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%\setlength{\oddsidemargin}{0.75pt}
%\setlength{\textwidth}{6.4in}

\thispagestyle{empty}

\begin{document}

{\Large {\bf 連立方程式の練習問題}:}(解) \hfill 2015b/rennritu-ma4aU8.tex

\hrule
%未知変数$x,y,z,u,v\cdots$の連立方程式を掃き出し計算で解く。
%$a,b,c,d,\cdots$はある定数として、つぎを解け。

\begin{framed}
\noindent
{\bf 問題１：} 連立方程式を掃き出し計算で解け。
%掃き出し計算による連立方程式の解法

\noindent
(1) \, 
$\left\{\begin{array}{l}
2 x - 3 y  = 7\\
3 x + 4y   = 2 
\end{array}\right.
$
%
\hspace{2em}
(2) \,
$\left\{\begin{array}{l}
3 x + 7 y +  5 z = 24\\
2 x + 4y  + 2 z = 14 
\end{array}\right.
$
%
\hspace{2em}
(3) \,
$\left\{\begin{array}{l}
- x + y -  z = 2\\
 2 x - y +  3 z = 4 \\
 x   + 2 z = 1 
\end{array}\right.
$
\end{framed}

\noindent
(1)の【解】各ステップの左側には操作を表すための行列を示し、掃き出し表の枠はピボットとしている。

\noindent
\begin{comment}
(1) \, 
$\left\{\begin{array}{l}
2 x - 3 y  = 7\\
3 x + 4y   = 2 
\end{array}\right.
$
\end{comment}

\begin{tabular}{lll}
（I) 
&
 $
 \begin{pmatrix}
 1/2 & 0 \\ 0 & 1
 \end{pmatrix}
 $
&
 $
 \begin{array}{|ll|l|}
 \hline
　\fbox{2}& -3&  7\\
　3 & 4 & 2  \\
 \hline
 \end{array}
 $
\\
（II) 
& 
  $
   \begin{pmatrix}
   1 & 0 \\ \underline{-3} & 1
   \end{pmatrix}
  $
&
  $
   \begin{array}{|ll|l|}
   \hline
  　1& -3/2&  7/2\\
　  \underline{3} & 4 & 2  \\
   \hline
   \end{array}
  $
\\
（III) 
&
  $
   \begin{pmatrix}
    1 & 0 \\ 0 & 2/17
   \end{pmatrix}
  $
&
  $
   \begin{array}{|ll|l|}
   \hline
  　1& -3/2&  7/2\\
　  0 & \fbox{17/2} & -17/2  \\
   \hline
   \end{array}
  $
\end{tabular}
%\\
\begin{tabular}{lll}
%\\
（IV) 
&
  $
   \begin{pmatrix}
    1 & \underline{3/2} \\ 0 & 1
    \end{pmatrix}
  $
&
  $
   \begin{array}{|ll|l|}
   \hline
  　1& \underline{-3/2}&  7/2\\
　  0 & 1 & -1  \\
   \hline
   \end{array}
  $
\\
（V) 
&
&
  $
   \begin{array}{|ll|l|}
   \hline
  　1& 0&  2\\
　  0 & 1 & -1  \\
   \hline
   \end{array}
  $
\end{tabular}

\vspace{2ex}
\noindent
最終掃き出しから、 \( x= 2, y=-1 \) \,が \underline{一意解} であり、左側の行列の積をもとめると
逆行列となっていることが確かめられる。
\begin{center}
$
\begin{pmatrix}
   1 & \underline{3/2} \\ 0 & 1
\end{pmatrix}
$
$
\begin{pmatrix}
   1 & 0 \\ 0 & 2/17
\end{pmatrix}
$
$
\begin{pmatrix}
  1 & 0 \\ \underline{-3} & 1
\end{pmatrix}
$
$
\begin{pmatrix}
 1/2 & 0 \\ 0 & 1
\end{pmatrix}
$
$
\, \, = \begin{pmatrix}
 2 & -3 \\ 3 & 4
\end{pmatrix}^{-1}
$
\end{center}
「注」この逆行列をつかって,
問題$A x = b$の答えが $x=A^{-1} b$として得られる。

