\documentclass[a4paper]{jarticle}
%
%\title{���֌W���A��A����}
%
\usepackage{amsmath,amssymb,latexsym}
\pagestyle{empty}
%%�₢�̘g
%%\newcommand{\toi}[1]{\noindent\framebox[3em][c]{\bf #1}}
%��������̑傫���̎w��
\setlength{\topmargin}{-50pt}
\setlength{\oddsidemargin}{-3mm}
\setlength{\evensidemargin}{-3mm}
\setlength{\textheight}{25cm}
\setlength{\textwidth}{16cm}
\setlength{\footskip}{6mm}
%���������ς��Ƀe�L�X�g���͂ޘg
\newenvironment{FRAME}{\begin{trivlist}\item[]
  \hrule
  \hbox to \linewidth\bgroup
    \advance\linewidth by -30pt
    \hsize=\linewidth
    \vrule\hfill
    \vbox\bgroup
      \vskip15pt
      \def\thempfootnote{\arabic{mpfootnote}}%foot note to arabic
      \begin{minipage}{\linewidth}}{%
      \end{minipage}\vskip15pt
    \egroup\hfill\vrule
  \egroup\hrule
\end{trivlist}}

%�藝��
\usepackage{theorem}
\theorembodyfont{\upshape }
\theoremstyle{break}
\newtheorem{Def}{��`}[section]
\newtheorem{Toi}{��}[section]
\newtheorem{Thm}{�藝}[section]
\newtheorem{Lem}[Thm]{���}
\newtheorem{Cor}[Thm]{�n}
%
%  \begin{Thm}  ...  \end{Thm}
%

\title{���֌W���A��A����}
\date{}

\begin{document}
\maketitle 


\section{�U�z�}}
�P�̂������̕ϗʂŕ\�����i�f�[�^���x�N�g���ŗ^������j�ꍇ�ŁA
�Q�ϗʂ̃f�[�^�i���ʏ�̃f�[�^�j�ł���΁A
$$(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots,(x_n,y_n)$$
���ʏ�Ƀv���b�g�����}���U�z�}�Ƃ����B
�܂��R�ϗʂ̃f�[�^�i��ԏ�̃f�[�^�j�ł���΁A���̂悤�Ȍ`���f�[�^�ł���B
$$(x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2)\cdots,(x_n,y_n,z_n)$$

���̂悤�ȃf�[�^�𐮗�����ɂ́A���낢��ȕ��@�����邪�A2�ϗʃf�[�^��
���āA���̂悤�ȊT�O���d�v�ł���B

[�����U] 

2�ϗʂ̊Ԃ̑S�̓I�Ȃ΂������l����B
��̕ϐ��̑����ɂ��āA�����������ł���΁A���̒l�A�t�̏ꍇ�ɂ́A
���̒l���Ƃ�B�������͂����肵�Ȃ��Ƃ��ɂ́A�[���ɋ߂��l�ƂȂ�B
���̑��֌W���ƑΉ�����B
  $$
   s_{XY} =
    \frac{1}{n} \sum_n \{ (X_i - \overline{X})(Y_i - \overline{Y})\}
  $$

\section{���֌W��}
���֌W��

 �����U���e�ϗʂ̕W���΍��Ŋ���������́B
  $$
     \rho = \frac{s_{XY}}{s_X s_Y} = \frac{s_{XY}}{\sqrt{s_X^2 s_Y^2}}
     = \frac{1}{n}\sum_n \left(\frac{X_i -\overline{X}}{s_X} \right)
       \left(\frac{Y_i -\overline{Y}}{s_Y} \right)
  $$
  $-1 \leq r \leq 1$ �����藧���A��Βl���P�ɋ߂��Ƃ��ɂ͒����X���������A
  ��Βl���[���ɋ߂��Ƃ��ɂ́A�����X�����݂��Ȃ����Ƃ��Ӗ�����B

\section{�Ȑ��̓��Ă͂�}

�Ȑ��̓��Ă͂߁A�ŏ�2��@ 

�U�z�}���炠����x�̒����I�Ȋ֌W������
  �Ƃ��A������
  2�ϗʃf�[�^�ɒ��������̊�œ��Ă͂߂�B
   $$\sum_i (Y_i - a - b X_i)^2$$
  ���ŏ��ɂ���悤��$a,b$�����߂�B

