\documentclass[a4paper]{jarticle}
%
%  \title{���K���z�̔���}
%
\usepackage{amsmath,amssymb,latexsym}
\usepackage{graphicx}%%% �O���t
\pagestyle{empty}
%%�₢�̘g
%%\newcommand{\toi}[1]{\noindent\framebox[3em][c]{\bf #1}}
%��������̑傫���̎w��
\setlength{\topmargin}{-50pt}
\setlength{\oddsidemargin}{-3mm}
\setlength{\evensidemargin}{-3mm}
\setlength{\textheight}{25cm}
\setlength{\textwidth}{16cm}
\setlength{\footskip}{6mm}
%���������ς��Ƀe�L�X�g���͂ޘg
\newenvironment{FRAME}{\begin{trivlist}\item[]
  \hrule
  \hbox to \linewidth\bgroup
    \advance\linewidth by -30pt
    \hsize=\linewidth
    \vrule\hfill
    \vbox\bgroup
      \vskip15pt
      \def\thempfootnote{\arabic{mpfootnote}}%foot note to arabic
      \begin{minipage}{\linewidth}}{%
      \end{minipage}\vskip15pt
    \egroup\hfill\vrule
  \egroup\hrule
\end{trivlist}}

%�藝��
\usepackage{theorem}
\theorembodyfont{\upshape }
\theoremstyle{break}
\newtheorem{Def}{��`}[section]
\newtheorem{Toi}{��}[section]
\newtheorem{Thm}{�藝}[section]
\newtheorem{Lem}[Thm]{���}
\newtheorem{Cor}[Thm]{�n}
%
%  \begin{Thm}  ...  \end{Thm}
%

\title{���K���z}
\date{}

\begin{document}
\maketitle 



\section{���K���z�̔���}
�ǂ�Ȃɕ΂�̂���R�C���ł����Ă��C�J��Ԃ����������Ă����ƁC���ׂĂ��������ʁC
���Ƃ��Ε\�΂���Ƃ����΂���ł͂Ȃ��C����ϓ������������ʂ��������
�z�������B�����̃R�C���𓊂���Ɓi�P���̃R�C������������J��Ԃ��Ɓj�C
�\�̏o�閇���i�񐔁j�͂Q�����z�ɂ����������ƂƂ�������͊��Ɋw�񂾁B
���̖����i�񐔁j���ǂ�ǂ�傫�����Ă����ƁC�Q�����z�ł͂��邪�C���镪�z��
�߂Â����Ƃ��킩��B���̕��z�����K���z�ł���B
���v���X (Pierre Simon de Laplace), 1749-1827
�t�����X�̊v�����̐��w�ҁA�V���w�ҁB���w���ɉ�͊w�̑����̕���ɑ傫�ȋƐт��c�������A
�ÓT�m���_�̑听�͂��̍v���̈�ł���B
����C
�K�E�X (Karl Friedrich Gauss), 1777-1855,
�h�C�c�̐��w�ҁA�����w�ҁA�V���w�ҁB�c�������V�˂̗_�ꍂ���A���w�E�����w��
����Ȍ��т��c���Ă��邪�C���̕���ł͐��K���z�̔���������B���K���z���Q�����z��
�Ɍ��Ƃ��āC���v���X�����������@�Ƃ͑S���قȂ�C�V�̊ϑ��̌덷�������͂��C�ϓ������蓾��
�󋵂���C���������������ĂāC���K���z�𓱂����B�u�덷�_�v�~���Ȑ��ő��z�̉������V��
�̉^�����_�@--- �����̊ϑ����ʂɂ����Ƃ��悭�����O���̌��� --- �Ƃ����_���i1809�N�j��
���x�֐����������B


�W�����K���z�̖��x�֐��̋Ȑ��ł��B
���炩�ɕω����A�ЂƂR�̌`�����Ă��܂��B
\vspace*{1ex}
\begin{center}
  $\phi(x)$
\end{center}
\begin{center}
\includegraphics[width=42em,height=12em,keepaspectratio]
{normaldis.eps} $x$
\end{center}
���̃O���t�̎��͂��ŗ^��������̂ł��B
\[ 
   \phi(x)= \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}}
          \exp\left(-\dfrac{x^2}{2}\right)
= \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}}
          \,e^{-x^2/2}
\]
�K�E�X�́A�덷�̉�͂����邱�ƂŁA����������
$\dfrac{d}{dx} \phi(x) = - x \phi(x)$
�𓱂��A���̌��ʐ��K���z�����߂܂����B���̔����������͕ϐ������`��
�����I�ȃe�L�X�g�ɂ͕K���q�ׂ��Ă��܂��B