\vspace{2ex}
\begin{comment}
(2) \,
   $\left\{\begin{array}{l}
    3 x + 7 y +  5 z = 24\\
    2 x + 4y  + 2 z = 14 
    \end{array}\right.
  $
\end{comment}

\noindent
(2) の【解】

\begin{tabular}{lll}
（I) 
&
 $
 \begin{pmatrix}
 1/3 & 0 \\ 0 & 1
 \end{pmatrix}
 $
&
 $
 \begin{array}{|lll|l|}
 \hline
　\fbox{3}& 7&  5 & 24\\
　  2 & 4 & 2 &14 \\
 \hline
 \end{array}
 $
\\
（II) 
& 
  $
   \begin{pmatrix}
   1 & 0 \\ \underline{-2} & 1
   \end{pmatrix}
  $
&
  $
   \begin{array}{|lll|l|}
   \hline
  　1& 7/3&  5/3 & 8\\
　  \underline{2} & 4 & 2  & 14\\
   \hline
   \end{array}
  $
\\
（III) 
&
  $
   \begin{pmatrix}
    1 & 0 \\ 0 & -3/2
   \end{pmatrix}
  $
&
  $
   \begin{array}{|lll|l|}
   \hline
  　1& 7/3 &  5/3 & 8\\
　  0 & \fbox{-2/3} & -4/3 & -2 \\
   \hline
   \end{array}
  $
\end{tabular}
%\\
\begin{tabular}{lll}
%\\
（IV) 
&
  $
   \begin{pmatrix}
    1 & \underline{-7/3} \\ 0 & 1
    \end{pmatrix}
  $
&
  $
   \begin{array}{|lll|l|}
   \hline
  　 1 & \underline{7/3 } & 5/3 & 8 \\
　  0 & 1 & 2 & 3  \\
   \hline
   \end{array}
  $
\\
（V) 
&
&
  $
   \begin{array}{|lll|l|}
   \hline
  　1& 0&  -3 & 1\\
　  0 & 1 & 2 & 3  \\
   \hline
   \end{array}
  $
\end{tabular}

\vspace{2ex}
\noindent
これは  \underline{不定形の解} で任意定数をもちいて、
一般解は、
$
x= 1  + 3 t, y=3 - 2 t, z= t
$
を特殊解($t=0$であれば、$x= 1, y= 3, z=0$ であり、もし$t=2$として、$x= 7, y= -1, z=2$としたものも特殊解で、パラメータをもちいる$x= 3 t, y= -2 t , z=t$ の一般解の和で表現される)と一般解で表現する。

%\newpage

\begin{comment}
(3) \,
$\left\{\begin{array}{l}
- x + y -  z = 2\\
 2 x - y +  3 z = 4 \\
 x   + 2 z = 1 
\end{array}\right.
$
\end{comment}

