȗ���
���邱�Ƃ������ł��B�C���f�b�N�X�ϐ��ɂ͎��R�����悭�p�����܂��B

\noindent
\underline{�a�����߂�v�Z��}
\[
\begin{array}{l}
  \sum_{k=1}^n k = 1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2} \\[2ex] 
  \sum_{k=1}^n c = c + c + \cdots + c = n c \quad
   \text{�i\mbox{ n} �̒萔�a�j} \\[2ex]
  \sum_{k=1}^n (-1)^{(k-1)}/k = 
  1 - 1/2 + 1/3 + \cdots + (\pm 1)^n/n \\[2ex]
  \sum_{k=1}^n (2k-1)  = 1 + 3 + 5 + \cdots + (2n-1) = n^2 \\[2ex] 
  \sum_{k=1}^n k^2 = 1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}
  \quad \text{�i2��a�̌����j} \\[2ex] 
  \sum_{k=1}^n k(k+1) 
  = 1\times 2 + 2\times 3 + \cdots + n\times (n+1) 
  = \dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}
\end{array}
\] 


\begin{Toi}
���̐���̘a���V�O�}�ɂ��\�����Ȃ����B
\begin{enumerate}
  \item $a_1 + a_3 + a_5 + \cdots+ a_{31}$
  \item $\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots + \frac{1}{n^2} +\cdots $
  \item $\frac{1}{1} + (\frac{2}{1} + \frac{2}{2}) + (\frac{3}{1} + \frac{3}{2} + \frac{3}{3})
 + (\frac{4}{1} + \frac{4}{2} + \frac{4}{3} + \frac{4}{4}) + \cdots $ 
\end{enumerate}
\end{Toi}


\begin{Toi}
 �i�ς�3�j�e����3�̐ς̂Ƃ��A$\sum_{k=1}^n k(k+1)(k+2)$���ǂ��������ɂ܂Ƃ߂��邩
  �l���Ȃ����B�����Ď��ۂ������ɂ��Ċm���߂Ă݂Ȃ����B
\end{Toi}
\begin{Toi}
 �i3��a�̌v�Z�j$\sum_{k=1}^n k^2$���A��̖₢�œ���ꂽ���ʂ��������āA���߂Ă݂Ȃ����B
\end{Toi}
\begin{Toi}
  �i�O�p�^�̘a�j���̐���$n$ ���^����ꂽ�Ƃ��A
$\sum_{k=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} a_{kj}$ �����ꂼ��̍��ŏ������ׂĂ݂܂��傤�B
  ���̘a�̂Ƃ���̏������͂��߁A����Ƃ��Ă���A�s�ŉ����鏇�ł����A���̏������t�ɂ���
  �͂��߂͍s�łƂ�A���Ƃ����������邱�Ƃɂ���ƁA�V�O�}��p����Ƃǂ���������
  �Ȃ�܂����H �����
  $ \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=i}^{n} a_{ij} = \sum_{1\le i \le j \le n} a_{ij} $ �Ə������Ƃɂ��܂��B�C���f�b�N�X$j$�̎n�܂肪$i$ �ł��邱�Ƃɒ��ӂ��܂��B 
  �܂�$ \sum_{1\le i < j \le n} a_{ij} $ �͂ǂ��Ȃ�܂����H�@$i$ $j$ �̊֌W�ɂ�
  �������܂܂�Ă��܂���B
�@�����$\sum_{1 \le i \le j \le k \le n} a_{ijk}$ ���R�̘a�ŕ\���Ă݂܂��傤�B�@%�󔒍s