\section{�吔�̖@��}
���܁C�\�̏o��m����$p$, ���̂ł�m����$1-p$�̃R�C�����������Ƃ���B���̃R�C���𓊂�
�\���o��΁C�P�_�C���Ȃ�΂O�_�Ƃ��āC���̓_�����\�����e��̌��ʂ�$X_1,X_2,
\cdots , X_n$�Ƃ����B$\Sigma_i X_i$ �͂P���ł��񐔂ŁC�\�̏o���䗦��
�f�[�^����$\overline{X}$�ƂȂ�B�吔�̖@���Ƃ́C���̕\�̏o���䗦�́C�J��Ԃ�����
�ǂ�ǂ�傫������ƁC�P�񓊂����Ƃ��ɕ\���ׂ��\�̊m���̒l$p$�ɋ߂Â����ƂƂ���
����ł���B�߂Â��Ƃ����Ӗ��𐔊w�I�ɂ́C�m�������Ƃ��C�T�����Ő��m�ɏ����������B
����ʂɂ́C�u�Ɨ��ȓ��ꕪ�z�ɂ��������m���ϐ����
�W�{���ρi�ϑ��l��S�̌��Ŋ��������́C�f�[�^�̕��ρC�Z�p���ρj�́C����傫�����Ă�����
���Ƃ̕��z�̊��Ғl�i���z�̕��ρj�Ɋm�������i�T�����j����v�Ƃ������Ƃł���B
���̒藝�́C���o�����W�{����傫�����Ă����΂����قǁC��W�c�̕��ς𖾂炩�ɂ��邱�Ƃ�
�ł���Ƃ����C���v�w�̊�{�藝�̈�ł���B


\section{���S�Ɍ��藝}
�吔�̖@�����C�W�{�̕��ρi�ϑ��l�̘a���f�[�^�����Ŋ��������́j�ƕ��z�̊��Ғl�i���ϒl�j
�Ƃ̊֌W�𖾂炩�ɂ��Ă��邪�C���S�Ɍ��藝�Ƃ́C�����悤�Ƀf�[�^����傫�����Ă�����
�󋵂̋߂Â������������Ă���B�܂�C�Q�����z�̋Ɍ������K���z�ł���Ƃ������Ƃ�
�ЂƂ̗�ł���B�J��Ԃ����R�C�������̗�Ȃǂ��ɂ��āC�m���ϐ�
$X_1,X_2, \cdots , X_n, \cdots$�͓Ɨ��ł��ׂē�������$\mu$,���U$\sigma^2$
�����Ƃ��܂��B����$n$�̊ϑ����ʂ���C
�W�{���ρ@$\overline{X}_n = \Sigma_{i=1}^{n}X_i$ �����B�吔�̖@������
$\overline{X}_n - \mu$ ��$0$�Ɋm���������܂��B����ł͂ǂ̂悤�ɋ߂Â��Ă����̂�
������Ȃ��̂ŁC$\dfrac{\overline{X}_n - \mu}{\sqrt{\sigma^2/n}}$���l����B
���̕����̕���ɂ́C$\overline{X}_n $�̕��U�̕����C���Ȃ킿�C�W���΍��ł��B
������񂱂̒l��$n$���傫���Ȃ�΁C�[���ɋ߂Â��܂����C���q���[���ł�����
�Ɍ��̕s��`�ɂȂ��Ă��܂��B���v���X�́C���̋Ɍ����z�����K���z�Ƃ�΂�镪�z��
���邱�Ƃ������܂����B���w�I�ɕ\������ƁC�C�ӂ̎��� $a,b$ �ɑ΂��C
�Ƃ����
$$
\lim_{n \rightarrow \infty} 
P\left(a \leq \dfrac{\overline{X_n} - \mu}{\sqrt{\sigma^2/n}} \leq b\right)
 \rightarrow \int_a^b \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp (- \dfrac{x^2}{2}) \,dx
$$
�����藧�B�E�ӂ̐ϕ��l�̂Ȃ��ɕ\��Ă���֐����W�����K���z�̖��x�֐��ł���C
�K�E�X�������������œ��������̂Ɠ����ł���B�ϕ��̌v�Z�����̂܂܂�
�Ȃ��Ă��闝�R�́C���n�֐������߂��Ȃ��i�܂�ϕ������߂��Ȃ��j����C
�`�������Ă��邾���ł���B�������ۂ�$a,b$�����āC���̒l�����߂�ɂ�
�u���K���z�\�v�Ƃ�΂��C��ԂƑΉ�����m���i�ϕ��l�j��\�ߐ��l�v�Z�������̂�
�������Ă����˂΂Ȃ�Ȃ��B�ȒP�Ɍ����΁C�ʐς̌v�Z���ϕ��ŋ��߂��Ȃ�����
���l�v�Z�����Ƃ����킯�ł���B
���̐��l�\�́C���v�w�̃e�L�X�g�ɂ͕K���f�ڂ���Ă��邵�C����̐���⌟��ɂ�
�悭�p������̂Ŏ茳�ɏ������Ă����K�v������B