\noindent
(3) の【解】

\begin{tabular}{lll}
（I) 
&
  $
   \begin{pmatrix}
   -1 & 0 & 0 \\
    0 & 1 & 0 \\
    0 & 0 & 1
   \end{pmatrix}
  $
&
 $
 \begin{array}{|lll|l|}
 \hline
　\text{\fbox{$-1$}}& 1&  -1 & 2\\
　  2 & -1 & 3 & 4 \\
　  1 & 0 & 2 & 1 \\
 \hline
 \end{array}
 $
\\
（II) 
& 
  $
   \begin{pmatrix}
      1 & 0 & 0 \\
    \underline{-2} & 1 & 0 \\ 
    \underline{-1} & 0 & 1
   \end{pmatrix}
  $
&
  $
   \begin{array}{|lll|l|}
   \hline
  　   1   & -1 &  1 &  -2\\
　  \underline{2} & -1 & 3  & 4\\
　  \underline{1} & 0 & 2  & 1\\
   \hline
   \end{array}
  $
\\
（III) 
&
  $
   \begin{pmatrix}
    1 & \underline{1} & 0 \\ 
    0 & 1 & 0 \\ 
    0 & \underline{-1} & 1
   \end{pmatrix}
  $
&
  $
   \begin{array}{|lll|l|}
   \hline
  　 1 & \underline{-1} &  1&  -2\\
　   0 & \fbox{1} & 1 & 8 \\
　   0 & \underline{1}  & 1  & 3\\
   \hline
   \end{array}
  $
\end{tabular}
%\\
\begin{tabular}{lll}
%\\
（IV) 
&
  $
   \begin{pmatrix}
     1 & 0 & 0 \\ 
     0 & 1 & 0 \\
     0 & 0 & -1/5
    \end{pmatrix}
  $
&
  $
   \begin{array}{|lll|l|}
   \hline
  　 1 & 0 &  2 &  6\\
　   0 & 1 & 1 & 8 \\
　   0 & 0  & 0  & \text{\fbox{$-5$}}\\
   \hline
   \end{array}
  $
\\
（V) 
&
  $
   \begin{pmatrix}
     1 & 0 & \underline{-6} \\
     0 & 1 & \underline{-8} \\
     0 & 0 & 1
    \end{pmatrix}
  $
&
  $
   \begin{array}{|lll|l|}
   \hline
  　 1 & 0 &  2 &  \underline{6} \\
　   0 & 1 & 1 & \underline{8} \\
　   0 & 0  & 0  & 1\\
   \hline
   \end{array}
  $
\\
（VI) 
&
&
  $
   \begin{array}{|lll|l|}
   \hline
  　 1 & 0 &  2& 0 \\
　   0 & 1 & 1 & 0 \\
　   0 & 0  & 0  & 1\\
   \hline
   \end{array}
  $
\end{tabular}

\vspace{2ex}
\noindent
既に step (IV) までで、解なしはわかるが、階段行列と最後まで
おこなう。
これは\,\underline{ 解なし(解は存在しない)}。 係数行列と拡大係数行列の階数が
一致していない。

\vspace{3ex}

\newpage
%\hrule
\vspace{2ex}
\noindent
\begin{framed}
\textbf{ 問題２：} 連立方程式を掃き出し計算で解け。
%掃き出し計算による連立方程式の解法

(1) \,
\(
\left\{\begin{array}{l}
x + 2y +  3u + 4 v = 2\\
-x  + 2y -4 z  + u= 2 \\
2 x + y  + 3 z -2 u -10 v= -4 \\ 
-2 x + y  -5 z + u +3 v= 3 \\ 
\end{array}\right.
\)
%
\hspace{3.5em}
%
(2) \,
\(
\left\{\begin{array}{l}
x - 2y + 4 z +  2u + 9 v = 0\\
x  + y +  z  + 2 u + 3 v = 3 \\
-2 x + y  -5 z + 2 u + 6 v=  4 \\ 
2 x + y  + 3 z - u - 7 v= -4 \\ 
\end{array}\right.
\)
\end{framed}
%\hrule