\noindent
�i�����j�Q�̏ꍇ���������ׂ�΁A�Ӗ��������ł���͂��ł��B
\[
  \begin{array}[t]{l}
   \sum_{1\le i \le j \le n} a_{ij}  
   = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=i}^{n} a_{ij} \\
   = \sum_{i=1}^{n} (a_{ii} + a_{i(i+1)} + a_{i(i+2)} + \cdots + a_{in}) \\
   =
    \begin{array}[t]{l}
      \quad a_{11} + a_{12} + a_{13} + a_{14} + \cdots + a_{1n}\\ 
      \phantom{\quad a_{11}} + a_{22} + a_{23} + a_{24} + \cdots + a_{2n}\\ 
      \phantom{\quad a_{11} + a_{22}} + a_{33} + a_{34} + \cdots + a_{3n}\\
      \phantom{\quad a_{11} + a_{22} + a_{33} + a_{34} + \cdots +} \vdots \\
      \phantom{\quad a_{11} + a_{22} + a_{33} + a_{34} + \cdots} + a_{nn}
    \end{array} \\
   = \sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{j} a_{ij} 
   = \sum_{j=1}^{n} (a_{1j} + a_{2j} + a_{3j} + \cdots + a_{jj}) \\
   =
    \begin{array}[t]{l}
      \quad a_{11} \\ 
      \quad + \, a_{12} + a_{22} \\ 
      \quad + \, a_{13} + a_{23} + a_{33} \\
      \quad \vdots \\
      \quad + \, a_{1n} + a_{2n} + a_{3n} + a_{3n} + \cdots + a_{nn} \\
    \end{array}
  \end{array}
\]
\end{Toi}

\begin{Toi}
���̐���$n$�ɑ΂��āA���̐���̘a�����߂Ȃ����B�B
\begin{enumerate}
  \item $\sum_{1 \le i \le j \le n} 1$
  \item $\sum_{1 \le i \le j \le n} (i+j) $
  \item $\sum_{1 \le i \le j \le k \le n} 1$
  \item $\sum_{1 \le i \le j \le k \le n} (i+j+k) $
\end{enumerate}
\end{Toi}

%\begin{center}
%  \input{figures/a11.wtc}
%\end{center}

%section 5
\section{�Ɍ��A����}
����̘a�Ɋւ��āA���̐����ǂ�ǂ�傫�����Ă������󋵂��l���Ă݂܂��B
�L���ŏI���̂ł͂Ȃ��A�����ɑ����đ����̍���������������Ƃ����܂��B
�������̘a�������v�Z���Ă������Ƃ��A�����ƂƂ��ɑ������邢�͌������Ă���
�X���������A������̒l�ɋ߂Â��Ȃ�΁A���̋Ɍ��l�������̘a�Ƃ����܂��B
�܂�A�����a�̋Ɍ��l�Ƃ���
$$ 
   \lim_{N \rightarrow \infty} \sum_{n=1}^N a_n 
  = \lim_{N \rightarrow \infty} S_N 
  = \sum_{n=1}^{\infty} a_n = s
$$
�ƕ\���܂��B
��������ʍ����[���ɋ߂Â��Ă��Ă��A�a�����i�L���a�̋Ɍ��l�����݂���j�Ƃ�
����܂���B���Ƃ���$a_n = 1/n$ �Ȃǂ͂��̗�ł��B������������Ƒ����[����
�Ȃ�悤�ȍ��łȂ���΁A�a�������܂���B
�܂�
�����Ŏ�������(convergent)�A�܂�
$S_n \rightarrow s (n \rightarrow \infty )$
�ł��邱�Ƃ�
��Βl�ŕ\����鋗�� $| S_n - s |$��$n$�̑����Ƃ��������A�[���ɋ߂Â�����
�ł��B�L���ł�$\lim_{n \rightarrow \infty } S_n = s $�ƕ\���܂��B





%section 6
\section{�ΐ��A�w���֐�}
�m���ⓝ�v�ł́A�R�C�������A�T�C�R���U��𑽐���J��Ԃ����ꍇ���悭�l���܂��B
�ǂ�ǂ�ƌJ��Ԃ����𑽂����Ă����̂ŁA����̋Ɍ��𒲂ׂ邱�Ƃ��ƂĂ��d�v��
��{�����ƂȂ�܂��B���̂Ƃ��ɕ\���֐����A�ΐ��֐���w���֐��ł��B
�T�v�����ŏq�ׂĂ݂܂��傤�B



