%kakuritu3.tex
\documentclass[a4paper]{jarticle}
\usepackage{amsmath,amssymb,latexsym}
\pagestyle{empty}
\newcommand{\toi}[1]{\framebox[2em][c]{\bf #1}}
%��������̑傫���̎w��
\setlength{\topmargin}{-50pt}
\setlength{\oddsidemargin}{-3mm}
\setlength{\evensidemargin}{-3mm}
\setlength{\textheight}{25cm}
\setlength{\textwidth}{14.5cm}
\setlength{\footskip}{6mm}



\begin{document}
%\maketitle

\begin{center}
 {\large\bf �m���炵���̍l�����A�m���̖₢��}
\end{center}

\noindent
% 2.1
{\bf ��Q�D�P}

�^����ꂽ�m�� \( P(A)=1/3, P(B)=1/4, P(AB)=1/6 \) �ɑ΂��āC���̊m����
�v�Z���Ȃ����B������\(\overline{A} = A \)�̕⎖�ہB
(i) \( P(\overline{A}) \)  \quad
(ii) \( P(\overline{A}\cup B) \) \quad
(iii) \( P(A \cup \overline{B}) \) \quad
(iv) \( P(A\overline{B}) \) \quad
(v) \( P(\overline{A} \cup \overline{B}) \)

\noindent
{\bf �i���j}
(i) $P(\overline{A})=1-P(A)=1- 1/3 = 2/3$.
(ii) $P(\overline{A}\cup B) =
= 1- P(A\overline{B})=  1- \{P(A)-P(AB)\}= 1- 1/3 + 1/6 = 5/6$.
(iii) $P(A\cup \overline{B})=1-P(B)+P(AB)=11/12$.
(iv) $P(A \overline{B})= P(A)-P(AB)= 1/3-1/6=1/6$.
(v) $P(\overline{A}\cup \overline{B}) = 1 - P(AB) = 1-1/6 = 5/6$. 
$\Box$ \vspace{1.5ex}

\noindent
% \toi{2.2} 
{\bf ��Q�D�Q}

���ۗ� $ A_n, n \ge 1$ �ɑ΂���
\[
  P(A_1 A_2 \cdots A_n) \ge \sum_{i=1}^n P(A_i) -(n-1)
  = 1 - \sum_{i=1}^n P(\overline{A_i})
\]

\noindent
{\bf �i���j}
�܂��m���̘a�͘a���ۂ̑傫�����ƂƁA�⎖�ۂ̊֌W������
$  \sum_{i=1}^{n}P(\overline{A_i}) \geq P(\cup_{i=1}^{n} \overline{A_i} )
  = 1 - P(\cap_{i=1}^{n}A_i )$
�����藧�B����������邱�Ƃ�
$ \sum_{i=1}^{n}P(\overline{A_i}) -(n+1)
  = \sum_{i=1}^{n} \{ P(A_i) -1 \}  + 1
  = - \sum_{i=1}^{n} P(\overline{A_i}) +1 
  = 1 - \sum_{i=1}^{n} P(\overline{A_i})
$
���������Ĉڍ��������
$
 P(A_1 A_2 \cdots A_n) \ge \sum_{i=1}^n P(A_i) -(n-1)
  = 1 - \sum_{i=1}^n P(\overline{A_i})
$
�𓾂�B
$\Box$ \vspace{1.5ex}


\noindent
% toi 2.3
{\bf ��Q�D�R}

���������B�܂���ʉ�($n$��)�̎��ۗ�ɂ��Ă�
�ǂ��Ȃ邩�B
\[ P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(B)
   - P(AB) - P(BC) - P(CA) + P(ABC)\]

\noindent
{\bf �i���j}
2�̏ꍇ�ɂ�
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) \]
�ł���A������$B$�̂�����$B\cup C$ ���l����B
���ӂ� $P(A \cup B \cup C)$ �ƂȂ�B�܂��E�ӂ̑�2����
 $P(B \cup C)$ �ł����2�̏ꍇ��K�p�ł��邩��
 $P(B \cup C) = P(B) + P(C) - P(BC)$ �ƂȂ�B�����
 �E�ӂ̑�3���́A�W���̐ςƘa�ɂ��Ă̕��z������������
 $P(A(B \cup C)) = P(AB \cup AC)$ �ƂȂ邩��A
 2�̏W��$AB$ ��$AC$ �̘a�W���̏ꍇ�����Ă͂߂���B
 $AB \cap AC = ABC$ �ł��邩��A�������܂Ƃ߂��
 �ؖ����ׂ����𓾂�B

