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\documentclass[uplatex,11pt]{jsarticle} % use larger type; default would be 10pt
%日本語を入力してコンパイルするには
%\verb+ upLatex(ptex2pdf)+  としました。

\usepackage[utf8]{inputenc} % set input encoding (not needed with XeLaTeX)
\usepackage{amsmath, amssymb, latexsym}

%%% PAGE DIMENSIONS
\usepackage{geometry} % to change the page dimensions
\geometry{a4paper} % or letterpaper (US) or a5paper or....
% \geometry{margin=2in} % for example, change the margins to 2 inches all round
% \geometry{landscape} % set up the page for landscape
%   read geometry.pdf for detailed page layout information

\usepackage{graphicx} % support the \includegraphics command and options

% \usepackage[parfill]{parskip} % Activate to begin paragraphs with an empty line rather than an indent

%%% PACKAGES
\usepackage{booktabs} % for much better looking tables
\usepackage{array} % for better arrays (eg matrices) in maths
\usepackage{paralist} % very flexible & customisable lists (eg. enumerate/itemize, etc.)
\usepackage{verbatim} % adds environment for commenting out blocks of text & for better verbatim
\usepackage{subfig} % make it possible to include more than one captioned figure/table in a single float
% These packages are all incorporated in the memoir class to one degree or another...

%%% HEADERS & FOOTERS
\usepackage{fancyhdr} % This should be set AFTER setting up the page geometry
\pagestyle{fancy} % options: empty , plain , fancy
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt} % customise the layout...
\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{}\cfoot{\thepage}\rfoot{}


%%% ToC (table of contents) APPEARANCE
\usepackage[nottoc,notlof,notlot]{tocbibind} % Put the bibliography in the ToC
\usepackage[titles,subfigure]{tocloft} % Alter the style of the Table of Contents
\renewcommand{\cftsecfont}{\rmfamily\mdseries\upshape}
\renewcommand{\cftsecpagefont}{\rmfamily\mdseries\upshape} % No bold!

%%% END Article customizations

%%% The "real" document content comes below...

%\title{Brief Article}
%\author{やすだ　まさみ　安田　正實}
%\date{} % Activate to display a given date or no date (if empty),
         % otherwise the current date is printed 

% 印刷範囲の設定　その１
%\setlength{\textwidth}{157mm} %本文全体の幅
%\setlength{\textheight}{245mm} %本文全体の高さ
%\setlength{\oddsidemargin}{1mm} %用紙左余白、奇数ページ
%\setlength{\evensidemargin}{1mm} %用紙左余白 、偶数ページ
%\setlength{\topmargin}{0mm} %用紙上の余白
%\setlength{\headheight}{-15mm} %ヘッダーの高さ
%\setlength{\headsep}{15mm} %ヘッダーと本文までの高さ
%\setlength{\footskip}{10mm} %フッターと本文の高さ




%%%%%%%%%% 印刷範囲の設定　その2 %%%%%%%%%%
\newdimen\leftMargin   \leftMargin   = 15truemm
\newdimen\rightMargin  \rightMargin  = 10truemm
\newdimen\topMargin    \topMargin    = 5truemm
\newdimen\bottomMargin \bottomMargin = 5truemm
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%[--------------------------------------
%計算&設定開始
\newdimen \stack

\stack = 210truemm                   %stack = 210 //A4横サイズ
\advance\stack by -\the \leftMargin  %stack -= leftMargin
\advance\stack by -\the \rightMargin %stack -=  \rightMar\gin 

% テキスト幅: 210-(\leftMargin+\rightMargin)
\textwidth = \the \stack
\fullwidth = \textwidth            % ページ全体の幅
\oddsidemargin = \the \leftMargin       % 左余白
\addtolength{\oddsidemargin}{-1truein}  % 左位置デフォルトから-1inch
\topmargin = \the \topMargin            % 上余白

\stack = 297truemm                      %stack = 297//A4横縦サイズ
\advance\stack by -\the \topMargin      %stack -= leftMargin
\advance\stack by -\the \bottomMargin   %stack -=  \rightMargin 

% テキスト高さ: 297-(\topMargin+\bottomMargin)
\textheight=\the\stack
\headheight=0mm
\headsep=0mm
\addtolength{\topmargin}{-1truein}     % 上位置デフォルトから-1inch

\stack = 0mm
%計算&設定終了
%-----------------------------------------]



\begin{document}
%\maketitle
\thispagestyle{empty}

{\bf \Large 線形代数課題\, 解答}（2015年10月） \hfill LA2015-kadai-1a.tex 
%\hspace{1.2em} 学籍番号： \hspace{3cm}
%\hspace{2em} 氏名： \hspace{5cm} 



