\documentclass[a4paper]{jarticle}
\usepackage{amsmath,amssymb,latexsym}
\pagestyle{empty}
%%�₢�̘g
%%\newcommand{\toi}[1]{\noindent\framebox[3em][c]{\bf #1}}
%��������̑傫���̎w��
\setlength{\topmargin}{-50pt}
\setlength{\oddsidemargin}{-3mm}
\setlength{\evensidemargin}{-3mm}
\setlength{\textheight}{25cm}
\setlength{\textwidth}{16cm}
\setlength{\footskip}{6mm}
%���������ς��Ƀe�L�X�g���͂ޘg
\newenvironment{FRAME}{\begin{trivlist}\item[]
  \hrule
  \hbox to \linewidth\bgroup
    \advance\linewidth by -30pt
    \hsize=\linewidth
    \vrule\hfill
    \vbox\bgroup
      \vskip15pt
      \def\thempfootnote{\arabic{mpfootnote}}%foot note to arabic
      \begin{minipage}{\linewidth}}{%
      \end{minipage}\vskip15pt
    \egroup\hfill\vrule
  \egroup\hrule
\end{trivlist}}

%�藝��
\usepackage{theorem}
\theorembodyfont{\upshape }
\theoremstyle{break}
\newtheorem{Def}{��`}[section]
\newtheorem{Toi}{��}[section]
\newtheorem{Thm}{�藝}[section]
\newtheorem{Lem}[Thm]{���}
\newtheorem{Cor}[Thm]{�n}
%
%  \begin{Thm}  ...  \end{Thm}
%


\title{�m���炵���̍l�����A�m��}
\date{}

\begin{document}
\maketitle 




\section{���R�Ȏ���}
���v�w�̗��_�W�J�𐔊w���f���Ƃ��Ď�舵�����߂ɂ́C�m���̊T�O��
�K�v�ƂȂ�܂��B�s�m�����̐��l���i���f�����j�ɂ́C
�R�C�������C�������듊�����Ƃ��ċc�_����܂����C����ɂ�
�T�O�̒�`�ɁC
�i�P�j{\bf �Č���}�i�J��Ԃ����Ƃ��ł���j��
�i�Q�j{\bf �q�ϐ�}�i�����̐l���F�߂�j
�����Ώۂ��l���邩��ł��B
���w�I�ɂ́C�u���x�_�v�Ƃ�΂��ʐς�̐ς��߂邽�߂̓����
�����܂��B�����I�Ȋm���_�Ƃ�΂��R���ł��B
���ۓI�Ƀ��f�������C���̂悤�Ɋm����ԂƂ�сC
���R�̌��ۂ𐔊w�I�ɒ�`���܂��B

���R�ɂ���ċN����ƍl������S�Ă̌��ʑS��$\Omega$���l���܂��B
���ʂ̂��܂�C�W���C���Ӗ����܂��B���ɂ��̂����̂������̌��ʂ�
���ۂƂ�сC������W�߂����̂� ${\cal A}$�ƕ\���܂��B�����ɂ͂�����
���ɂȂ�̂ŁC��ʂɂ͑傫���𑪂�C���邢�͐����グ���ł�����̂�
���߂��܂��B
���ۂɂ́C$P$�Ƃ����L���ŁC���ۂ̑傫���i�\���j�𐔒l�ŕ\�����܂��B
�܂��m���̑傫�����͂���ΏۂƂȂ�W�������ۂƂ�сC
�S���ۂƋ󎖏ہC�a���ہC�ώ��ہC�]���ہi�⎖�ہj���`����Ă���Ƃ��܂��B
\textbf{�S����} $\Omega$ �́C���ׂẲ\�Ȍ��ʑS�̂ŁC
������O�̂��ƁC���̊m�����P�ƒ�߂�B
\textbf{�󎖏�} $\emptyset$ �́C�N���蓾�Ȃ����ƂŁC�m�����O�Ƃ��܂��B
\textbf{�a����} $A\cup B$ �Ƃ͏��Ȃ��Ƃ��ЂƂC���Âꂩ�����N���邱�ƁC
\textbf{�ώ���} $AB$, $A \cap B$�Ƃ́C���ׂĂ̂��̂������ɋN���邱�ƁC
\textbf{�]����} $\overline{A}$, $A^c$ �Ƃ́C���ꂪ�N����Ȃ��C
�ے���Ӗ����܂��B