\noindent
\textbf{�w���֐�:}
�u�ׂ��v�Ƃ͏�ς̂��ƂŁA���̐�$a>0$ ��$m$�悷��Ƃ́A$a^m = a a \cdots a$ ��
���炩�� $a^m a^n = a^{m+n}$�Ȃǂ����藧��
$m$���w���Ƃ�сA���̐������w���@���Ƃ����܂��B$m$�͎��R��������
�Ȃ����Ƃł��悭�āA��ʂɐ����ł����Ă��@�������藧���A�����
�����A�����ɂ��Ă��g�����Ē�`����܂��B

���Ƃ��Η����̌v�Z�ł́A������ $a$ �~����A�����̗������e���Ԃ��Ƃ�
$r_n$�ł���΁A$n$������ɂ�$a(1+r_n)^n$�ƂȂ�܂��B
���������̒l$r_n = r/n$�ł���A$n$��傫������Ɓi�����̌v�Z���Ԃ�
�ׂ������Ă������Ɓj�A$ a \lim_n (1+r_n)^n$ ���l���邱�Ƃł��B��{�I�ȍ���$r=1$�Ƃ�����
$\lim_n (1+\dfrac{1}{n})^n$�ŁA����͏����Â������A
���l�R�𒴂��邱�Ƃ͂Ȃ��B���̋Ɍ��l�� $e = 2.71828\cdots $�ƕ\���܂��B
��ʂ�$\lim_n (1+r_n)^n = e^r = \exp r$�Ƃ��\���܂��B
����$r$��ω��������l��������$y= \exp x, x>0$���w���֐���
��΂����̂ł��B��̏q�ׂ�$a^m$�̌`��$e^x$�ƂȂ��Ă��܂��B


\begin{figure}
 \hspace{5em}
 \includegraphics[width=30em,height=8em,keepaspectratio]
 {figures/sisu_gr2.eps}
 \includegraphics[width=30em,height=8em,keepaspectratio]
 {figures/sisu_gr1.eps}
 \caption{�w���֐�(���̂P) $y = \exp(x)$}
 \label{fig1}
\end{figure}


\noindent
\textbf{�ΐ��֐�:}
��ŏq�ׂ��w���֐��́A�ׂ�����ׂ������邱�Ƃŕ\�ꂽ�֐��ł������A
�ΐ��֐��́A�w���֐��̋t�֐��Ƃ��Ē�`����܂��B�傫�Ȑ����v�Z����Ƃ���
�����ւ�d�v�Ȗ��������܂��B�v�Z�@���\���ɔ��B���Ă��Ȃ�����ɂ�
�ΐ��\�Ƃ�΂����̂�p���āA�傫�Ȑ��̌v�Z�����Ă��܂����B

�^����ꂽ�w���֐��ɑ΂��āA���̋t�̑Ή���\��
$$y=e^x= \exp x \quad \leftrightarrow \quad x = \log y$$ ���̂ł��B
�Ɨ��ϐ�$x$ ����]���ϐ�$y$ �̌`�ŏ����΁A$y = \log x $ �ƕ\���܂��B����͓d��Ȃǂł�
$y = Ln(x)$ �ƃL�[���͂��܂��B���p��̌v�Z�ɂ�$e$�̑����
$10$��p���āA$ y= Log(x)$�ƃL�[���͂��܂��B�����ł͏ȗ����Ă��܂���
�ΐ��̒�i�Ă��j��$e$�i�l�C�s�A���Ƃ���΂��j�̏ꍇ�A�܂�
���R�ΐ��̏ꍇ�ƈ���͒ꂪ$10$�̏ꍇ�ł̏�p�ΐ��̂��̂ł��B
���p��̌v�Z�ɂ́A��p�ΐ����֗��ł����A���_�̓W�J�ɂ�
���R�ΐ��̂ق����\�����ȒP�ɂȂ�Ƃ��������ł��B�ǂ�����g���Ă�
�{���͕ς��܂���B


\begin{figure}
 \hspace{5em}
 \includegraphics[width=30em,height=8em,keepaspectratio]
 {figures/sisuu2_gr1.eps}
 \includegraphics[width=30em,height=8em,keepaspectratio]
 {figures/sisuu2_gr2.eps}
 \caption{�w���֐�(���̂Q) $y = \exp(x^2)$ �� $y= \exp(-x^2)$}
 \label{fig2}
\end{figure}




