\documentclass[a4paper]{jarticle}
\usepackage{amsmath,amssymb,latexsym}
\pagestyle{empty}
%%�₢�̘g
%%\newcommand{\toi}[1]{\noindent\framebox[3em][c]{\bf #1}}
%��������̑傫���̎w��
\setlength{\topmargin}{-50pt}
\setlength{\oddsidemargin}{-3mm}
\setlength{\evensidemargin}{-3mm}
\setlength{\textheight}{25cm}
\setlength{\textwidth}{16cm}
\setlength{\footskip}{6mm}
%���������ς��Ƀe�L�X�g���͂ޘg
\newenvironment{FRAME}{\begin{trivlist}\item[]
  \hrule
  \hbox to \linewidth\bgroup
    \advance\linewidth by -30pt
    \hsize=\linewidth
    \vrule\hfill
    \vbox\bgroup
      \vskip15pt
      \def\thempfootnote{\arabic{mpfootnote}}%foot note to arabic
      \begin{minipage}{\linewidth}}{%
      \end{minipage}\vskip15pt
    \egroup\hfill\vrule
  \egroup\hrule
\end{trivlist}}

%�藝��
\usepackage{theorem}
\theorembodyfont{\upshape }
\theoremstyle{break}
\newtheorem{Def}{��`}[section]
\newtheorem{Toi}{��}[section]
\newtheorem{Thm}{�藝}[section]
\newtheorem{Lem}[Thm]{���}
\newtheorem{Cor}[Thm]{�n}
%
%  \begin{Thm}  ...  \end{Thm}
%

\title{���Ғl�A�m�����z}
\date{}

\begin{document}
\maketitle 

\section{�m�����s�Ɗm���ϐ�}

�m�����s
�R�C������
\textbf{�m���ϐ�}�Ƃ�
�����̌���$\Omega$���琔�l�i�����j��Ή����������
��ʂ� $\{ X \leq a \} = 
   \{ \omega \in \Omega \vert X(\omega) \leq a \}$
�ƕ\���C���ꂪ���ۂƂȂ���́B���Ȃ킿
$\{ X \leq a \} \in \cal{F}$�Ƃ��܂��B

�T���̃R�C���𓊂��āC�\�̂ł�������$X$�Ƃ����΁C�e���ʂ�
$H$�i�\�CHead�j�C $T$�i���CTail�j���g���ƁC
$\{X=0\} = \{ TTTTT\}$�C 
$\{X=2\} = \{ HHTTT, HTHTT, \cdots, TTTHH\}$ �C
$\{X=3\} = \{ HHHTT, HHTHT, \cdots, TTTHH\}$ 
�ƂȂ�܂��B�܂�$\{X \leq 2\} = \{ X=0\} \cup \{ X=1\}
\cup \{ X=2\}$,  
$\{X \leq \sqrt{2}\} = \{ X=0\} \cup \{ X=1\}$ �Ȃǂ�
���藧���܂��B����͏W���̕�܊֌W�ŗv�f�������ł��邱�Ƃ�\���Ă��܂��B


\section{�m�����z}
�R�C�������₳������U����J��Ԃ��āA���̎������ʂ𐮗��܂Ƃ߂Ă����ƁA����X�������߂��܂��B���Ƃ��΁C�T���̃R�C���𓊂��āC
�����\���o�������L�^���Ă��܂��B��̂��̂悤�Ȏ����ł́A�m���I�ɕϓ����܂�����A�N����₷���Ƃ���A�N����Ȃ��Ƃ���̑召�ŁA������`�����O���t���L�q���v�Œ��ׂ��x�����z�\�ł��B����ɑ΂��āC���_�I�ɂ��邢�͉��z�I�ɂ��ꂼ�ꂻ�̂��炢�̉\�������邩���v�Z���܂��B���ꂪ�C�R�C�������̊m�����z�ł��B
�R�C�������̕��z�ł́C�\�����ł��邾�����׏グ�āC���Ă͂܂�̎��ۂ̑傫���𑪂�܂��B�܂�m�����v�Z���܂��B���̂Ƃ��ɂ悭�p����T�O���Q���W���ȂǂŁC�ꍇ�̐��������悭�����グ�悤�Ƃ�����̂ł��B��̗�ł����΁C$2^5$�ʂ�̌��ʂ���C�\���P���o�鎖�ۂ�
�T�ʂ肠��̂ŁC$P(X=1) = \frac{5}{2^5}$�ƂȂ�܂��B