\noindent
{\textbf �m���̒�`�G}
�R�̑g $(\Omega, \cal{A}, P)$���m����ԂƂ�
���@���ƘA�������݂����W���֐��i�W�����琔�l��Ή��j�̂��Ƃł��B
���𖞂����Ƃ��܂��G
\begin{description}
\item[(a) ���] $P(\emptyset)=0,  P(\Omega)=1$

\item[(b)���@��] 
$  P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B) $

\item[(c)�A����] 
$A_i, i= 1,2,\cdots$ �� $A_1 \subset A_2 \subset \cdots,$
$\lim_i A_i = \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i$ ��
$$
P(\lim_i A_i) = P(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i) = \lim_i P(A_i)
$$
\end{description}


\noindent
\textbf{�m���̊�{�藝�F}

\begin{description}
\item[(1)]
  $A \subset B$ �Ȃ�΁C
  $P(B) = P(A) + P(B \setminus A) 
  = P(A) + P(B \cap A^c) \geq P(A)$
\item[(2)]
  $P(A^c) = 1- P(A) $
\item[(3)]
  $P(\bigcup_{i=1}^{n} A_i ) 
   = \sum_i P(A_i) - \sum_{i<j} P(A_i A_j)
      + \sum_{i<j<k}  P(A_i A_j A_k)
	  \cdots + (-1)^{n+1} P(A_1 A_2 \cdots A_n)$,
	  ������ $\sum_{i<j}$ �� $i<j$ �𖞂������ׂĂ� $(i,j)$ �̑g�ɂ킽��
	  �a���Ƃ�B�������l�B
\item[(4)]
  $A_i, i= 1,2,\cdots$ ���݂��ɑf�C���Ȃ킿
  $A_i \cap A_j = \emptyset  (i \ne j) $ �Ȃ��
  $P(\bigcup_{i} A_i ) = \sum_{i} P(A_i)$ 
\item[(5)] de Morgan �̖@�����
  $$P(\bigcup_{i} A_i) = 1- P(\bigcap_i A_i^c)$$
  ���Ȃ��Ƃ�����N����m���̌v�Z�́C�P���炷�ׂĂ��܂������N����Ȃ��m����
  �����΂悢�B
  $$P(\bigcap_{i} A_i) = 1- P(\bigcup_i A_i^c)$$
\end{description}



\section{�����t���m���Ǝ��ۂ̓Ɨ�}
�܂������t���m�����`����B���鎖�ۂ��N�������Ƃ��ɁC�������
���ۂɂǂ̒��x�e�����y�ڂ��Ă��邩�̎ړx��\���B�L���ł�
$P(B \vert A) $�ƕ\���B

$$P(B \vert A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)}$$
������$P(A) > 0$ �Ƃ���B����$A$�͑����Ƃ��N������̂ƑO�����������B
�����$A$ ���N�������Ƃ���$B$�̋N��������t���m���Ƃ����B



\begin{description}
\item[(1)]
   $P(A) = P(A\vert B) P(B) + P(A \vert B^c) P(B^c)$
\item[(2)]
    $P(A \cap B \cap C) 
	= P(A) P(B \vert A) P(C \vert A \cap B)$, 
	\quad  $P( A \cap B) >0 $
\item[(3)] \textbf{�x�C�Y�̒藝;} 
   ���ۗ� $A_1,A_2,\cdots, A_n$ �� $\Omega$ ��
   �� ���C�܂�
   �݂��ɑf�i�ǂ̂Q���Ƃ��Ă��ώ��ۂ��󎖏ہj��
   ����C
  ����炷�ׂĂ̘a�W�����S���ۂɂȂ�Ƃ��C
   ���̏����t���m���ɂ��Ă̊֌W�������藧�B
  $$ 
   P(A_j \vert B) = 
   \frac{P(B\vert A_j)P(A_j)}{\sum_k P(B\vert A_k)P(A_k)}
  $$
����$A_k, k=1,2,\cdots,n$�������ƍl���C���ʂ̎���$B$�̏����t���m����
�킩���Ă���΁C���ʂ���ǂ̌����ɂ��N�����Ă��邩���l����B
���O�m��$P(A_k), k=1,2,\cdots,n$���玖��m�� $ P(A_j \vert B) $��
�v�Z���鎮���Ӗ�����B