\section{�W��}
�����܂������w�I�ȑΏۂ̏W�܂肠�邢�͏W�c��
{\bf �W��}(set)�Ƃ�сC���̏W�����\��������̑Ώۂ�
�W���̗v�f(element)���邢�́A���Ƃ����D
��ʂɁC�W���͑啶�������� $A,B$ �Ȃǂƕ\���A
���̗v�f�͏�����$x,y$�Ȃǂ���������B����v�f$x$��
�W��$A$�ɑ�����(belong)���ǂ����ɂ���Ē�߂��Ă���B
����������Ȃ��
$x \in  A$ 
�ƕ\���D�܂��C�t�ɁCA �̗v�f�łȂ��Ƃ��� 
$x \ni  A$ 
�ƕ\���D 

�v�f����ׁA���ʂł����邱�Ƃ�
$\{a,b,c,d,e\}$ �� $\{x_1,x_2,x_3,\cdots \}$�ƕ\������,
���邢�́o�v�f|�����p�̌`���������āA
$\{x_i |  i=1,2,3,\cdots \}$��
$\{x | a < x \leqq b\}$�i�܂�����̔��J���$(a,b]$�j
�Ȃǂ̕\��������������B 

�Ƃ��ɏW���̒��őS������ɑ�����v�f�������Ȃ��ꍇ�ɂ�
{\bf ��W��}(empty set)�Ƃ�сA$\emptyset $�ŕ\���B
2�̏W���ɂ�����
$ \forall x \in A \Rightarrow x \in B$
�����藧�Ƃ��A$A \subset B$�ŕ\���B$A \subseteq B$�������Ӗ���
���̂Ƃ��A$A$��$B$��{\bf �����W��}�Ƃ����B
$A = B$�Ƃ́A���ꂼ��̕����W���ł���Ƃ��������B
�Ƃ��ɐ^�̕����W���Ƃ�
$ A \subset B$����$A \ne B$�̂Ƃ��ł���A
$A \subsetneq B$�ŕ\���B

���i�v�f�j�̌����L�������܂܂�Ȃ��Ƃ���L���W���A
�����łȂ��ꍇ�A���R���̑S�̂Ƃ��A�����̑S�͖̂����W����
�����B

\noindent
{\bf �a�W���ƐϏW��} ���Ɛ��̂������ɑ����Z������Z������悤�ɁA�W���ƏW���̂������ɂ����Z���l����B

$$\mbox{�a�W��}: \quad A \cup B = \{ x \mid x \in A \, \mbox{or} \, x \in B \} $$
$$\mbox{�ρi���ʁj�W��}: \quad A \cap B = A B = \{ x \mid x \in A \, \mbox{and} \, x \in B \} $$
$\cap$���ȗ����邱�Ƃ�����B���̊|���Z�ł������͏ȗ����Ă���B

�ϏW������W���̂Ƃ��A$A\cap B= AB =  \emptyset $�ɂ�
{\bf �݂��ɑf}�A���邢�͋��ʕ������Ȃ��A�����������Ȃ��ȂǂƂ����B
{\bf ���W��}�Ƃ�$A\setminus B =  \{ x \mid x \in A \, \mbox{and} \, x \notin B \} $
���ܑΏۂƂ�S�̂̏W����$\Omega $(�I���K)�Ƃ���Ƃ�,
���̑S�̏W��$\Omega$ ����$A$�����������W���A$\Omega \setminus A$��
$A$��{\bf ��W��}(complement)�Ƃ����A�S�̏W���𖾎�������
$A^c$�� $\overline{A}$�Ƃ����L������������B