\textbf{�a�̕��z�G}�����̃R�C���𓊂���ꍇ�ł́C�e�R�C���̌��ʁi�\���P�C�����[���j���܂Ƃ߂āC�a�����ƁC�\�̏o�������ƂȂ�܂��B��ʂɂ���͘a�̕��z���v�Z���邱�Ƃł��B�Ɨ��Ȋm���ϐ��ɂ��āC
$$P(X_1+X_2 =a) = \sum_k P(X_1 = k) P(X_2 = a-k)$$

\textbf{�������z�i�������z�j�G} �Q�ϗ�$(X,Y)$�̌��ʂɂ��āC�ώ���$\{X=a\}\cap \{Y=b\}$ �� $(X,Y)=(a,b)$�ƕ\���C$f_{X,Y}(a,b)=P(X=a,Y=b)$�𓯎����x�Ƃ�т܂��B���ӕ��z�Ƃ�$f_X(a) = \sum_b f_{X,Y}(a,b) , f_Y(b)=\sum_a f_{X,Y}(a,b) $�������܂��B
�s��̕\�`���ŗ^����ꂽ�Q�����̓x�����z�\������ӓx���i�c�v�≡�v�j�����߂����Ƃɑ������܂��B�܂��a�̕��z��
$$P(X_1+X_2 =a) = \sum_{(x,y) \vert x+y=a} f_{X,Y}(x,y)$$
�Ƃ����Ӗ��ŁC�����Řa$\sum$��$x+y=a$�ƂȂ邷�ׂĂ�$(x,y)$�ɂ킽��a���Ƃ�܂��B�Ō�̍����Ɨ��ł���΁C�m���̐ςɂȂ�܂��B

�ȏ�͗��U�^�m���ϐ��ł����C�A���^�̏ꍇ���قړ��l�ł��B

���U�^�m���ϐ��G
$$P(a \le X \le b) = \sum_{\{k \vert a \le k \le b\}}
                                     P(X=k)$$

�A���^�m���ϐ��G
$$P(a \le X \le b) = \int_{a}^{b}  f_X(x) dx$$
������$F_X(x) =P(X \le x)$�Ƃ����C�������ł���΂����C
���̔����W���i���֐��j�� $f_X(c)= \frac{dF_X (x)}{dx}\vert_{x=c}$ �Ƃ��܂��B



\section{���Ғl}
���ς̒�`���G
$$
E(X) = \left\{ \begin{array}{ll}
                  \sum_i x_i f_X(x_i) & \mbox{���U�^} \\
				  \int_{-\infty}^{\infty} x f_X(x) dx &
				  \mbox{�A���^} \\
				  \end{array} \right.
$$
���U�^ �ł� 
$ E[(X-a)^2] = 
                  \sum_i (x_i-a)^2 f_X(x_i)
                  = \sum_i x_i^2 f_X(x_i)	
				   -2 a \sum_i x_i f_X(x_i) + a^2 $   
�A���^�ł�
$ E[(X-a)^2] =\int_{-\infty}^{\infty} (x-a)^2 f_X(x) dx
                  = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f_X(x) dx 
				  -2 a \int_{-\infty}^{\infty} x f_X(x) dx +a^2 $
�ƂȂ�܂��B