[��A����]
   ���̕��@���ŏ�2��@�Ƃ����A���߂�������$Y$��$X$�ւ̉�A�����Ƃ����B
   �ŏ�2��@�Œ�߂������̌W������A�W���Ƃ����B
   $$
     b = \frac{s_{XY}}{s_X^2} = r \frac{s_Y}{s_X}, \quad
     a = \overline{Y} - r \frac{s_Y}{s_X}\overline{X}
   $$





\begin{Toi}
���֌W���͐��`�ϊ������Ă������l�ɂȂ邱�Ƃ������Ȃ����B
�܂�$(X_1,Y_1),\cdots,(X_n,Y_n)$��
$(aX_1+b, cY_1+d),\cdots,(aX_n+b,cY_n+d)$�i������$ac>0$�j
�Ƃ͓������֌W�������B
\end{Toi}


\begin{Toi}
�^����ꂽ2�ϗʃf�[�^$X,Y$�����ʃf�[�^�ł���Ƃ��A
���Ȃ킿���ꂼ�ꂪ$1,2,3,\cdots,n$�܂ł����ʂÂ����Ă��āA
���ёւ������̂ł���B�����������ʂ͂Ȃ��Ƃ���B���̂Ƃ��ɂ�
���֌W����
$$
  r = 1- \frac{6\sum_i d_i^2}{n(n^2-1)}, \ \ (d_i = X_i - Y_i)
$$
�ŗ^�����邱�Ƃ������Ȃ����B������X�s�A�}���̏��ʑ��֌W���Ƃ����B
\end{Toi}

\section{���ϗʃf�[�^�̉��}

\subsection{��A����}

���܂Q�̕ϐ� $(x, y)$ �̊ԂɈꎟ�̊֐��֌W $y =\alpha+\beta x$ ��������̂�
����B $x$ �̒l��^����ƁA�W�� $\alpha, \beta$ �����m�Ȃ�΁A $y$ �̒l���߂�
���Ƃ��ł���B��̓I�ȗ�Ƃ��āA����덷�ȂǁE�E�E 
�������A���܂��̍\�����̒��Ɋm���ϓ��̗v�f�������ƍl���悤�B�ϑ��l $y$ ��
�Ȃ��ɂ͊m���ϐ����܂܂��Ƃ���B���� $n$ �̃f�[�^
$$  (x_1 , y_1 ) ,  (x_2 , y_2 ) , \cdots ,  (x_n , y_n ) $$  
�ɂ���
$$
     y_i = \alpha + \beta x_i +\epsilon_i, \quad i=1,2,\cdots
$$
�Ȃ�֌W������A���� $\epsilon_i$ �́A�e $i$ �ɂ��ēƗ��œ���̕��z
 $N(0,\sigma^20)$ �ɂ��������Ƃ���B���Ȃ킿�e $x_i$ ���w�肳���ƁA
��̎��Œ�܂� $y_i$ �� $\epsilon_i$ �ɂ���Ċm���ϓ����A���� $\mu_i$ �́A
$\alpha + \beta x_i$ �A���U $\sigma_i^2 = \sigma^2$ (���)�̐��K���z�ɂ��������B

���̂悤�ɂQ�̕ϐ��Ԃ��ꎟ���Ō��΂�ĕϓ�����悤�Ȋ֌W��
{\bf ���`��A���f��} (Linear Regression Model)�Ƃ�ԁB
�ϐ� $x$ �̂��Ƃ�
{\bf �����ϐ�} �iexplanatory variable)�܂���
�Ɨ��ϐ�(independent variable)�Ƃ�сA����ɑ΂���ϐ� $y$ �̂��Ƃ�
{\bf �]���ϐ�} �idependent variable)�Ƃ����B��ʂɁA�����ϐ���
��m���I�Ȃ��̂Ƃ���B�W�� $\alpha, \beta$ �� {\bf ��A�W��} 
�iregression coefficient)�Ƃ�сA����͖��m�̕ꐔ�ł���B 
 $x$ ��^���Ċϑ����ꂽ $y$ �̒l���f�[�^�Ƃ��āA���̉�A�W���𐄒肷�邱�Ƃ�
���ƂȂ�B