�����@���ƌ����@���F���Z�̏����������邱�Ƃł������ꍇ�ɂ��̖@����
���藧�Ƃ����B
$A \cup B = B \cup A$ �Ȃǂ� 
$(A \cup B)\cup C = A \cup (B\cup C)$�ȂǁB����������
�P�ɃJ�b�R����������$A \cup B\cup C $�ƕ\���Ă����Ȃ��Ƃ������Ƃ�
���̕\�����Ӗ��������ƂɂȂ�B
����Ĉ�ʂɑ����̂΂����ɂ��Ă�
$$
\begin{array}{l}
  \mbox{�a�W��}: \quad 
   \bigcup_{i=1}^{n} A_i  
   = \bigcup_i A_i
   = A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n, \\[2ex]
  \mbox{�ϏW��}: \quad 
   \bigcap_{i=1}^{n} A_i  
   = \bigcap_i A_i = A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n.
\end{array}
$$
�ƕ\���B
���z�@���F�R�̏W���ɑ΂��āA�a�Ɛς̏����ɂ��Č��������
�ǂ��Ȃ邩�Ƃ����֌W���������B������݂�Ζ��炩�Ȃ悤��
�ʏ�̐��̉��Z$+,\times $���W���̘a�A�ςɑΉ����Ă���B
$$A \cup (B \cap C) = (A\cup B) \cap (A\cup C),\quad 
A \cap (B \cup C) = (A\cap B) \cup (A\cap C)$$

\noindent
{\bf �h�����K��(de Morgan)�̖@��}: �a�ƍ��A���邢�͐ςƍ��̂������̕��z�@����
����킷���́A
$$
\overline{A\cup B} = \overline{A }\cap \overline{B}, \qquad
\overline{A\cap B} = \overline{A }\cup \overline{B}.
$$
��ʂ�$n$�̏W��$A_i, i=1,2,\cdots,n$�ɂ��Ă����l��
$$
\overline{\bigcup_i A_i} = \bigcap_i \overline{A_i}, \qquad
\overline{\bigcap_i A_i} = \bigcup_i \overline{A_i}.
$$


\noindent
�Q�̏W���̒���:
���ꂼ��̏W������Ƃ�������鏇���̂����S�̂���Ȃ�
�W����{\bf ����}�Ƃ����A$A \times B$�ŕ\���B
$A \times B = \{ (a,b) \mid a \in A, b \in B\}$
�|���Z�̋L���������Ă��邪�A���̓��e�ɂ͒��ӂ�����B
����$A=\{ 1,2,3,4,5,6\}$�ł���΁A$A\times A $��
36�̗v�f������$(i,j); i,j=1,2,\cdots,6$����Ȃ�W����
�ƂȂ�B����̓T�C�R����2�������Ƃ��ɏo�邷�ׂĂ̖ڂ̑g��
�\����񋓂������̂ƂȂ�B





�W�����A�ׂ��W���F
�W���̏W���A�܂茳�i�v�f�j���܂��W���ƂȂ��Ă�����̂�
�W����(a family of sets)�Ƃ����B�Ƃ���{\bf �ׂ��W��}(power set)�Ƃ�
�L���ŏW��$A$�̕����W���S��$2^A$�ŕ\���B
���Ƃ���$A=\{2,4,5\}$��3��
�L���W���Ȃ��
$2^A=\{ \emptyset , \{2 \}, \{4 \}, \{5 \},
\{2,4 \}, \{2,5 \}, \{4,5 \}, \{2,4,5 \}  \}$��$2^3=8$��
�W���ƂȂ�B 


��Ɍ��W���A���Ɍ��W���F�����̏W�����ɂ��Đς�a���Ƃ���
�̊T�O�ł���B���ɑ΂���W���ł������悤�ȊT�O���A�W���̖������
���Ă���`����Ă���B����͊m���̒�`������Ƃ��ɂ͏d�v�ȓ�����
����B






\section{�ʑ�}
�ʑ�(map,mapping)�̒�`��
�Q�̏W��$A,B$�ɂ����Ĉ�̗v�f$x\in A$���瑼�̈��
$y \in B$�ւ̑Ή���
����Ƃ��A�����$f$�ƕ\���A
$ f : A \longrightarrow B $
�܂�$y =f(x), x \in A, y \in B$�Ƃ����B

