場合の数、数え上げの方法 (問題)

1 場合の数、数え上げ

問 1.1 箱とボールがそれぞれ n = 5, r = 2 のとき、重複順列、順列、重複組合せ、組合せについてすべての場合を書き並べてみなさい。そして答えが一致していることを確かめよ。たとえば 5 個のボールを a, b, c, d, e としてそれぞれ書き上げてみなさい。

2 パスカル三角形

問 2.1 定義の式を代入して計算してみて確かめなさい。

1. \binom{m}{0}\binom{n − m}{r} + \binom{m}{1}\binom{n − m}{r − 1} + ⋯ + \binom{m}{r}\binom{n − m}{0} = \binom{n}{r}

2. 1 − \binom{n}{1} + \binom{n}{2} + ⋯ + (−1)^{n}\binom{n}{n} = 0

3. \binom{n}{1} + 2\binom{n}{2} + 3\binom{n}{3} + ⋯ + n\binom{n}{n} = n2^{n−1}

問 2.2 トランプ 52 枚から 5 枚を選ぶポーカーで、場合の数を考えなさい。 (1) すべての場合は何通りか？答え\binom{52}{5} 約 259 万通り

(2) ローヤルフラッシュ（同じ種類の絵札、 (10,J,Q,K,A））

(3) フォーカード（4 枚が同じ数、 x ≠ y, (x, x, x, x, y)）、答え 13 · 12 · 4

(4) ストレート（種類を無視して、続きの番号）答え 9 · 4^{5}

(5) スリーカード（3 枚が同じ数, (x, x, x, y, z)）答え 13\binom{12}{2}4 · 4^{2}

(6) ツーペア（2 組の同じ数, (x, x, y, y, z)）答え\binom{13}{2}11 · 6 · 6 · 4

(7) ワンペア（2 枚のみ同じ数で残りはバラバラ, (x, x, y, z, w)）答え 13\binom{12}{3}6 · 4^{3}

問 2.3 いままで 2 項係数の表し方は_{n}C_{k}, C_{k}^{n} とも表したかもしれませんが、同じものです。しかしこれを拡張した意味を上の式ではこめているのです。たとえば、自然数 n のかわりに実数 α としても意味をもちます。

\binom{α}{k} = \frac{α(α − 1)(α − 2) ⋯ (α − k + 1)}{k!} k = 0, 1, 2, 3, ⋯

これをもちいて、 k = 0, 1, 2, 3, ⋯ に対して\binom{−1}{k}, \binom{−2}{k} などを計算してみなさい。どんなことが気づきますか？パスカル三角形と関係があるのです。