��A�W���̐���ɂ́A�K�E�X�ɂ��{\bf �ŏ��Q��̌���} 
(principle of minimum square)�Ɋ�Â��B���� $n$ �̃f�[�^�F
$$
  (x_1 , y_1 ) ,  (x_2 , y_2 ) , \cdots ,  (x_n , y_n )  
$$
���^����ꂽ�Ƃ���B���m�p�����|�^ $\alpha,\beta$ ��
$$
  S(\alpha�C\beta)= \sum_{i=1}^{n} (y_i - (\alpha + \beta x_i))^2 
$$
���ŏ��ƂȂ�悤�Ɍ��肵�悤�ƍl����B���̂悤�ȕ��@��{\bf �ŏ��Q��@} 
(least square method)�Ƃ�ԁB�f�[�^�͌Œ肳��Ă��āA$\alpha$��$\beta$���ǂ�Ȓl��
�����Ă�

$$
  S(\hat\alpha�C\hat\beta) \le S(\alpha�C\beta)
$$
�𖞂����ŏ��l$\hat\alpha,\hat\beta$ �����߂悤�Ƃ���킯�ŁA���̂悤�ɂ��Ē�܂�
�W���̒l��{\bf �ŏ��Q�搄��l} �Ƃ�ԁB $y=\alpha+\beta x$ �͒����̕������ł���
����A�W����ω������邱�Ƃ́A���낢�뒼���𓮂������ƂŁA�ŏ��Q��@�Ƃ͊e�_
�ł̎c��  $y_i - \alpha - \beta x_i$  �̂Q��a���������Ȃ�悤���������Ă͂߂悤��
���邱�Ƃł���B

���ہA$\hat\alpha, \hat\beta$ �����肷��ɂ́A�����ϕ��w�̋ɒl�����g���āA�܂�
�K�v�����Ƃ���  $S(\alpha,\beta)$ �ɑ΂���Q�ϐ��̔����W�����[���Ƃ�����������
�����A�ŏ��l�̌������߂�B���Ȃ킿�A
$$
 \begin{array}{lll}
  \dfrac{\partial S}{\partial \alpha}  
   &=&  -2 \sum_{i=1}^n (y_i - \alpha - \beta x_i ) = 0 \\
 \noalign{\vspace{.5em}}
  \dfrac{\partial S}{\partial \beta} 
   &=&  -2 \sum_{i=1}^n x_i (y_i - \alpha - \beta  x_i )  = 0 \\
 \end{array}
$$
����𐮗������
$$
 \left\{
   \begin{array}{lr}
     n\alpha + (\sum x_i)\beta = \sum y_i &  \cdots\cdots (1) \\
     (\sum x_i)\alpha + (\sum x_i^2)\beta = \sum{ x_iy_i} & \cdots\cdots (2) 
   \end{array}
 \right.
$$
�𓾂�B����� {\bf ���K������} (normal equation) �Ƃ�ԁB $\alpha$ �� $\beta$ ��
�ւ���Q���A�����`�������ł���B $(1)$ ���A $\alpha=\overline{y} -\beta\overline{x}$ 
(������ $\overline{x}$ ��,  $x_1 , \cdots, x_n$  �̕��ϒl�A$\overline{y}$ ��  
 $y_1 ,\cdots, y_n$  �̕��ϒl)�ƂȂ邩��A$(2)$ �ɑ�����āA$\beta$ �𓾂�B
����� $\alpha$ ��������B�������ē��� $\alpha, \beta$ �̒l��
$$
 \begin{array}{ll}
  \hat\alpha &= \overline{y} - \hat\beta\overline{x} = \overline{y} - \dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_{xx}}\overline{x} \\
 \noalign{\vspace{.3em}}
  \hat\beta &= 
    \dfrac{\textstyle{\sum_i}( x_i - \overline{x})(y_i - \overline{y})}
           {\textstyle{\sum_i}( x_i - \overline{x})^2} = \dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_{xx}}\\
 \end{array}
$$
������ $\sigma_{xx}$ �� $\sigma_{xy}$ �͂��ꂼ�� $x, y$ �ɂ��Ă̕��U�A�����U��
�\���Ƃ���B����ɁA���܋��߂��l�ɑ΂��ċɒl���̏\������ 
 $S_{\alpha\beta}^2 - S_{\alpha\alpha} S_{\beta\beta} < 0$ �𒲂ׁA����𖞂����Ă���
���炱�Ƃ��킩��B�ȏ�ɂ�苁�߂钼���̕�������
$$
 y - \overline{y}  =   \dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_{xx}} (x - \overline{x})
$$
�ŗ^�����A���̉�A�����͓_ $({\bf X}, \overline{y})$ 
��ʂ�A�X����  $\dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_{xx}}$  �ł���B

