確からしさの考え方、確率

1 偶然な実験

統計学の理論展開を数学モデルとして取り扱うためには，確率の概念が必要となります。不確実性の数値化（モデル化）には，コイン投げ，さいころ投げを例として議論されますが，これには概念の定義に，（１）再現性（繰り返すことができる）と（２）客観性（多くの人が認める）をもつ対象を考えるからです。数学的には，「測度論」とよばれる面積や体積を定めるための道具をつかいます。公理的な確率論とよばれる由縁です。抽象的にモデル化し，つぎのように確率空間とよび，偶然の現象を数学的に定義します。

偶然によって起こると考えられる全ての結果全体 Ω を考えます。結果のあつまり，集合，を意味します。つぎにそのうちのいくつかの結果を事象とよび，これを集めたものを A と表します。厳密にはすこし厄介になるので，一般には大きさを測る，あるいは数え上げができるものと解釈します。実際には， P という記号で，事象の大きさ（可能性）を数値で表現します。まず確率の大きさをはかる対象となる集合を事象とよび，全事象と空事象，和事象，積事象，余事象（補事象）を定義されているとします。全事象 Ω は，すべての可能な結果全体で，当たり前のこと，この確率を１と定める。空事象 ∅ は，起こり得ないことで，確率を０とします。和事象 A ∪ B とは少なくともひとつ，いづれかがが起こること，積事象 AB, A ∩ B とは，すべてのものが同時に起こること，余事象\overline{A}, A^{c} とは，これが起こらない，否定を意味します。確率の定義；３つの組 (Ω, A, P) が確率空間とは加法性と連続性をみたす集合関数（集合から数値を対応）のことです。つぎを満たすとします；

(a) 基準化 P (∅) = 0, P (Ω) = 1

(b) 加法性 P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)

(c) 連続性 A_{i}, i = 1, 2, ⋯ が A_{1} ⊂ A_{2} ⊂ ⋯, lim_{i} A_{i} = ⋃_{i=1}^{∞} A_{i} は

P (lim_{i} A_{i}) = P (⋃_{i=1}^{∞} A_{i}) = lim_{i} P (A_{i})

確率の基本定理：

(1) A ⊂ B ならば， P (B) = P (A) + P (B \ A) = P (A) + P (B ∩ A^{c}) ≥ P (A)

(2) P (A^{c}) = 1 − P (A)

(3) P (⋃_{i=1}^{n} A_{i}) = ∑_{i} P (A_{i}) − ∑_{i<j} P (A_{i}A_{j}) + ∑_{i<j<k} P (A_{i}A_{j}A_{k}) ⋯ + (−1)^{n+1}P (A_{1}A_{2} ⋯ A_{n}), ここで ∑_{i<j} は i < j を満たすすべての (i, j) の組にわたる和をとる。他も同様。

(4) A_{i}, i = 1, 2, ⋯ が互いに素，すなわち A_{i} ∩ A_{j} = ∅(i ≠ j) ならば P (⋃_{i} A_{i}) = ∑_{i} P (A_{i})

(5) de Morgan の法則より

P (⋃_{i} A_{i}) = 1 − P (⋂_{i} A_{i}^{c})

少なくとも一つが起こる確率の計算は，１からすべてがまったく起こらない確率を引けばよい。

P (⋂_{i} A_{i}) = 1 − P (⋃_{i} A_{i}^{c})

2 条件付き確率と事象の独立

まず条件付き確率を定義する。ある事象が起こったときに，もう一つの事象にどの程度影響を及ぼしているかの尺度を表す。記号では P (B|A) と表す。

P (B|A) = \frac{P (B ∩ A)}{P (A)}

ただし P (A) > 0 とする。事象 A は多少とも起こるものと前提条件をする。これを A が起こったときの B の起こる条件付き確率という。

(1) P (A) = P (A|B)P (B) + P (A|B^{c})P (B^{c})