���̌��ʂ������������
�W�{����$\sqrt{n}(\overline{X}_n-\mu)$�̑Q�ߕ��z(�����傫���ꍇ�̕��z�j��
$N(0,\sigma^2)$�ł���B������$N(\mu,\sigma^2)$�Ƃ͕���$\mu$��
���U$\sigma^2$�̈�ʐ��K���z��\���B
$$
   \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp (- \dfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}) 
   \quad -\infty < x <\infty
$$
�W���͖ʐς��P�ƂȂ�悤�ɂ������̂ŁC$\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}$
�Ƃ� $\dfrac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}$�ȂǂƂ��\���̂ňႢ�ɒ��ӂ���B
�O���t�̊T�`�́C�x���^��������R�ŁC���_$x=\mu$���ɑ�C
�Q�̕ϋȓ_$x=\mu\pm\sigma$�B�����ŕϋȓ_�Ƃ́C��ɂӂ���񂾏�Ԃ��牺�ɂӂ���݂�
����Ԃɕς��Ƃ���C�ɑ�E�ɏ����P�K�̔����W�����[���Ƃ��ċ��߂��C
�ϋȓ_�͓ʂƉ��̋��ڂŁC�Q�K�̔����W�����[���Ƃ��ċ��߂���B

�K�E�X�̎��������S�Ɍ��藝�̂��΂炵�����Ƃ́C���Ƃ̕��z���R�C������
�i�p�����[�^$p$�̃x���k�[�C���z�j�ł��낤��
��������U��i�U�_�W���̗��U�^��l���z�j�ł��J�}���i�C���ƁB
���U�^�C�A���^�̂��̂ł����Ă��C�Ɍ��͘A���^�̐��K���z�ɂȂ�B
�����̕΂肪�����Ă��C�Ɨ��ȌJ��Ԃ��Ƃ��̕��ςƕ��U�̑��݂��ۏ؂���Ă������C
�ǂ�ȕ��z�ł����Ă��Ɍ��͐��K���z�ɂȂ�܂��B
���ɋ��͂ŗL�p�Ȓ藝�ł��邱�Ƃ��킩�邾�낤�B

\textbf{�Q�����z�̐��K�ߎ�}�������Ȃ��Ƃ��ɁC�ЂƂ��ӂ����邱�Ƃ�����B
�������␳�Ƃ�΂��ߎ����悭���邽�߂̃e�N�j�b�N�ł���B�Q�����z�͐����̒l��
�Ƃ闣�U�^�ŁC���
���K���z�͎����l���Ƃ�A���^�ł��邩��C���̂悤�ȕ␳������B

�m���ϐ�$X$���p�����[�^$n,p$ �̂Q�����z�Ƃ���Ƃ��C���S�Ɍ��藝����
����$np$,���U$np(1-p)$�̐��K���z$Y$�ŋߎ������B�܂��W�����K���z��
$Z$�Ƃ���ƁC���̂΂����̔������␳�Ƃ�
$$
\begin{array}{l}
  P(X=k) \fallingdotseq P(k-0.5 < Y <k+0.5) 
  = P\left(\dfrac{(k-0.5) -np}{\sqrt{np(1-p)}} < Z <\dfrac{(k+0.5)-np}{\sqrt{np(1-p)}}
       \right), \\ 
  P(i \leq X \leq j) \fallingdotseq P(i-0.5 < Y <j+0.5) 
  = P\left(\dfrac{(i-0.5) -np}{\sqrt{np(1-p)}} < Z <\dfrac{(j+0.5)-np}{\sqrt{np(1-p)}}
    \right)
\end{array}
$$ 