��(image)�Ƌt��(inverse image) : �ʑ�$f$�ŁA$b=f(a)$�̂Ƃ��A
$b$��$a$�̑��Ƃ����A$a$��$b$�̌����Ƃ����B�W���ɂ���
���镔���W��$A_1$�ŁA$A_1 \subset A$�̂Ƃ��A 
$f(A_1) = \{ f(a) \mid a \in A_1\}$��$A_1$�̑��Ƃ����A
���镔���W��$B_1$�ŁA$B_1 \subset B$�̂Ƃ��A 
$f^{-1}(B_1) = \{ a \mid f(a) \in B_1\}$��$B_1$�̋t���Ƃ����B



\begin{FRAME}
{\bf �藝} �ʑ� $f : A \longrightarrow B$ �ł��̏W���Ԃ̊֌W�������藧��
( ������ $A_i \subset A, B_i \subset B, i =1,2$ ).
\begin{tabular}{ll}
  (1)  $f(A_1 \cup A_2) = f(A_1) \cup f(A_2) $
  & (2) $f(A_1 \cap A_2) \subset  f(A_1) \cap f(A_2) $ \quad (�����W���ƂȂ�) \\ 
  (3) $f^{-1}(B_1 \cup B_2) = f^{-1}(B_1) \cup f^{-1}(B_2) $
  & (4) $f^{-1}(B_1 \cap B_2) = f^{-1}(B_1) \cap f^{-1}(B_2) $ \\ 
  (5) $A_1 \subset f^{-1}(f(A_1))$ \quad (�����W���ƂȂ�)
  & (6) $f(f^{-1}(B_1)) \subset B_1$ \quad (�����W���ƂȂ�)
\end{tabular}
\end{FRAME}
�Ȃ��Ȃ�
(2)�ɂ��Ă�
$$
\begin{array}{ll}
     & \{b \in B \mid b = f(a), \exists a \in A_1 \cap A_2 \} \\ 
  \subset 
     & \{b \in B \mid (b = f(a_1), \exists a_1 \in A_1) 
  \, {\rm and} \, (b = f(a_2), \exists a_2 \in A_2) \}
\end{array}
$$
�ł��邩��B

\begin{Toi}
���Ƃ��Ύ������2���֐�$f(x) = x^2$�ɂ�����
��̗�ɂȂ�W���������Ă݂�B
�����̂ЂƂɂ͂�������A���̗���e���l���Ă݂�B$A_1 = [-3,1], A_2 = [-1,2], B_1=[-1,1]$
\end{Toi}

\vspace{2ex}
�ʑ��Ƃ��ĂƂ��Ɏ����̏W�����l����ɂ͊֐��Ƃ�Ԃ��Ƃ�
�ӂ��ł���A�֐��̒�߂��Ă���͈͂�Ƃ蓾��l�͈̔͂�
��`��(domain)�A �l��(range)�Ƃ�ԁB
�܂�2�̊֐��̍����֐�$f\circ g(x) = f(g(x))$�Ƃ�
�t�֐�$f^{-1}$�A�ΐ��֐��̋t�֐��Ƃ��Ďw���֐��A�w���֐��̋t�֐��Ƃ���
�ΐ��֐��A$f(x) = x^2 \, (x \geq 0)$�̋t�֐��Ƃ���
$f^{-1}(x)= \sqrt{x}\, (x \geq 0)$����`�����B
�t�O�p�֐��͎O�p�֐��̋t�֐��ł���B




\vspace{2ex}



\section{�������̊J��}


���[�g�̌v�Z�l����v�Z�ŋ��߂܂��傤�B�d�삪�Ȃ��ƌv�Z�ł��Ȃ����Ƃ�
����܂���B���̂悤�ɋ��߂��܂��B�m���Ă������ق����悢�ł��B