\vspace{2ex}

\hrule

\vspace{4ex}

\begin{comment}
\noindent
★以下は平面ベクトルの問題として考える。もし空白が不足する場合には、本用紙を表紙（番号と名前を忘れずに）として、
同一の大きさ \lq\lq A4サイズ \rq \rq の適当な
用紙を付け加えて答えよ。
\end{comment}


\noindent
\fbox{1} ベクトル$\vec{a}=(a_1, a_2), \vec{b}=(b_1, b_2)$のとき、(1) ベクトルの差$ \vec{b} - \vec{a}$に対するノルム(ベクトルの長さ) $\| \vec{b} - \vec{a}\|$ を求めよ。
(2) ２つのベクトルが直交する（垂直となる）ための条件をかけ。

\noindent
{\bf 【解】}
(1)\, 
$\vec{b} -\vec{a} = (b_1 - a_1,\, b_2 - a_2) $ であるから、
$\|\vec{b} -\vec{a}\| = \sqrt{(b_1 - a_1)^2 + ( b_2 - a_2)^2} $


(2)\, 
$\cos\theta 
= \displaystyle\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\| \vec{a}\| \, \| \vec{b}\|}$
をもちいる。
直交するから、余弦の値$\cos \theta = \cos (\pi/2) = \cos 90^o =0$
より、
分子の内積$\vec{a} \cdot \vec{b} =  a_1 b_1 + a_2 b_2 =0 $
これがもとめる条件である。
\vfill

\noindent
\fbox{2} 
３つのベクトル$ (a_1, a_2),  (b_1, b_2),  (c_1, c_2)$ が同一直線上にあるための条件を求めよ。

\noindent
{\bf 【解】}
それぞれのベクトルが表す平面の点を A, B, C とおけば、
A と B を結ぶ直線をもとめ、その直線が C を通ればよい。
直線の方程式は $y - b_2 = \displaystyle\frac{b_2 - a_2}{b_1 - a_1} (x - b_1 ) $ で,  
C の値$x = c_1, y = c_2$ を代入する。
したがって $c_2 - b_2 = \displaystyle\frac{b_2 - a_2}{b_1 - a_1} (c_1 - b_1 ) $と得られる。
この式をさらに変形すると
$ b_1 c_2 - b_2 c_1 + (-1) \{a_1 c_2 - a_2 c_1\} + a_1 b_2 - a_2 b_1 = 0 $である。外積の定義から
\[
\begin{pmatrix} a_1 \\ b_1 \\ c_1 \end{pmatrix} \times 
\begin{pmatrix} a_2 \\ b_2 \\ c_2 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} b_1 c_2 - b_2 c_1 \\ (-1) \{a_1 c_2 - a_2 c_1\} \\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{pmatrix}
\]
であるから、さらにベクトルの内積、３次の行列式をもちいて
\[
%a_1 b_2 - a_2 b_1 + (-1) \{a_1 c_2 - a_2 c_1\} +  b_1 c_2 - b_2 c_1 = 
\left(\begin{pmatrix} a_1 \\ b_1 \\ c_1 \end{pmatrix}  \times 
\begin{pmatrix} a_2 \\ b_2 \\ c_2 \end{pmatrix} \right)
\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}
= \text {det}\left|\begin{matrix} a_1  & a_2 & 1 \\
                         b_1 & b_2 & 1 \\
                         c_1 & c_2 & 1
 \end{matrix} \right|
= 0 
\]
と表すことができる。

\begin{comment}
(i) ２つの直線が平行となる条件、(ii) ２つの直線が重なる条件を考えればよい。
いずれも傾き$=\displaystyle\frac{yの増分}{x の増分}$
が正接（タンジェント）であることをもちいる。

2点$(a_1, a_2), (b_1,b_2)$を結ぶ直線は、傾きが $\displaystyle\frac{b_2-a_2}{b_1-a_1}$であるから、方程式は、
$y - a_2 = \displaystyle\frac{b_2-a_2}{b_1-a_1} (x - a_1)$
であるから、$(b_2 -a_2) (x - a_1) + (b_1-a_1) (y - a_2) = 0$となり、
$\vec{b} - \vec{a} = (b_1 - a_1, b_2 - a_2) $ と
ベクトル $\vec{x} - \vec{a} = (x - a_1, y - a_2) $ との 内積がゼロ
と表せる。


各々ベクトルと等しければ、平行となる。したがって
$\displaystyle\frac{a_2}{a_1}=\frac{b_2}{b_1}=\frac{c_2}{c_1}$
\end{comment}