\noindent
���U$V(X)$�̒�`�́C��̎��ŁC$a = E(X)$�Ƃ��������̂ŁC
$$
V(X) = \left\{ \begin{array}{ll}
                  \sum_i x_i^2 f_X(x_i) - \{ E(X) \}^2 
				  & \mbox{���U�^} \\
				  \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f_X(x) dx 
				  - \{ E(X) \}^2 &
				  \mbox{�A���^} \\
				  \end{array} \right.
$$
\noindent
��ʂɂQ�ϗʊm���ϐ�$(X,Y)$�����߂������l�֐��̊m���ϐ�
$h(X,Y)$ �̊��Ғl��
$$
E(h(X,Y)) = \left\{ \begin{array}{ll}
                  \sum_{i}\sum_j h(x_i,y_j) f_{X,Y}(x_i,y_j) 
				  & \mbox{���U�^} \\
				  \int_{-\infty}^{\infty}
				  \!\!\int_{-\infty}^{\infty} h(x,y) f_{X,Y}(x,y) dx dy&
				  \mbox{�A���^} \\
				  \end{array} \right.
$$
�Q�d�ϕ����C�Q�d�a���Ƃ邱�Ƃ������āC��������������m��܂��񂪁C�P�ϗʂ��ʐς̌v�Z�C�Q�ϗʂ��̐ς̌v�Z�����Ă��邾���ł��B
���ς͏d�S�̌v�Z�Ɠ����ł��B�a�̕��U�ɂ́C
$h(x,y)=\{(x+y) - a\}^2$�Ƃ��Čv�Z���܂��B������$a=E(X+Y)$
�͊��ɒ萔�ƂȂ��Ă��邱�Ƃɒ��ӁB



\begin{Toi}
$X$ ������$\mu$, ���U$\sigma^2$�����Ƃ��C
���̒l��$\mu,\sigma^2$�ŕ\���Ȃ����B
\begin{center}
\begin{tabular}{ll}
(1)  $E(3X+2)$   \qquad &
(2) $E(X^2)$ \\
(3)  $E(2 X^2 + 2 X -1)$  \qquad &
(4)  $E[(X -2)^2 ]$
\end{tabular}
\end{center}
\end{Toi}


\begin{Toi}
 ���U�Ɋւ�����̎��𓱂��Ȃ����B
\begin{description}
\item[(1)]
   $V(aX+b) = a^2 V(X)$ ($b$�ɂ͂��Ȃ��j
\item[(2)]$X,Y$ ���Ɨ��Ȃ�΁C
   $V(X-Y) =  V(X) + V(Y) $ (�����ɒ��ӁC���̕��U�ł�
   ���U�̘a�ɂȂ�j
\end{description}
\end{Toi}


\begin{Toi}
���̕\�͗��U�^�m���ϐ��̌������x��\���Ƃ��܂��B
\begin{center}
\begin{tabular}[t]{c|c|ccc} \hline
    \multicolumn{2}{c|} { $y$ �̒l } & 1 & 2 & 3 \\ \hline
   $x$   &  0 &  0.15   &  0.10  & 0.15    \\
    ��   &  1  &  0.10   &  0.0  &  0.10   \\
    �l   &  2  &   0.15  &  0.10  &  0.15   \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
���̂Ƃ��C
\begin{description}
\item[(1)]
   $E(XY) = E(X) E(Y) $ �����藧��,�Ɨ��ł͂Ȃ����Ƃ������B
 \item[(2)]
   $V(X+Y) $ ���v�Z���Ȃ����B
 \end{description}
\end{Toi}


\section{�R�C���ƃT�C�R��}
�R�C���𓊂���ƁC�\�����̂����ꂩ�C2�ʂ�̂����̂ЂƂ����ʂƂ��Ă�����B
���ʂ�\���ϐ����m���ϐ��Ƃ����C���̕ϐ����Ƃ蓾��l�̏W�܂���l���C
���̋N���肦��\�����ړx�����邱�ƂŁC�m�����z����߂���B
�R�C��������2�ʂ�̌��ʂ�����ꍇ���x���k�[�C���z�Ƃ����C
�T�C�R�������̂悤��6�ʂ�̖ڂ̏o���������m���炵�������ꍇ�C
��l���z�Ƃ�ԁB