\section{�����̐���}
�֐��d���p�\�R���̕\�v�Z�\�t�g�ɂ́C�����𐶐�����@�\ 
randomize, rnd(), rand(), ran\# �Ȃǂ����B
�V�~�����[�V�����␔�l�v�Z�ɂ͂悭�p������B�������l�����Ƃ�΂����̂ł��邪�C
���v�E�m���̌��t�ł����΁C��l���z�ɂ��������m���ϐ��ł���B�����ɋc�_�����
�ł���߂Ƃ͉����Ƃ����T�O�܂Ő[���肵�Ȃ��Ƃ����Ȃ��̂ŁC�����ł�
�P�Ɍv�Z�@�̂���m���ϐ���M�p���Ă������Ƃɂ���B���̌v�Z�@���������m���ϐ�
�i�[����l�����j���炳�܂��܂Ȋm�����z�̃V���~���[�V�������l���悤�B
�ŏ��ɒP�ʋ��$[0,1]$��ň�l���z����m���ϐ���$U,U_1,U_2, \cdots$�ȂǂƂ��Ă����B

\textbf{�P���̃R�C������}�G
$  X= \left\{ \begin{array}{l} 1; \quad p,  \\ 0; \quad 1-p  \end{array} \right.$
������ɂ́C�����l $U$ �����$[0,p]$ �̓������C�����łȂ����Ƃ����ꍇ�����������Ȃ��B
\begin{center}
  \textbf{if} $0 < U < p$, \textbf{let} $X=1$, \textbf{else} $X= 0$.
\end{center}

\textbf{��������U��}�G
$ X= i; 1/6,  (i=1,2,3,4,5,6)$
�ɂ��Ă���Ɠ��l��$[0,1]$��ň�l���z����m���ϐ�$U$����C
\begin{center}
\begin{tabular}{l}
  \textbf{if} $0 \leq U < 1/6$, \textbf{let} $X=1$, \\
  \textbf{elseif} $1/6 \leq U < 2/6$, \textbf{let} $X=2$, \\ 
  \textbf{elseif} $2/6 \leq U < 3/6$, \textbf{let} $X=3$, \\
  $\cdots \cdots$ \\
  \textbf{elseif} $5/6 \leq U < �P$, \textbf{let} $X=6$.
\end{tabular}
\end{center}
�����̕��@�́C�t�ϊ��@�Ƃ�΂����̂ł���B
���邢�͂��鐔�𒴂��Ȃ���Ή�������֐�int()�������ƁC
\textbf{let} $X=int(6*U)+1$
�ł��悢���Ƃ��킩��B

\textbf{�����̃R�C������}�G����͂Q�����z�̃V�~�����[�V������
����΂�������C�P���̃R�C��������$n$��J��Ԃ��āC�a���Ƃ�B
����ɂ�$100$���̃R�C�������ł���΁C$100$���������Ȃ����
�Ȃ�Ȃ��B���̑���ɁC��̋t�ϊ��@�̂悤�ɂP�̈�l��������
�����@������B$n, p$�͗\�ߗ^���Ă����Ă���C
\begin{center}
\begin{tabular}{l}
  STEP.1 \textbf{let} $c= p/(1-p)$, $i =0$,  $pa = (1-p)^n$, $F= pa$.\\
  STEP.2 \textbf{if} $U < F$, \textbf{let} $X=i$,  STOP.\\
  STEP.3 \textbf{let} $pa= [c(n-i)/(i+1)]*pa$, $F=F+pa$, $i=i+1$.\\
  STEP.4 \textbf{goto} STEP2.
\end{tabular}
\end{center}

\textbf{���K���z�ɂ������������C���K����}�G
���S�Ɍ��藝�̉��p�Ƃ��āC���K�����𐶐�����B����ɂ�$12$�̈�l��������
�P�̐��K�����������B
\begin{center}
   \textbf{for} $i =1$ \textbf{to} 12,  $X= X + U_i$ \textbf{next} $i$,
   \textbf{let} $X = X-6$ 
\end{center}
�܂�C$12$�̈�l�������������āC���ꂩ��C�U�������Ƃ����C�ɂ߂�
�ȒP�ȃA���S���Y���ŁC���K����������B

\section{���K���z�̊m���v�Z}
���K���z�Ɋւ���m�����v�Z����ɂ́C���K���z�\����������B
���̕\�͕���$0$�C���U$1$�̕W�����K���z$Z$�̕��z�֐���\�ɂ܂Ƃ߂����̂ł��B
�����ɂƂ蓾��l$x$�i$-\infty$ ����$\infty$�j���Ƃ�
�c���� $\Phi(x)= P(Z \leq x)$��Ή������܂��B���x�֐��̍��E�Ώ̐�����C
���̒l�݂̂������Ă�����̂������ł����C���ꂩ��ł����ׂĂ̒l���v�Z�ł��܂��B
�A���^�ł��邱�Ƃ���C$P(Z \leq x) = P(Z < x)$�����藧�C���U�^�Ƃ��ƂȂ�C
�������܂܂�Ă��Ă����Ȃ��Ă������l�ł��邱�Ƃɒ��ӂ��܂��B