���ɍŏ��Q��@�̊􉽓I�Ӗ����l���悤�B�^����ꂽ�\����\�����f���̎���
$$
 y_i = \alpha + \beta x_i + e_i, \quad i=1,\cdots,n
$$
�Ə����Ă�������A�܂�������x�N�g����s���p���ĕ\���B
$$
 \left[ \begin{array}{l} y_1 \\
                         y_2 \\
                         \vdots \\
                         y_n \\ \end{array} \right]
  =  \left[ \begin{array}{ll} 1 & x_1 \\ 
                              1 & x_2 \\ 
                              \vdots & \vdots \\
                              1 &  x_n \\ \end{array} \right]
 \left[ \begin{array}{l} \alpha \\ 
                         \beta \\ \end{array} \right]
 + 
 \left[ \begin{array}{l} e_1 \\ 
                         e_2 \\ 
                         \vdots \\
                         e_n  \end{array} \right]
$$
�܂�A�s��ƃx�N�g�����g����
$$
  {\bf y} =  {\bf X \beta}  + {\bf e}
$$
�����`��A���f���̕\���ł���B������
$$
 {\bf y} = \left[ \begin{array}{l} y_1 \\
                                  y_2 \\
                                  \vdots \\
                                  y_n \\ \end{array} \right], 
 {\bf X} = \left[ \begin{array}{ll} 1 & x_1 \\ 
                                   1 & x_2 \\ 
                                   \vdots & \vdots \\
                                   1 & x_n \\ \end{array} \right], 
 {\bf \beta} = \left[ \begin{array}{c} \alpha \\
                                     \beta \\ \end{array} \right], 
 {\bf e} =  \left[ \begin{array}{c} e_1 \\
                                   e_2 \\
                                   \vdots \\
                                   e_n \\ \end{array} \right]. 
$$

�s��̓]�u(transpose)��\�����߁A����� $t$ ������Ƃ��悤�B
$$
  {}^t{\bf X} = \left[\begin{array}{llll} 
                          1    & 1    &  \cdots & 1 \\
                          x_1  & x_2  &  \cdots & x_n  \\
                  \end{array}\right]
$$
�����p����ƁA���K��������
$$
  [{}^t{\bf X}{\bf X}] {\bf \beta }  =  {}^t{\bf X} {\bf y }  
$$
�Ə�����B�Q���̐����s��
$$
 {}^t{\bf X}{\bf X}  =
 \left[ \begin{array}{ll}  n       &  \sum x_i   \\
                           \sum x_i & \sum{ x_i}^2  \\ \end{array} \right] 
$$
���l����ƁA���̍s��(determinant)��
$  n  \sum_i  x_i^2 -  (\sum x_i)^2 $
 �ŁA����� $n^2$ �Ŋ���ƕ��U $\sigma_{xx}$ �ł��邩��A0�łȂ��Ƃ��Ă悢�B
���������čs��͐����ł���B�t�s�񂪑��݂��邩��
$ {\bf \beta} = [{}^t {\bf X} {\bf X}]^{-1} {}^t {\bf X} {\bf y} $
��A�����͂���������
$ {\bf y} = {\bf X}[{}^t {\bf X} {\bf X}]^{-1} {}^t {\bf X} {\bf y} + {\bf e}$
�ƂȂ�B���̎��ɂ����ĉE�ӂ� ${\bf y}$ �̌W���s��� $P$ �Ƃ����ƁA
$$
 P =  {\bf X} \left[ {}^t {\bf X} {\bf X} \right]^{-1}{}^t {\bf X} 
$$ 
���� $P$ �͂��𖞂����Ă���B
\begin{enumerate}
 \item[1)]   $P^2 = P$ (�x�L���Ƃ���)
 \item[2)]   ${}^t P = P$ (�Ώ̂Ƃ���)
\end{enumerate}
��ʂɂ��̂悤�ȍs����W���Ƃ��Ē�܂���`�ʑ���{\bf �ˉe} (projection)�Ƃ����B  $
{\bf y} = \left[ y_1 y_2 \cdots y_n \right] 
$
�� $n$ �����x�N�g����Ԃ̓_�ŁA $P{\bf y}$  �͂Q�����x�N�g�����(����)�̓_�ŁA
${\bf y}$ ���ˉe�����x�N�g���ƂȂ�B

\begin{figure}[h]
              �}
\end{figure}







 ${\bf y} =  P{\bf y} + {\bf e}$  ��� ${\bf e}= ({\bf I} - P){\bf y}$   ${\bf I}$ �͒P�ʍs��B