(2) P (A ∩ B ∩ C) = P (A)P (B|A)P (C|A ∩ B), P (A ∩ B) > 0

(3) ベイズの定理; 事象列 A_{1}, A_{2}, ⋯, A_{n} を Ω の分割，つまり互いに素（どの２つをとっても積事象が空事象）であり，これらすべての和集合が全事象になるとき，つぎの条件付き確率についての関係式が成り立つ。

P (A_{j}|B) = \frac{P (B|A_{j})P (A_{j})}{∑_{k} P (B|A_{k})P (A_{k})}

事象 A_{k}, k = 1, 2, ⋯, n を原因と考え，結果の事象 B の条件付き確率がわかっていれば，結果からどの原因により起こっているかを考える。事前確率 P (A_{k}), k = 1, 2, ⋯, n から事後確率 P (A_{j}|B) を計算する式を意味する。

独立事象の定義; ２つの事象の間について，独立とは一方の起こる可能性に影響を与えないこと。 P (B|A) = P (B) を書き換えて

P (A ∩ B) = P (A)P (B)

が成り立つとき。一般に A_{i}, i = 1, 2, ⋯, n が独立であるとは，

P (⋂_{i=1}^{n} A_{i}) = P (A_{1})P (A_{2}) ⋯ P (A_{n})

で n 個のすべての部分系（１組のかたまりと考えて）が独立であるとき，で定義する。

問 2.1 与えられた確率 P (A) = 1/3, P (B) = 1/4, P (AB) = 1/6 に対して，つぎの確率を計算しなさい。ただし \overline{A} = A の補事象。

(i) P (\overline{A}) (ii) P (\overline{A} ∪ B) (iii) P (A ∪ \overline{B}) (iv) P (A\overline{B}) (v) P (\overline{A} ∪ \overline{B})

問 2.2 事象列 A_{n}, n ≥ 1 に対して

P (A_{1}A_{2} ⋯ A_{n}) ≥ ∑_{i=1}^{n} P (A_{i}) − (n − 1) = 1 − ∑_{i=1}^{n} P (\overline{A_{i}})

問 2.3 つぎを示せ。また一般化 (n 個) の事象列についてはどうなるか。

P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (B) − P (AB) − P (BC) − P (CA) + P (ABC)

問 2.4 ２つの事象 (A, B) が独立ならば， (A, \overline{B}), (\overline{A}, B) (\overline{A}, \overline{B}) も独立となることを示せ。問 2.5 つぎの等式を示せ。

P (AB) − P (A)P (B) = P (\overline{A})P (B) − P (\overline{A}B) = P (A)P (\overline{B}) − P (A\overline{B}) = P (\overline{A} \overline{B}) − P (\overline{A})P (\overline{B})

問 2.6 つぎの４つの命題は同値であることを示しなさい。

\begin{matrix}(a) 事象 A と B は独立 & (b) 事象 A^{c} と B は独立 \\ (c) 事象 A と B^{c} は独立 & (d) 事象 A^{c} と B^{c} は独立 \end{matrix}

問 2.7 もし P (A|B) > P (A) ならば， P (B|A) > P (B) を示せ。（ヒント：\frac{P (A|B)}{P (B|A)} = \frac{P (A)}{P (B)} を示せ。）

問 2.8 事象列 A_{1}, A_{2}, ⋯, A_{n} が独立で P (A_{i}) = p, i = 1, 2, ⋯, n とおくとき，

(a) 少なくとも一つの事象が起こる確率は？

(b) 少なくとも m 個の事象が起こる確率は？

(c) ちょうど m 個の事象が起こる確率は？

問 2.9 箱の中には 1, 2, ⋯, n と数字の記されたボールが入っている。 r 個のボールをとりだすとき，最大の数字が m となる確率を計算せよ。

(a) もとに戻してからボールを取り出すとき (復元抽出）。

(b) もとには戻さずにボールを取り出すとき（非復元抽出）。