��ʂ�$n$�̏ꍇ�ɐ��藧���͈ȉ��̂悤�ɂȂ�F
$P(\cup_{i=1}^{n} A_i) = P(A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n)
= P(A_1) +P(A_2)+ \cdots +P(A_n)
  - \{ P(A_1 A_2) + P(A_1 A_3) + \cdots + P(A_{n-1} A_n)\} 
  + \{ P(A_1 A_2 A_3) + P(A_1 A_2 A_4) + \cdots + P(A_{n-2} A_{n-1} A_n) \}
  \cdots  + (-1)^n P(A_1 A_2 \cdots A_n)
$
$\Box$ \vspace{1.5ex}


\noindent
% toi 2.4
{\bf ��Q�D�S}

�Q�̎��� \((A, B)\) ���Ɨ��Ȃ�΁C\((A, \overline{B})\), \((\overline{A},B) \)
\((\overline{A}, \overline{B})\) ���Ɨ��ƂȂ邱�Ƃ������B

\noindent
{\bf �i���j}
���̖�Q�D�U�Ɠ������ł��B
$\Box$ \vspace{1.5ex}



\noindent
% toi 2.5
{\bf ��Q�D�T}

���̓����������B
 \[ P(AB) - P(A)P(B) 
  = P(\overline{A})P(B) - P(\overline{A}B)  
  = P(A)P(\overline{B}) - P(A\overline{B})  
  = P(\overline{A} \, \overline{B}) - 
     P(\overline{A})P(\overline{B})
 \]

\noindent
{\bf �i���j}
�m���̉��@���݂̂��������Đ��藧�֌W���������B
���Ƃ��Ύ���$B$�𕪊�����,$A$���N�������ꍇ�ƁA�N����Ȃ��Ƃ��A
���������ĕ⎖�ہi�ے�j$\overline{A}$���N�������ꍇ�ɕ�����B
�����ɋN���邱�Ƃ����肦�Ȃ�����A�ώ��ہi���ʁj�͋󎖏ۂ�
���邩��A
$
P(B) = P(BA \cup B\overline{A}) = P(BA) + P(B\overline{A})
= P(AB) + P(\overline{A}B)
$
����������
$P(\overline{A}B) = P(B) - P(AB)$
�𓾂�B���̂悤�ɂ���
$P(AB) - P(A)P(B) 
 = P(B)-P(A)P(B) - \{P(B) - P(AB)\}
 = P(\overline{A}B) - \{1-P(A)\}P(B) 
= P(\overline{A}B) - P(\overline{A})P(B)$, 
�������l�B
$\Box$ \vspace{1.5ex}




\noindent
% toi 2.6 
{\bf ��Q�D�U}

���̂S�̖���͓��l�ł��邱�Ƃ������Ȃ����B
\begin{center}
\begin{tabular}{ll}
(a) ���� $A$ �� $B$ �͓Ɨ�   \qquad &
(b) ���� $A^c$ �� $B$ �͓Ɨ� \\
(c) ���� $A$ �� $B^c$ �͓Ɨ�  \qquad &
(d) ���� $A^c$ �� $B^c$ �͓Ɨ�
\end{tabular}
\end{center}

\noindent
{\bf �i���j}
�Q�̎��� \((A, B)\) ���Ɨ��Ȃ�΁C\((A, \overline{B})\), \((\overline{A},B) \)
\((\overline{A}, \overline{B})\) ���Ɨ��ƂȂ邱�Ƃ������B
�O��̊֌W��
$P(AB) - P(A)P(B) 
  = P(\overline{A})P(B) - P(\overline{A}B) $����A
$P(AB) = P(A)P(B)$ �Ȃ�΁A$P(\overline{A})P(B) = P(\overline{A}B) $��������B
����ĂQ�̎��� \((A, B)\) ���Ɨ��Ȃ�΁C\((\overline{A}, B)\)���Ɨ��B
�������l�B
$\Box$ \vspace{1.5ex}




\noindent
% toi 2.7
{\bf ��Q�D�V}

����
$P(A \vert B) > P(A)$ �Ȃ�΁C$P(B \vert A) > P(B) $ �������B

\noindent
{\bf �i���j}
�����t���m���̒�`����A$P(AB)= P(A \vert B ) P(B) = P(B \vert A)
P(A)$ ����
$\frac{P(A \vert B)}{P(B \vert A)} = \frac{P(A)}{P(B)}$�𓾂�B
����������
$P(A \vert B) -P(A) = \frac{P(A)}{P(B)}\{ P(B \vert A) -P(B) \}$
�ł��邩��A���肪���藧���Ƃ͂����炩�B
$\Box$ \vspace{1.5ex}