�c���x�N�g�� ${\bf e}$ �� $n$�����x�N�g���̓_ ${\bf y}$ ���Q�����x�N�g����Ԃ�
���낵��
������\���B����
$$
 {\bf \beta} =  \left[ {}^t {\bf X} {\bf X}  \right]^{-1}  {}^t {\bf X} {\bf y}  
$$
�łȂ���ʂ� ${\bf \beta}$ ��p����ƁA${\bf y} =  {\bf X} {\bf \beta} + {\bf e}$  �ł���A
���̂Ƃ��̎c���x�N�g���� ${\bf e}= {\bf y} - {\bf X} {\bf \beta}$ �� ${\bf e}=({\bf I} - P){\bf y}$ 
�Ɣ�ׂ�΁A�x�N�g���̑傫���͒����Ȃ��Ă���B���ꂪ�ŏ��Q��@�̊􉽓I�Ӗ���
����B

���� $\alpha$�A$\beta$ �̂��ꂼ��̐���l $\hat \alpha$�A$\hat{\beta}$ ��  
$S(\alpha,\beta)$  �ɑ�������ŏ��l��  $\sum_i (y_i -\hat{y_i})^2$  �ƂȂ�A
�����{\bf �c�������a} (sum of square of residue)�Ƃ����A$n-2$�Ŋ��������̂�
{\bf �c�����U} (variance of residue)�Ƃ�ԁB 
$$
 S_e =  \dfrac{1}{n - 2} \sum_{i=1}^{n}(y_i - \hat{y}_i)^2  
$$
���̎��͂��̂悤�ɕό`�ł���B
$$
\begin{array}{ll}
 \sum_i (y_i - \hat{y_i} )^2  
   &= \sum (y_i - \overline{y})^2 -  2 \hat\beta \sum (y_i - \overline{y} )( x_i - \overline{x} ) 
   + \hat\beta^2 \sum ( x_i - \overline{x} )^2 \\
   &= \sum (y_i - \overline{y})^2 - \hat\beta a^2 \sum ( x_i - \overline{x})^2 \\
   &= \sum (y_i - \overline{y})^2 - \sum(\hat y_i - \overline{y})^2 \\
\end{array}
$$
�䂦��
$$
 \sum(y_i -  \overline{y})^2  =  \sum (\hat{y_i} -\overline{y} )^2  +  \sum (y_i -\overline{y})^2 
$$
�����藧�B���̎��� $y$ �̑S�ϓ�  $\sum_i (y_i -\overline{y})^2$  ����A�ɂ��ϓ�
  $\sum_i (\hat{y_i} - \overline{y} )^2$  �Ǝc���ϓ�  $\sum_i (y_i -\overline{y} )^2$  ��
��������邱�Ƃ������Ă���B �ϗ� $y$ �̑S�ϓ��̂����A��A�ɂ��ϓ��̐�߂�
�����A
$$
 \rho= 
 \dfrac{\textstyle{\sum}(\hat{y_i}- \overline{y})^2}{\textstyle{\sum}(y_i-\overline{y})^2} 
$$
����A��{\bf ����W��} (coefficient of determination)�Ƃ����B����$\rho$�̒l��
�P�ɋ߂���΁A$y$ �̕ϓ��̑啔���� $x$ �ɑ΂����A�ɂ���Đ�������邱�Ƃ�
�Ӗ����A�����A0�ɋ߂���� $y$ �̕ϓ��̐����� $x$ �͂قƂ�ǖ��͂ł��邱�Ƃ�
�Ȃ�B