\vspace{1.2ex}


%\vspace{3ex}
\noindent
(1) の【解】\,

\begin{comment}
\(
\left\{\begin{array}{l}
x + 2y +  3u + 4 v = 2\\
-x  + 2y -4 z  + u= 2 \\
2 x + y  + 3 z -2 u -10 v= -4 \\ 
-2 x + y  -5 z + u +3 v= 3 \\ 
\end{array}\right.
\)
\end{comment}
（I) 
 $
 \begin{array}{|lllll|l|}
 \hline
　\text{\fbox{$1$}}& 2 & 0 &  3&  4 & 2\\
　  -1 & 2 & -4 & 1 & 0 & 2 \\
　  2  & 1  & 3 & -2 & -10 & -4 \\
　  -2 & 1 & -5 & 1 & 3 & 3 \\
 \hline
 \end{array}
 $
%
（II) 
 $
 \begin{array}{|lllll|l|}
 \hline
　  1 & 2 & 0 &  3&  4 & 2\\
　  0 & \text{\fbox{$4$}} & -4 & 4 & 4 & 4 \\
　  0  & -3  & 3 & -8 & -18 & -8 \\
　  0 & 5 & -5 & 7 & 11 & 7 \\
 \hline
 \end{array}
 $
%
（III) 
 $
 \begin{array}{|lllll|l|}
 \hline
　  1 & 0 & 2 &  1&  2 & 0\\
　  0 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1 \\
　  0  & 0  & 0 & \text{\fbox{$-5$}} & -15 & -5 \\
　  0 & 0 & 0 & 2 & 6 & 2 \\
 \hline
 \end{array}
 $
%
（IV) 
 $
 \begin{array}{|lllll|l|}
 \hline
　  1 & 0 & 2 &  0&  -1 & -1\\
　  0 & 1 & -1 & 0 & -2 & 0 \\
　  0  & 0  & 0 & 1 & 3 &  1 \\
　  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
 \hline
 \end{array}
 $
%
\quad 係数行列と拡大係数行列の階数は等しいから、解あり。 未知数は$5$個で、階数は$3$となっている。したがって
$5-3 = 2$個の任意定数(パラメータ)をもちいて、（ここの場合では2個のパラメータを$k_1, k_2$とおいた）方程式の一般解を表すことができる。たとえば、
$z= k_1$, $v=k_2$とおけば、
$x = -1 - 2 k_1 + k_2$,
$y =  k_1 + 2 k_2$, $u = 1 - 3  k_2$となり、
ベクトル表示では
\begin{center}
$
\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ u \\ v \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}
+ k_1 
\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
+ k_2
\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}
$
\end{center}
\vspace{3ex}
\noindent
(2) の【解】\,

\begin{comment}
\(
\left\{\begin{array}{l}
x - 2y + 4 z +  2u + 9 v = 0\\
x  + y +  z  + 2 u + 3 v = 3 \\
-2 x + y  -5 z + 2 u + 6 v=  4 \\ 
2 x + y  + 3 z - u - 7 v= -4 \\ 
\end{array}\right.
\)
\end{comment}
（I) 
 $
 \begin{array}{|lllll|l|}
 \hline
　\text{\fbox{$1$}}& -2 & 4 &  2&  9 & 0\\
　  1 & 1 & 1 & 2 & 3 & 3 \\
　  -2  & 1  & -5 & 2 & 6 & 4 \\
　  2 & 1 & 3 & -1 & -7 & -4 \\
 \hline
 \end{array}
 $
%
（II) 
$
 \begin{array}{|ccccc|c|}
 \hline
　  1 & -2 & 4 &  2&  9 & 0\\
　  0 & \text{\fbox{$3$}} & -3 & 0 & -6 & 3 \\
　  0  & -3  & 3 & 6 & 24 & 4 \\
　  0 & 5 & -5 & -5 & -25 & -4 \\
 \hline
 \end{array}
 $
%
（III) 
$
 \begin{array}{|ccccc|c|}
 \hline
　  1 & 0 & 2 &  2&  5 & 2\\
　  0 &  1 & -1& 0 &  -2 & 1 \\
　  0  & 0 & 0  & \text{\fbox{$6$}} & 18 & 7 \\
　  0 & 0 & 0 & -5 & -15 & -9 \\
 \hline
 \end{array}
 $
%
（IV) 
$
 \begin{array}{|ccccc|c|}
 \hline
　  1 & 0 & 2 &  0&  -1 & -1/3\\
　  0 &  1 & -1& 0 &  -2 & 1 \\
　  0  & 0 & 0  & 1 & 3  &  7/6 \\
　  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -19/6 \\
 \hline
 \end{array}
 $
\quad 
係数行列と拡大係数行列の階数は一致していないから、
\, 解なし。



\vfill

\hrulefill

\vspace{2ex}
\noindent
%\underline{
\textbf{★表計算ソフトでの注意}
%}

\noindent
\begin{enumerate}
\item[1.]セルの設定(表示形式)を「標準」から「数値」に替えておき、
「負の数の表示形式」は”$-1234$”に替える。
さらに「小数点以下の桁数」は、２から３、４程度に
増やす。これは分数のばあいには、自動的に
四捨五入されてしまい、確認ができない。
\item[2.] 行列の計算では、「配列数式」を使用して入力する。
これには、
CTRL + Shift を押しながら、Enterをキー入力する。
ウィザードの画面でも単に「OK」をクリックしないで。
CTRL + Shift を押しながら、「OK」をクリックする。
\end{enumerate}
\end{document}