\noindent
% toi 2.8
{\bf ��Q�D�W}

���ۗ�\(A_1, A_2, \cdots, A_n \) ���Ɨ��� \(P(A_i)= p, i=1,2,\cdots,n\) �Ƃ����Ƃ��C
\begin{itemize}
  \item[(a)] ���Ȃ��Ƃ���̎��ۂ��N����m���́H
  \item[(b)] ���Ȃ��Ƃ�$m$�̎��ۂ��N����m���́H
  \item[(c)] ���傤��$m$�̎��ۂ��N����m���́H
\end{itemize}

\noindent
{\bf �i���j}
$X_i(\omega)=1_{A_i}(\omega)= \left\{\begin{array}{l} 1 \quad \omega \in A_i \\
0 \, \ A_i \end{array} \right. $�Ƃ�����
$P(A_i) = p_i = E[X_i]=E[1_{A_i}]$. �܂�
�a$X_1+X_2+ \cdots + X_n$�̓p�����[�^$n,p$��2�����z�ɂ��������B
�܂�$P(X_1+X_2+ \cdots + X_n = x )= \displaystyle\binom{n}{x} p^x (1-p)^{n-x},
 x =0,1,2,\cdots,n$.
���ۂ̊֌W��$\{\mbox{���Ȃ��Ƃ��P��}A_i\mbox{���N����}\} = \{ \sum_i X_i \geqq 1 \}$�ƂȂ邩��
$P(\mbox{���Ȃ��Ƃ��P��}A_i\mbox{���N����})= P(\sum_i X_i \geqq 1) = 1- P(\sum_i X_i =0)
= 1-(1-p)^n$
���l��$P(\mbox{���Ȃ��Ƃ�$m$��}A_i\mbox{���N����})= P(\sum_i X_i \geqq m) =
\sum_{x=m}^{n} \displaystyle\binom{n}{x} p^x (1-p)^{n-x} $.
�����
$P(\mbox{���傤��$m$��}A_i\mbox{���N����})= P(\sum_i X_i = m) =
 \displaystyle\binom{n}{m} p^m (1-p)^{n-m} $.
$\Box$ \vspace{1.5ex}





\noindent
% toi 2.9
{\bf ��Q�D�X}

���̒��ɂ� \(1,2,\cdots,n\) �Ɛ����̋L���ꂽ�{�[���������Ă���B$r$ �̃{�[�����Ƃ肾��
�Ƃ��C�ő�̐����� $m$ �ƂȂ�m�����v�Z����B
\begin{itemize}
  \item[(a)] ���Ƃɖ߂��Ă���{�[�������o���Ƃ�(�������o�j�B
  \item[(b)] ���Ƃɂ͖߂����Ƀ{�[�������o���Ƃ��i�񕜌����o�j�B
\end{itemize}

\noindent
{\bf �i���j}
�m���ϐ�$X_i$��$i$�ԖڂɎ��o����������\���Ƃ���B�܂�
$X_{max} = \max\{X_1,X_2,\cdots,X_r\}$�Ƃ���B(a) �������o�ł���΁A
�e$i$�œƗ���$P(X_i = x)=1/n,x=1,2,\cdots,n$�B�����
$P(X_i \geq m) = \sum_{1 \leq x \leq m} 1/n = m/n$�B
$P(X_{max} \leq m) = P(X_1 \leq m, X_2 \leq m, \cdots, X_r \leq m)
=P(X_1 \leq m)P( X_2 \leq m) \cdots P( X_r \leq m)
=(m/n)^r$.
$P(X_{max}=m)=P(X_{max}\leq m) - P(X_{max}\leq m-1) = (m^r-(m-1)^r)/{n^r}$

(b)�񕜌����o�ł͓Ɨ��ƂȂ�Ȃ��Ȃ�����A�����t���m�����v�Z����΂悢�B
$P(X_1=i_1)=1/n,i_1 \in \{1,2,\cdots,n\}$,
$P(X_2=i_2 \vert X_1 =i_1)=1/(n-1),i_2 \in \{1,2,\cdots,n\}\setminus i_1$,
$P(X_3=i_3 \vert X_1 =i_1,X_2=i_2)=1/(n-2),i_3 \in \{1,2,\cdots,n\}\setminus \{i_1,i_2\}$,
����������
$P(X_{max}\leq m) = \dfrac{\binom{m}{r}}{\binom{n}{r}}$�B
$P(X_{max} = m) = P(X_{max}\leq m) - P(X_{max}\leq m-1) =
\dfrac{\binom{m-1}{r-1}}{\binom{n}{r}} $
$\Box$ \vspace{1.5ex}





\end{document}