�܂�
$
 \dfrac{1}{n} \sum_i (\hat{y_i} -\overline{y} )^2   
 =  \dfrac{2\hat\beta}{n} \sum_i (y_i-\overline{y})( x_i-\overline{x}) - \dfrac{\hat\beta^2}{n}
  \sum_i ( x_i - \overline{x} )^2  =  \dfrac{\sigma_{xy}^2}{\sigma_{xx}}
$
���
$$
 \rho =  \sigma_{xy}^2 / \frac{\sigma_{xx}}{\sigma_{yy}} 
      =  \dfrac{\sigma_{xy}^2}{\sigma_{xx}\sigma_{yy}} 
$$
���������� $\sigma_x^2 =\sigma_{xx},\>  \sigma_y^2 =\sigma_{yy}$ �ł��邩��
$$
  \sqrt{\rho} =  \dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_{x}\sigma_{y}} 
$$
���Ȃ킿��A�̌���W��$\rho$�̕������� $x$ �� $y$ �Ƃ̑��֌W���ƂȂ�D


\vspace{2cm}

\subsection{�听������}

  �听�����͂Ƃ͑��ϗʃf�[�^���������Ȃ�ׂ����Ȃ����ƂȂ��A�k�񂷂邽�߂�
���v�I��@�ł���B���Ƃ��΁A�w���̐��w������O���ƌ���̂Q�񂨂��Ȃ���
���уf�[�^���^����ꂽ�Ƃ���B���̑��֌W���͂������A����̐��т��ǂ���Α�����
�悢�Ƃ����X�����F�߂���ł��낤�B�P�ɎZ�p���ς�����̂ł͂Ȃ��A�Q�̐��т�
���l���P�̑�\�l�ɂ܂Ƃ߂邱�Ƃ��l����B�܂��p��̐��тƐ��w�̂���Ƃ�
�܂Ƃ߂�ꍇ�������l�ɍl������B���� $n$ �̂Q�����f�[�^
$$
  (x_1, y_1) ,(x_2 , y_2 ) , \cdots , (x_n , y_n )   
$$
���^����ꂽ�Ƃ���B������
$$
  z_i = a  x_i + b y_i , \> i=1,2,\cdots,n 
$$
�Ƃ������`�ϊ����{���āA�Q�����f�[�^���P�����ɏk�񂷂�B�Q�����f�[�^�̏��
�Ȃ�ׂ����Ȃ��Ȃ��悤�k�񂷂�ɂ́A�ǂ̂悤�ȕϊ����s���΂悢���낤���H 
�܂����̐��`�ϊ����􉽓I�ɂǂ������֌W��\���Ă��邩���l���悤�B���_��
�_ $(a,b)$ ������łł��钼�����������ĐV��������݂���B�^����ꂽ�Q����
�̓_ $(x,y)$ ���炱�̎��ɐ����ɂ��낵�������̑��� $z$ �Ƃ����΁A���`�ϊ���
�Q�����f�[�^�̓_  $( x_i, y_i)$ ��Ή�����V��������̓_ $z_i$ �ɑΉ��A�ڂ���
�����ƁA���ʂ̓_�����̎��̂����Ɏˉe�����Ă���B