%=======================================

%階段行列に変形する。
\vspace{2ex}
\noindent

（I) \quad
$
\begin{array}{|lll|l|}
\hline
\fbox{1}& 2& 1 & 1\\
0 & -1 & 2 & 1 \\
2 & 3 & a & b \\
\hline
\end{array}
$
\quad （II)
$
\begin{array}{|lll|l|}
\hline
1& 2& 1 & 1\\
0 & \fbox{$-1$} & 2 & 1 \\
0 & -1 & a-2 & b-2 \\
\hline
\end{array}
$
\quad （III)
$
\begin{array}{|lll|l|}
\hline
1 & 0 &  5 & 3\\
0 & 1 & -2 & -1 \\
0 & 0 & \fbox{$a-4$} & b-3 \\
\hline
\end{array}
$
\quad
%\vspace{2ex}
ここで $a-4=0$であれば、係数行列の階数は
$
\text{rank}\begin{pmatrix}
1 & 0 &  5 \\
0 & 1 & -2 \\
0 & 0 & 0  \\
\end{pmatrix}
= 2
$
である。
もし、
$b-3 \neq 0$であれば、
第3行の式は
係数と定数を比べては $0 x + 0 y +0 z = 0= b-3 $となるから、
右辺の定数$b-3$の値がゼロでなければ、
等号の矛盾であるから、解なし。
\begin{comment}
つまり、階数の値が $2 < 3$ で等号ではない。
$
\text{rank}\begin{pmatrix}
1 & 0 &  5 \\
0 & 1 & -2 \\
0 & 0 & 0  \\
\end{pmatrix}
= 2
$
$\, < \, $
\end{comment}
$
3 = 
\text{rank}
\begin{pmatrix}
1 & 0 &  5 & 3\\
0 & 1 & -2 & -1 \\
0 & 0 & 0 & b-3 \\
\end{pmatrix}
=
\text{rank}
\begin{pmatrix}
1 & 0 &  5 & 0\\
0 & 1 & -2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1  \\
\end{pmatrix}
$
($b-3 \neq 0$より掃き出しが可能だから)。
%
いま$a-4 \neq 0$とすると、1行目、2行目の掃き出しから、
$3 - 5\cdot \frac{b-3}{a-4} = \frac{3a-5b+3}{a-4}$,
$-1-(- 2)\cdot \frac{b-3}{a-4} =  \frac{-a+2b-2}{a-4}$
より、
\quad
（IV)
$
\begin{array}{|lll|l|}
\hline
1 & 0 & 0 &  \frac{3a-5b+3}{a-4}\\
0 & 1 & 0 &  \frac{-a+2b-2}{a-4}\\
0 & 0 & 1 & \frac{b-3}{a-4} \\
\hline
\end{array}
$
%
\quad

\noindent
したがって
%
(i) $a=4$のとき、解なし。
(ii) $a\neq 4$のとき、
$
x = \dfrac{3a-5b+3}{a-4},
y=  \dfrac{-a+2b-2}{a-4},
z= \dfrac{b-3}{a-4}
$
(終)

\newpage

\begin{framed}
{\bf 例題2：} 
未知変数$x,y,z$の連立方程式で、
解をもつ条件$a,b$は何か。また解をもつとき、その解をもとめよ。
\[\left\{\begin{array}{l}
x + 2y +  a z = 1\\
-x -2y +  (1-a) z = 0 \\
2 x + 4 y  + b z = 2 
\end{array}\right.
\]
\end{framed}
掃き出し計算による連立方程式の解法で階段行列に変形する。