�������̓_�����グ��ƁC

\vspace{1ex}
\begin{tabular}{llllllllllll}
$x$ &
0.000 &   1.00 & 1.282  &  1.645  &  1.960  &  2.00  &   2.241  &   2.326  
          & 2.576   & 2.807  & 3.00 \\ \hline
$\Phi(x)$ &		  
.5000 &    .8413 & .9000 & .9500  &  .9750  &  .97725  &  .98745  &  .9900 
          &  .9950  & .9980  &.99865 \\
\end{tabular}
\vspace{2ex}


���K���z�\�́u�ϐ��̒l�v�Ɓu�i�l�ȉ��́j�m���v�̑Ή��𐔒l�v�Z�������̂ł����A
���ׂĂ͕\���Ă��܂���B���Ԃɂ���Ή������߂�ɂ́u���`��ԁv��
�����Ȃ��܂��B�O�p�`�̑����`�����p�������̂ł��B
�m��$\phi(x_i)=a_i, i=1,2$���^����ꂽ�Ƃ��A$a_1< \alpha  <a_2$��
�΂���l��$c=\dfrac{x_2-x_1}{a_2-a_1}(\alpha-a_1) + x_1$�ŋߎ�����܂��B

\vspace{2ex}
\textbf{���}
$$\begin{array}{l}
  (1) P(0<Z<1.2)=P(0< Z \leq 1.2) = P(0\leq Z <1.2)=P(0 \leq Z \leq 1.2) \fallingdotseq  0.3849		  
  \\
  (2) P(-1.2< Z <0) = P(0<Z<1.2) \fallingdotseq 0.3849 
  \\
  (3) P(-1.2< Z < 1) = P(0<Z<1.2) +P(0<Z<1) \fallingdotseq 0.3849 +0.3413=0.7262
  \\
  (4) P(Z<-1.2) = P(Z<0)-P(-1.2<Z<0)=0.5-P(0<Z<1.2) \fallingdotseq 0.5- 0.3849 = 0.1151
  \end{array}
$$



\begin{Toi}
�m���ϐ�$X$������$10$, ���U$4$�̐��K���z�ɂ��������Ƃ��C
���̒l�����Ƃ߂�B

(1)  $P(X \leq 13)$   \quad (2) $P( X > 11)$   \quad 
(3)  $P(9< X < 12)$   \quad (4)  $P(X < c)=0.1$ �𖞂���$c$�̒l
\end{Toi}

\begin{Toi}
���鑪����̌덷�͕���$0$, �W���΍�$0.2$(���U$0.2^2=0.04$)mm��
���K���z�ɂ��������B����
���ő���덷�� $0.5$mm�ȏ�ƂȂ�m���͂������i�q���g�G�덷��
�������l���邩��C��Βl�Ƃ��Ĉ��ȏ�ƂȂ�m�������߂�j
�i���Ӂj���̒����O�̎����ł͕W���΍���$2$�Ƃ��Ă��܂��̂ŁA
�W�L�̒l�ŉ𓚂��Ă��������B
\end{Toi}

\begin{Toi}
�|�A�\�����z�ɂ��āC$P(X=k+1)$��$P(X=k)$�̊֌W�� $(k= 0,1,2,\cdots )$��
�����C�Q�����z�Ɠ��l�ȃA���S���Y�������Ȃ����B
\end{Toi}

\begin{Toi}
�R�C����$400$�񓊂���Ƃ��C�\�̂ł��񐔂�
$180$��ȏ�C$210$��ȉ��ƂȂ�m���͂������H
�������␳�������āC���K���z�ߎ��Ōv�Z���Ȃ����B
\end{Toi}

\begin{Toi}
���S�Ɍ��藝�̉��p�Ƃ��āC���K���������߂���@�̍�����
�������Ȃ����B�i�q���g�G�a�̕��z�Ƃ��ĕ��ςƕ��U��
�v�Z���Ă݂Ȃ����j
\end{Toi}


\noindent
{\bf �u���Ӂv} �𓚂ɂ͐��K���z�\���������܂��B�����̃e�L�X�g�A���K�Q�l���ɂ�
�f�ڂ���Ă��܂��B�����K�v�Ȃ�΁A
���K���z�\�͍u�`HP�u���v�wA�v�́u���v���z�\�v�ɂ�����܂�����A[DownLoad]
���Ďg���Ă��������B

\end{document}