\begin{figure}[h]
                  �}
\end{figure}

���̐��`�ϊ��ɂ���ĂQ�����̃f�[�^�Ƃ��ĎU��΂�A�L�����Ă������̂��A�P������
�V��������̓_�Ƃ��ĕ��ъ�����ꂽ���ƂɂȂ�B���������Ė��́A�U�z���Ă���
�f�[�^���A�Ȃ�ׂ����̓������悭��\����悤�A�K�؂Ȏ���I�Ԃ��ƂɂȂ�B�f�[�^
�̓������\����Ƃ����l���������A���U�̍ő剻�A���Ȃ킿�̂̎��ʌ��ʂ�傫��
���邱�ƂƈӖ��Â��Ă݂�B�܂��W�� $a, b$ �̖����͒����̕��������߂Ă���B �_ 
$(a,b)$ ��P�ʉ~����̓_�A����������ƁA�x�N�g��  
$\left[ \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right]$  �̒����� 1 �A
$a^2 + b^2 = 1$ �𖞂����Ƃ��Ă悢�B
���̗���ɗ��Ă΁A���� �m�����F $a^2 + b^2 = 1$ �̉��ŁA $z = ax + by$ ��
���U
 $\sigma_z ^2 =  a^2 \sigma_x^2  + 2 a b \sigma_{xy} +  b^2 \sigma_y^2 $
���ő�ɂ���B�n �Ƃ����`�ɋA�����ꂽ�B  ���Ă��̏������ő剻����������
����΂Ȃ�Ȃ��B���`�㐔�ɂ�����Ώ̍s��̑Ίp����p���悤�B�x�N�g���ƍs���
�������āA�ړI�֐���\������ƁA���U�Ƌ����U��v�f�Ƃ���Ώ̍s��(����𕪎U
�����U�s��Ƃ���)
$\sigma = \left[ \begin{array}{cc} \sigma_x^2  &  \sigma_{xy} \\
                                   \sigma_{xy} & \sigma_y^2  \end{array}\right]$
 �Ƃ�����
$$ 
   \sigma_z^2 =  a^2 \sigma_x^2  + 2 a b \sigma_{xy} +  b^2 \sigma_y^2 
   =  (a,b)  \sigma \left[ \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right]
$$
����̓x�N�g��  $\left[ \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right]$  
�Ɋւ���Q���`���ƌĂ΂��B�W���s���
�Ώ̂ł��邩��A�K���Ȓ����s�� $P$ ��p���āA
$$
  P^{-1} \sigma P 
    = \left[\begin{array}{ll} \lambda_1 & 0 \\
                              0         & \lambda_2 \end{array} \right] 
    = \Lambda 
$$
�ƑΊp���\�ł���B(�ڂ����͐��`�㐔�̃e�L�X�g���Q�l�ɂ��ꂽ��)�B������ 
$\lambda_1, \lambda_2$ �͍s�� $\sigma$ �̌ŗL�l�ł���B���ہA
�W���s�� $\sigma - \lambda {\bf I}$ �̍s�񎮂� 0 �Ƃ����Q���������F
$$
  \lambda^2 -  (\sigma_x ^2 + \sigma_y ^2 )\lambda 
    +  \sigma_x ^2 \sigma_y^2 - \sigma_xy ^2 = 0 
$$
����A�Q�� $\lambda_1,\lambda_2$ ���ŗL�l�ł������B�������͂Ƃ��ɌŗL��������
��΂�Ă���B
��̎��ɂ����� $\sigma$ ��
$\sigma = P\Lambda P^{-1}$
�Ƃ��ĖړI�֐��̎��ɑ������ƁA
$\sigma_z^2 =  \lambda_1 \tilde a ^2  +  \lambda_2 \tilde b ^2 $
�ɓ������B
������ �x�N�g�� 
$ \left[ \begin{array}{c} \tilde{a} \\
                          \tilde{b} \end{array} \right] 
  = P^{-1} 
    \left[ \begin{array}{c} a \\
                            b \end{array} \right]$.
���̌ŗL�l�̐������݂�ƁA�ŗL�������̔��ʎ����Q�̉��͎������ŁA
 $\sigma_x ^2 + \sigma_y ^2  \ge 0 , \quad
 \sigma_x ^2 \sigma_y^2 - \sigma_{xy}^2 \ge 0$ ���Q���Ƃ��񕉂łƂȂ��Ă���B
���������āA������p���� 
 $\lambda_M = \max ( \lambda_1 , \lambda_2 ) , \quad
 \lambda_m =  \min( \lambda_1 , \lambda_2 ) $ 
�Ƃ�����, 
$
 \lambda_M = \lambda_M \tilde{a}^2 + 
 \lambda_M \tilde{b}^2 
    \ge \lambda_1 \tilde{a}^2 + \lambda_2 \tilde{b}^2 
    \ge \lambda_m \tilde{a}^2 + \lambda_m \tilde{b}^2 
     = \lambda_m 
$
����A���ǁA $z$ �̕��U $\sigma_z^2$ �͍ő�l���s�� $\sigma$ �̍ő�ŗL�l�ƂȂ�A
�ŏ��l�͍ŏ��ŗL�l�ƂȂ�B
���̂悤�ɂ��Ė��̍ő�l�͕��U�����U�s��̍ő�ŗL�l�ł��邱�Ƃ�������B
�܂� $\sigma = P \Lambda P^{-1}$ ���
�g���[�X�̒l�͕ς�Ȃ��A
$\mbox{tr}(\Lambda) = \mbox{tr}(P\Lambda P)^{-1} = \mbox{tr}(\Lambda)$ �B
���Ȃ킿
$ \sigma_x^2 + \sigma_y^2  =  \lambda_1 + \lambda_2 $
�Ƃ����֌W��������B���̎�����A���Ƃ̃f�[�^�Ɛ��`�ϊ����ꂽ�f�[�^��
�Q�ɂ́A���U�̍��v�������Ƃ����Ӗ��œ������������ƂƂ炦�邱�Ƃ��ł���B

