\documentclass[a4paper]{jarticle}
\usepackage{amsmath,amssymb,latexsym}
\pagestyle{empty}
%%�₢�̘g
%%\newcommand{\toi}[1]{\noindent\framebox[3em][c]{\bf #1}}
%��������̑傫���̎w��
\setlength{\topmargin}{-50pt}
\setlength{\oddsidemargin}{-3mm}
\setlength{\evensidemargin}{-3mm}
\setlength{\textheight}{25cm}
\setlength{\textwidth}{16cm}
\setlength{\footskip}{6mm}
%���������ς��Ƀe�L�X�g���͂ޘg
\newenvironment{FRAME}{\begin{trivlist}\item[]
  \hrule
  \hbox to \linewidth\bgroup
    \advance\linewidth by -30pt
    \hsize=\linewidth
    \vrule\hfill
    \vbox\bgroup
      \vskip15pt
      \def\thempfootnote{\arabic{mpfootnote}}%foot note to arabic
      \begin{minipage}{\linewidth}}{%
      \end{minipage}\vskip15pt
    \egroup\hfill\vrule
  \egroup\hrule
\end{trivlist}}

%�藝��
\usepackage{theorem}
\theorembodyfont{\upshape }
\theoremstyle{break}
\newtheorem{Def}{��`}[section]
\newtheorem{Toi}{��}[section]
\newtheorem{Thm}{�藝}[section]
\newtheorem{Lem}[Thm]{���}
\newtheorem{Cor}[Thm]{�n}
%
%  \begin{Thm}  ...  \end{Thm}
%


\title{�ꍇ�̐��A�����グ�̕��@(���)
}
\date{}

\begin{document}
\maketitle 

%section 1.7
\section{�ꍇ�̐��A�����グ}



\begin{Toi}
���ƃ{�[�������ꂼ�� $ n=5 , r=2$  �̂Ƃ��A�d������A����A�d���g�����A�g�����ɂ���
���ׂĂ̏ꍇ���������ׂĂ݂Ȃ����B������
��������v���Ă��邱�Ƃ��m���߂�B���Ƃ���$5$�̃{�[����
$a,b,c,d,e$�Ƃ��Ă��ꂼ�ꏑ���グ�Ă݂Ȃ����B
\end{Toi}

\vspace{2ex}

%
\section{�p�X�J���O�p�`}



\begin{Toi} 
��`�̎��������Čv�Z���Ă݂Ċm���߂Ȃ����B
\begin{enumerate}
\item 
  \(\displaystyle
   \binom{m}{0} \binom{n-m}{r}
   + \binom{m}{1}\binom{n-m}{r-1}
   + \cdots
   + \binom{m}{r}\binom{n-m}{0}
   = 
   \binom{n}{r}
  \) 
\item 
  \(\displaystyle
   1 - \binom{n}{1}
   + \binom{n}{2}
   + \cdots +
   (-1)^n \binom{n}{n}
   =0 
  \)
\item  
  \(\displaystyle
   \binom{n}{1}
   + 2 \binom{n}{2}
   + 3 \binom{n}{3}
   + \cdots 
   + n \binom{n}{n}
   =
    n 2^{n-1}
  \)
\end{enumerate}
\end{Toi}

\begin{Toi}
�g�����v52������5����I�ԃ|�[�J�[�ŁA�ꍇ�̐���
�l���Ȃ����B

\begin{tabular}{l}
(1)���ׂĂ̏ꍇ�͉��ʂ肩�H
    ���� $\binom{52}{5}$ ��259���ʂ�
\\ 
(2)���[�����t���b�V���i������ނ̊G�D�A(10,J,Q,K,A�j�j
\\ 
(3)�t�H�[�J�[�h�i4�����������A$x\ne y,(x,x,x,x,y)$�j�A
    ���� $13\cdot 12 \cdot 4$
\\ 
(4)�X�g���[�g�i��ނ𖳎����āA�����̔ԍ��j
    ���� $9\cdot 4^5$
\\ 
(5)�X���[�J�[�h�i3����������, $(x,x,x,y,z)$�j
    ���� $13 \binom{12}{2} 4 \cdot 4^2$
\\ 
(6)�c�[�y�A�i2�g�̓�����, $(x,x,y,y,z)$�j
    ���� $\binom{13}{2} 11 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 4 $
\\ 
(7)�����y�A�i2���̂ݓ������Ŏc��̓o���o��, $(x,x,y,z,w)$�j
    ���� $13 \binom{12}{3} 6 \cdot 4^3$
\end{tabular}
\end{Toi}


\begin{Toi}
���܂܂�2���W���̕\������$ {}_nC_{k}$,  $C^n_k$ �Ƃ��\������������܂��񂪁A
�������̂ł��B������������g�������Ӗ�����̎��ł͂��߂Ă���̂ł��B
���Ƃ��΁A���R��$n$ �̂����� ����$\alpha$�Ƃ��Ă��Ӗ��������܂��B
$$
 \binom{\alpha}{k} = \dfrac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots (\alpha-k+1)}{k!}
  \quad k=0,1,2,3,\cdots
$$
������������āA$k=0,1,2,3,\cdots$ �ɑ΂��� 
$\displaystyle\binom{-1}{k}, \binom{-2}{k}$�Ȃǂ��v�Z���Ă݂Ȃ����B
�ǂ�Ȃ��Ƃ��C�Â��܂����H �p�X�J���O�p�`�Ɗ֌W������̂ł��B
\end{Toi}

\end{document}