���Ƃ��΁A$\sqrt{2} = 1.4142213562$ �Ɠd��ł͏o�Ă��܂����A
���邢�͏����~����ƁA$1.4142135623730950488$ ���炢�̓p�\�R���ł�
�łĂ��܂��B
�������@�B�ɗ���ł͂Ȃ��A���R���l���邱�Ƃ��ƂĂ���؂Ȃ��ƂȂ̂ł��B

���񂽂�Ȃ��̂���A�n�߂܂��B
$256 =16^2$ �ł�����A������l���Ă݂܂��B�菇�����Ă���̗��R��
�q�ׂ܂��傤�B

(1) �P�̈ʂ���2���ÂɎd�؂������܂��B$2$ �� $56$ �ɕ�����܂��B
(2) ���[����͂��߂ď����ɐi�߂܂��B�������� $2$ ���z���Ȃ��ő�̎��R����
���߂܂��B����� $1$�ł��B $2$�ł���΁A$4$�ƂȂ�A$2$���z���Ă��܂��܂��B
���̍ő�̐����c�ɏ����܂��B
$$
 \begin{array}{ll}
        &  \hspace{3mm} 1     \\ 
     1  & \sqrt{2\hspace{2mm} 56} \\ 
     1  &  \hspace{3mm}  1       \\ 
    \overline{�@} & \overline{�@�@�@�@}    \\[-2ex]
    2   &  \hspace{3mm} 1  \hspace{3mm} 56   \\  
\end{array}
$$
(3)
����
$
  \begin{array}[t]{lll}
      &     & 2 \hspace{1.2mm} x \\ [-1.0ex]
      & \times & \hspace{3mm}  x \\
      \hline 
      &    & \hspace{3mm}  y   
  \end{array}
$ 
�̊|���Z�ŁA����  $ y$ �� $156$���z���Ȃ��� $x$ ���l���܂��B
����� $ x= 6 $ �Ƌ��߂���ł��傤�B
$ 26 \times 6 = 156 $ �ƂȂ�܂�����A������E���ɏ����A
���̒l��������Z�����āA������ $0$ �ƂȂ�A����ŏI���ł��B

$$
 \begin{array}{ll}
                    & \hspace{3mm} 1  \hspace{3mm} 6   \\ 
     1\hspace{2mm}  & \sqrt{2\hspace{2mm} 56} \\ 
     1\hspace{2mm}  & \hspace{3mm}  1       \\ 
    \overline{�@}   & \overline{�@�@�@�@}    \\[-2ex]
     26             & \hspace{3mm} 1  \hspace{3mm} 56 \\
  \hspace{2mm} 6    & \hspace{3mm} 1  \hspace{3mm} 56 \\  
                    & \overline{�@�@�@�@}   \\[-2ex] 
                    & \hspace{9mm}                0     
 \end{array}
$$
���ǁA$\sqrt{256} = 16 $ �������邱�ƂɂȂ�܂����B
(4)���������Z�̓�����$0$�łȂ�������A�J��Ԃ��܂��B2���Â�
���낵�Ă��Ă܂��B(4)���ɐ�قǂ̈����Z���[���łȂ���΁A
$ 26+6 = 32$ �ł�����A
$
  \begin{array}[t]{lll}
      &     & 32 \hspace{1.2mm} x \\ [-1.0ex]
      & \times & \hspace{4.5mm}  x \\
      \hline 
      &    & \hspace{4.5mm}  y   
  \end{array}
$ 
�̊|���Z�ŁA����$y$�����낵�Ă��������z���Ȃ��悤��$x$
���߂Ă����܂��B

���Ė��͂ǂ����Ă��̂悤�Ȏ菇�ŊJ���i�������̌v�Z�j��
�ł����̂ł��傤���H
�q���g�� $(10 a + b)^2 = 100a^2 + 20 ab + b^2$��
$ a=1$  , $ b=6 $ �����܂̏ꍇ�ɑΉ����Ă���̂ł��B
�₢�Ƃ��āA���$\sqrt{2}$ ���v�Z���Ă݂Ă��������B

�܂��v�Z�@�̃A���S���Y�����l���Ă݂邱�Ƃ��v���O������
�悢���K�ɂȂ�܂��B



%\end{document}