\section{�Q�����z}
�\�̏o��m����$p$�̃R�C�����ꖇ����������ł́C
$X= \left\{\begin{array}{ll} 1, & p \\
0, & 1-p \end{array} \right.$ �ŁC�����$n$��������i�J��Ԃ��j���Ƃ�
$Y_n = X_1 + X_2 + \cdots + X_n$ �Ƃ����C
 $k(k=0,1,2,\cdots,n)$���\���o�鎖�ۂ̊m��$P(Y_n = k)$��
 $X_i(i=1,2,\cdots,n)$�̂Ȃ��łP�ƂȂ��Ă�����̂̐����グ�ł��邩��
 �Q���W���ŕ\���ł���B
 $$ P(Y_n= k ) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}, \quad k=0,1,2,\cdots,n$$
 ������p�����[�^$n,p$�̂Q�����z�Ƃ����B
 �Q�����z�̕���$\mu$�ƕ��U$\sigma^2$��
$$ \mu = n p, \quad \sigma^2 = n p (1-p)$$ 
�Ƃ���$n=1$�̓p�����[�^$p$�̃x���k�C���z�Ƃ�΂��B
�x���k�C���z��Q�����z���琶���邳�܂��܂Ȍ��ۂ́C
�����_���E�I�[�N�i�����j�C���K���z��|�A�\�����z�Ȃ�
���낢��ȕ��z�̉�͂Ɍ��т��B

\section{���􉽕��z}
�ڂ̒�����{�[�������o���Ƃ��C���o���ꂽ�{�[�������̂ڂɖ߂����ǂ�����
���Ɏ��o���{�[���̌��ʂɉe����^����B�������o�Ɣ񕜌����o�ł���B�{�[���̑�
�����L�������Ȃ��Ȃ�΁C�������o�͓����󋵂̌J��Ԃ��ł��邪�C�񕜌��̏ꍇ�ɂ�
���o���̓x���ɕς���Ă����B�����t���̊m�����l���邱�ƂɂȂ�B
�{�[���̑�����$N$�Ƃ��C2��ނ̃{�[���C���Ƃ��ΐ�$r$�ƍ�$N-r$�̃{�[��������Ƃ�
$n$�̃{�[����񕜌����o����Ƃ��C���̒��ɐԃ{�[����$X$�܂܂��C�܂荕�{�[����
$n-X$�ƂȂ�m���C
$$
  P(X=k) = \dfrac{\binom{r}{k}\binom{N-r}{n-k}}{\binom{N}{n}},
  \quad k=0,1,2,\cdots ,r
$$
���p�����[�^$N,n,r$�̒��􉽕��z�Ƃ����B
�{�[���̑���$N$�����Ȃ�傫���Ƃ��ɂ́C�{�[�������Ƃɖ߂��Ă����̃{�[����
��o���ɂ͂قƂ�ǉe���Ȃ��B���Ȃ킿�C�����󋵂̌J��Ԃ��ł��邩��C�����
�p�����[�^$n,p$��2�����z�ɂȂ�B�������o�i�J��Ԃ��̂΂����j�ɂ�2�����z�ł��邪�C
�񕜌����o�i���Ƃɖ߂��Ȃ����o���j�ł́C���􉽕��z�ł���B
������$\lim_N r/N = p, \lim_N (N-r)/N = 1-p$
���ꂼ��ԃ{�[���C���{�[���̔䗦��\���B��̒��􉽕��z�̊m����
$N \rightarrow \infty $ �Ƃ���΁C2�����z�̊m���ɋ߂Â��B



\end{document}