\vspace{1.2ex}
\noindent

（I) \quad
$
\begin{array}{|lll|l|}
\hline
\fbox{1}& 2& a & 1\\
-1 & -2 & 1-a & 0 \\
2 & 4 & b & 2 \\
\hline
\end{array}
$
\quad （II)
$
\begin{array}{|lll|l|}
\hline
1& 2& a & 1\\
0 & 0 & \fbox{1} & 1 \\
0 & 0 & b-2 a & 0 \\
\hline
\end{array}
$
\quad （III)
$
\begin{array}{|lll|l|}
\hline
1 & 2 &  0 & 1- a\\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 2 a - b \\
\hline
\end{array}
$

\vspace{1.2ex}
\noindent
掃き出し計算はここで終り。解をもつ条件をチェックすると、
係数行列と拡大係数行列の階数が等しくならなければ
ならないから、$2 a - b = 0$を得る。つまり、
$b=2 a$が求める関係式。

もし、$b=2 a$ の関係があれば、
２つの行列の階数はともに階数$2$で等しくなるから、解をもつ。
その解を表すためには、任意定数を一つもちいる。
つまり、方程式を変数をもちいて表すと、
\[
 \left\{
 \begin{array}{l} 
   x + 2 y = 1-a \\ 
   z = 1
 \end{array}\right.
\]
となるから、$z$は定まっているが、$x, y$が不定形であるから、
もし $y = c_1$ (任意定数)とすれば、
$x= 1- a - 2 c_1$となり、
$x = 1-a -2 c_1, \, y=c_1, \, z =1 $
となる。あるいは、
もし $x= c_2$ (任意定数)とすれば、
$y =  \dfrac{1-a - c_2}{2} $となり、
$ x =  c_2, \, y=\dfrac{1-a - c_2}{2}, \, z =1 $
となる。
前者の場合には、任意定数でくくり出してから、ベクトルで表すと、
$
\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 1-a  \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
+ c_1 
\begin{pmatrix} -2  \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}
$
であり、
後者の場合には
$
\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 0  \\ \frac{1-a}{2} \\ 1 \end{pmatrix}
+ c_2
\begin{pmatrix} 1  \\ \frac{-1}{2} \\ 0 \end{pmatrix}
$
となる。定数ベクトルの項は通る点を表し、任意定数をもつベクトル項は
方向ベクトルを表す。この二つは任意定数$c_1, c_2$ を適当に定めれば、同じベクトルである。
（確かめてみよ）
さらにいずれの場合にも任意定数の個数はひとつであるが、
これは係数行列$m\times n$型では、$m=3, n=3 $であり、解をもつ場合の
係数行列と拡大係数行列の階数は
\[
\text{rank}
\begin{pmatrix} 1 & 2 & a \\ -1 & -2 & 1-a \\ 2 & 4 & b 
\end{pmatrix}
=
\text{rank}
\begin{pmatrix} 1 & 2 & a & 1 \\ -1 & -2 & 1-a & 0 \\ 2 & 4 & b & 2
\end{pmatrix}
=
\text{rank}
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0  & 1-a \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 
\end{pmatrix}
= 2
\]
となっている。
（終）

\vfill


\hrule

\vspace{1.2ex}

\noindent
%{\bf まとめ：} 
連立方程式 $A \bm{x} = \bm{b}$ \, ($A:m\times n$)の
解は
\begin{description}
\item[(a) 一意解：] 
  条件 $\text{rank}(A) = \text{rank}(A\,|\,\bm{b}) = n$ \, ($A$は正方行列$m=n$で、変数、方程式の個数に等しい)、
  $\bm{x} = A^{-1} \bm{b}$ (逆行列の存在) あるいはクラメルの公式の形。
\item[(b) 解なし：] 
  条件 $\text{rank}(A) < \text{rank}(A\,|\,\bm{b}) $ \, (係数行列と拡大係数行列
  の階数が等しくない不等号)
\item[(c) 不定解：] 
  条件 $\text{rank}(A) = \text{rank}(A\,|\,\bm{b}) < n$ \, (変数の個数より拡大係数
  行列の階数が小さい不等号、任意定数の個数$k$は$k=n - \text{rank}(A)$である。)
\end{description}


\end{document}