\vfill


\noindent
\fbox{3} 点$(a,b)$ を通り、方向ベクトルが$(m,n)$で与えられた。この直線をパラメータ$t$をもちいて、
$x=a + m t, \, y= b + n t$ と表すとき、これをパラメータ表示という。
２点$(x_1,x_2)$, $(y_1,y_2)$を結んでつくる直線をパラメータ表示で表せ。

\noindent
{\bf 【解】}
２点を結ぶ方向ベクトル$(m,n)$は$(m,n) = (y_1-x_1, y_2-x_2)$ であり、点$(x_1, x_2)$
を通るから、
\[\left\{
\begin{array}{l} x= x_1 +(y_1-x_1) t,\\  y= x_2 +(y_2-x_2) t \end{array} \right.
\hspace{2em}t はパラメータ
\]
と表せる。
\vfill



\noindent
\fbox{4} ２つの直線が $m_1 x + n_1 y = p_1$, $m_2 x + n_2 y = p_2$ で与えられたとき、
２直線のなす角$\theta$とするとき、$\cos \theta$ の値を求めよ。

\noindent
{\bf 【解】}
それぞれの直線が$x$軸とのなす角を$\theta_1, \theta_2$とおけば、
$\tan \theta_i = - \displaystyle\frac{m_i}{n_i}, i=1,2$で、
２直線のなす角は, $\theta = \theta_1 - \theta_2$ となる。
正接の加法定理をもちい（和の式ではなく、差の式）
代入することで、
$\tan \theta = \tan (\theta_1 - \theta_2) 
= \displaystyle\frac{\tan \theta_1 - \tan \theta_2 }{1+\tan \theta_1 \tan \theta_2} $
%= \frac{|m_1 n_2 - m_2 n_1|}{m_1 m_2 +n_1 n_2}$となる。
ここにおいて、
$\cos^2 \theta = \displaystyle\frac{1}{1+\tan^2 \theta}$
% = \displaystyle\frac{()^2}{()^2 ()^2}$
をもちいて、正接から余弦をもとめる。
\[
\tan^2 \theta 
= \left(\displaystyle\frac{(-\frac{m_1}{n_1}) - (-\frac{m_2}{n_2})}{1+ (-\frac{m_1}{n_1})(-\frac{m_2}{n_2})} \right)^2 
= \left(\displaystyle\frac{{m_1}{n_2} - {m_2}{n_1}}{{m_1}{m_2}+ {n_1}{n_2}} \right)^2
\]
結果は、
%\[\cos^2 \theta = \displaystyle\frac{(m_1 n_2 - m_2 n_1)^2}{m_1 m_2 +n_1 n_2}\]
\[
\cos \theta = \dfrac{1}{\sqrt{1+\tan^2\theta}}
= \displaystyle\frac{|m_1 m_2 + n_1 n_2|}{\sqrt{m_1^2 + n_1^2}\sqrt{m_2^2 + n_2^2}}
\]
ここで２乗値の平方根には絶対値が必要であることに注意。また分子は内積、分母はノルムの積となっている。

\vfill

\newpage
\thispagestyle{empty}
\noindent
\fbox{5} 点$(x_0, y_0)$ から直線 $a x + b y + c =0$に引いた垂線を引く。\, (1)  垂線の方程式をパラメータ表示で表せ。
\,(2)  垂線の長さを求めよ。

\noindent
{\bf 【解】}
(１) 垂線の方程式は、ベクトルの直交性をもちいる。
まず原点$(0,0)$通り、直線 $a x + b y + c =0$に垂直な直線の方程式は
\(
       b x - a y =0
\)
（あるいは$\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b}$という表現が覚えやすい）
である。パラメータ表示をすると、 $x= a t , y = b t$, $t$はパラメータ。よって点$(x_0 , y_0)$ を通るときには、
平行移動させて、$x= x_0 + a t , y = y_0 + b t$
が求める垂線のパラメータ表示の方程式である。

(２) 
この点は直線上にあるから、
$a (x_0 + a t) + b (y_0 + b t) + c = 0$ で、そのときの$t$の値は、$t= - \dfrac{a x_0 + b y_0  +c}{a^2+b^2}$となる。
このときの
垂線の長さ$d$ は
\[
  d^2 = (x-x_0)^2 +(y-y_0)^2 = \dfrac{(a x_0 + b y_0  +c)^2}{a^2+b^2}  
\]
よって
$d = \dfrac{|a x_0 + b y_0  +c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$が垂線の長さとなる。

\hfill （以上）
\vfill
\end{document}