���ɑ�؂ȃ|�C���g�Ƃ��ẮA����ꂽ�ŗL�l�̑傫�������ł���B���ܑΊp������
���߂̒����s�������x�N�g���̏����������āA�ŗL�l���傫�����̂��珬��������
�ւƂȂ�Ԃ悤�ɂ���B $\lambda_1  \ge \lambda_2 $
���̂悤�ɂ���ƍő�ŗL�l�ɑ΂����ꐬ�������U�̘a  
 $\lambda_1 + \lambda_2$  
�̂����A�ł��傫�ȏ����܂ށB 
 $\dfrac{\lambda_1}{\lambda_1 + \lambda_2}$  
���̒l���傫����Α傫���قǁA��P���������ő������̃f�[�^���k�񂵂Ă���A
��P�����łQ�����f�[�^������ł��Ă��邱�ƂɂȂ�B
���ׂĂ̌ŗL�l�̑��a�̒��łP�̌ŗL�l�̐�߂銄������^���Ƃ�сA
���̒l�̍ő�l�ɑ΂��鐬������P�听���A���̂��̂���Q�听���Ƃ�΂��B
�ő�ŗL�l�ɂ�������ŗL�x�N�g����
  $\left[ \begin{array}{c} a^* \\
                           b^* \end{array} \right]$  
�Ƃ���ƁA���`�ϊ�
 $z =  a^* x + b^* y$  
���A�ϐ� $z$ �̕��U���ł����������Ȃ�悤�ȕϊ��ł���A�Q�����f�[�^ $(x,y)$ ��
�P�����f�[�^ $z$ �Ɋ�^��  $\dfrac{\lambda_1}{\lambda_1 + \lambda_2}$ �ŏk��
������P�听���ł���B


�ϗʂ� $(x,y,z)$ �̂R�ł����Ă��A���̃f�[�^�� $w = ax + by + cz$ �ƂP�����ɏk�񂷂邱�Ƃ��l������B
�R������ԂɌ��_���牄�т钼���������A�����V�������Ƃ��āA��Ԃ̓_�����̎��̏�Ɏˉe���ĕ��ׂ�B����ɕ��񂾓_�̕��U���Ȃ�ׂ��傫���Ȃ�悤���������߂�B���̂Ƃ����A�R���̑Ώ̍s��͒����s��őΊp������A���U�����U�s��ɑ΂���ő�ŗL�l�����̍ő啪�U�ŁA�Ή�����ŗL�x�N�g�������̕��������肷��̂ł���B����ɑ傫���̏��ɌŗL�l���Ȃ�ׁA��P�听���A��Q�听���Ƃ��Ă����B���̂悤�ɁA�^����ꂽ�������̃f�[�^���Ȃ�ׂ����Ȃ����̎听���Ő������悤�Ƃ������Ƃ��听�����͂ł���B




���D 

�ϗ� $x, y$ �̕��ρA���U�A�����U��
 $\overline{x} = k,  \overline{y} = l, \sigma_x^2 = A , \sigma_y^2 = B, \sigma_{xy} = C$
�Ɨ^����ꂽ�Ƃ��A
 $z = ax + by $
�̕��U���傫���Ȃ�悤 $a, b$ ���߂�B
���D

���U�����U�s���
$\left[ \begin{array}{cc} A & C \\
                          C & B \end{array}\right]$  �B
�ŗL��������
$ \lambda^2 - ( A + B )\lambda + AB - C^2 = 0 $
�ł��邩��A���� $\lambda_1 \ge \lambda_2$ �Ƃ���
$a$ �� $b$ �ɂ��񂷂�A��������
$$\left\{ \begin{array}{ll}
 ( A - \lambda_1 ) a + C b  & = 0 \\
  C a + ( B - \lambda_1 ) b  & = 0 \\
 \end{array} \right. 
$$
�����߁A $a^* = \dfrac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \>
         b^* = \dfrac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$
�Ƃ����A
 $z =  a^* x + b^* y  $
�����U�ő�ƂȂ��\�l�ł���B


\end{document}