\end{description}

\noindent
\textbf{�Ɨ����ۂ̒�`;}
�Q�̎��ۂ̊Ԃɂ��āC�Ɨ��Ƃ͈���̋N����\���ɉe����^���Ȃ����ƁB$P(B\vert A) = P(B)$ ������������
$$ P(A\cap B) = P(A) P(B)$$
�����藧�Ƃ��B��ʂ�$A_i, i=1,2,\cdots,n$ ���Ɨ��ł���Ƃ́C 
$$ P(\bigcap_{i=1}^n A_i ) =  P(A_1)P(A_2) \cdots P(A_n)$$
��$n$�̂��ׂĂ̕����n�i�P�g�̂����܂�ƍl���āj���Ɨ��ł���Ƃ��C�Œ�`����B


\vspace{4ex}

\begin{Toi}
�^����ꂽ�m�� \( P(A)=1/3, P(B)=1/4, P(AB)=1/6 \) �ɑ΂��āC���̊m����
�v�Z���Ȃ����B������\(\overline{A} = A \)�̕⎖�ہB

(i) \( P(\overline{A}) \)  \quad
(ii) \( P(\overline{A}\cup B) \) \quad
(iii) \( P(A \cup \overline{B}) \) \quad
(iv) \( P(A\overline{B}) \) \quad
(v) \( P(\overline{A} \cup \overline{B}) \)
\end{Toi}


\begin{Toi}
���ۗ� $ A_n, n \ge 1$ �ɑ΂���
\[
  P(A_1 A_2 \cdots A_n) \ge \sum_{i=1}^n P(A_i) -(n-1)
  = 1 - \sum_{i=1}^n P(\overline{A_i})
\]
\end{Toi}


\begin{Toi}
���������B�܂���ʉ�($n$��)�̎��ۗ�ɂ��Ă�
�ǂ��Ȃ邩�B
\[ P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(B)
   - P(AB) - P(BC) - P(CA) + P(ABC)\]
\end{Toi}



\begin{Toi}
�Q�̎��� \((A, B)\) ���Ɨ��Ȃ�΁C\((A, \overline{B})\), \((\overline{A},B) \)
\((\overline{A}, \overline{B})\) ���Ɨ��ƂȂ邱�Ƃ������B
\end{Toi}


\begin{Toi}
���̓����������B
 \[ P(AB) - P(A)P(B) 
  = P(\overline{A})P(B) - P(\overline{A}B)  
  = P(A)P(\overline{B}) - P(A\overline{B})  
  = P(\overline{A} \, \overline{B}) - 
     P(\overline{A})P(\overline{B})
 \]
\end{Toi}



\begin{Toi}
���̂S�̖���͓��l�ł��邱�Ƃ������Ȃ����B
\begin{center}
\begin{tabular}{ll}
(a) ���� $A$ �� $B$ �͓Ɨ�   \qquad &
(b) ���� $A^c$ �� $B$ �͓Ɨ� \\
(c) ���� $A$ �� $B^c$ �͓Ɨ�  \qquad &
(d) ���� $A^c$ �� $B^c$ �͓Ɨ�
\end{tabular}
\end{center}
\end{Toi}


\begin{Toi}
����
$P(A \vert B) > P(A)$ �Ȃ�΁C$P(B \vert A) > P(B) $ �������B
�i�q���g�F$\frac{P(A \vert B)}{P(B \vert A)} = \frac{P(A)}{P(B)}$�������B�j
\end{Toi}


\begin{Toi}
���ۗ�\(A_1, A_2, \cdots, A_n \) ���Ɨ��� \(P(A_i)= p, i=1,2,\cdots,n\) �Ƃ����Ƃ��C
\begin{itemize}
  \item[(a)] ���Ȃ��Ƃ���̎��ۂ��N����m���́H
  \item[(b)] ���Ȃ��Ƃ�$m$�̎��ۂ��N����m���́H
  \item[(c)] ���傤��$m$�̎��ۂ��N����m���́H
\end{itemize}
\end{Toi}

\begin{Toi}
���̒��ɂ� \(1,2,\cdots,n\) �Ɛ����̋L���ꂽ�{�[���������Ă���B$r$ �̃{�[�����Ƃ肾��
�Ƃ��C�ő�̐����� $m$ �ƂȂ�m�����v�Z����B
\begin{itemize}
  \item[(a)] ���Ƃɖ߂��Ă���{�[�������o���Ƃ�(�������o�j�B
  \item[(b)] ���Ƃɂ͖߂����Ƀ{�[�������o���Ƃ��i�񕜌����o�j�B
\end{itemize}

\end{Toi}




\end{document}
