\documentclass[a4paper]{jarticle}
\usepackage{amsmath,amssymb,latexsym}
\pagestyle{empty}
%%�₢�̘g
%%\newcommand{\toi}[1]{\noindent\framebox[3em][c]{\bf #1}}
%��������̑傫���̎w��
\setlength{\topmargin}{-50pt}
\setlength{\oddsidemargin}{-3mm}
\setlength{\evensidemargin}{-3mm}
\setlength{\textheight}{25cm}
\setlength{\textwidth}{16cm}
\setlength{\footskip}{6mm}
%���������ς��Ƀe�L�X�g���͂ޘg
\newenvironment{FRAME}{\begin{trivlist}\item[]
  \hrule
  \hbox to \linewidth\bgroup
    \advance\linewidth by -30pt
    \hsize=\linewidth
    \vrule\hfill
    \vbox\bgroup
      \vskip15pt
      \def\thempfootnote{\arabic{mpfootnote}}%foot note to arabic
      \begin{minipage}{\linewidth}}{%
      \end{minipage}\vskip15pt
    \egroup\hfill\vrule
  \egroup\hrule
\end{trivlist}}

%�藝��
\usepackage{theorem}
\theorembodyfont{\upshape }
\theoremstyle{break}
\newtheorem{Def}{��`}[section]
\newtheorem{Toi}{��}[section]
\newtheorem{Thm}{�藝}[section]
\newtheorem{Lem}[Thm]{���}
\newtheorem{Cor}[Thm]{�n}
%
%  \begin{Thm}  ...  \end{Thm}
%


\title{�ꍇ�̐��A�����グ�̕��@}
\date{}

\begin{document}
\maketitle 

%section 1.7
\section{�ꍇ�̐��A�����グ}

�K��i�������傤�A�t�@�N�g���A���j�̋L���Ƃ�
$ n! = n (n-1) (n-2) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1 (n \geqq 1), 0! =1$
�Ƃ���B 
�u$r$��ނ̔���$n$�̃{�[���̒�����I��œ���邱�Ɓv���ꍇ�̐����v�Z���邽�߂̊�{�̂��Ƃ���ł��B

\noindent
\underline{����}
�u��ʂ̂��锠�v�Ɂu��ʂ̂���{�[���v������

\noindent
\textbf{�d������}�u�d���������ĂЂƂ̔��ɉ�����Ă��悢�ꍇ�v�Ƃ���������
���o���ꂽ�ꍇ�̐��B
\begin{equation}
  n^r = \overbrace{n \times n \times \cdots n}^{r}
\end{equation}

\noindent
\textbf{����}(permutation)�u�d���͋������ɂЂƂ̔��ɂ͍��X
�ЂƂ�������Ȃ��ꍇ�v�Ƃ��������Ŏ��o���ꂽ�ꍇ�̐��B
\begin{equation}
  \overbrace{n(n-1)(n-2)\cdots (n-(r-1))}^{r} = (n)_r = \dfrac{n!}{(n-r)!}
\end{equation}

\noindent
\underline{�g����}
�u��ʂ̂��锠�v�Ɂu��ʂ̂Ȃ��{�[���v������

\noindent
\textbf{�d���g����}�u�d���������ĂЂƂ̔��ɉ�����Ă�
�悢�ꍇ�v�Ƃ��������B
\begin{equation}
  \dfrac{n(n+1)(n+2)\cdots (n+(r-1))}{r!} = \binom{n+r-1}{r} = \binom{n+r-1}{n-1}
\end{equation}

\noindent
\textbf{�g����}(combination)�u�d���͋������ɂЂƂ̔��ɂ͍��X
�ЂƂ�������Ȃ��ꍇ�v�Ƃ��������B
\begin{equation}
  \dfrac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-(r-1))}{r!} = \dfrac{(n)_r}{r!} = \binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}
\end{equation}



\begin{Toi}
���ƃ{�[�������ꂼ�� $ n=5 , r=2$  �̂Ƃ��A�d������A����A�d���g�����A�g�����ɂ���
���ׂĂ̏ꍇ���������ׂĂ݂Ȃ����B������
��������v���Ă��邱�Ƃ��m���߂�B���Ƃ���$5$�̃{�[����
$a,b,c,d,e$�Ƃ��Ă��ꂼ�ꏑ���グ�Ă݂Ȃ����B
\end{Toi}


%
\section{�p�X�J���O�p�`}

����$(a+b)^3$��W�J���Ă݂�΁A
$$
 (a+b)^3 = a^3 + 3 a^2 b + 3 a b^2 + b^3
 $$ �ƂȂ邱�Ƃ͒m���Ă���B
�����ł��ꂼ��̌W�����݂�ƁA$1, 3, 3, 1$�ƂȂ��Ă���B
$(a+b)^3 = (a+b)\times (a+b) \times (a+b)$�ł��邩��A���Ƃ���
$3 a^2 b $ �Ƃ������� ��1������$a$,��2������$a$,��3������$b$�Ƃ����Ƃ��ɂ�
$a^2 b$�������A����𑼂̎��o�������A��1������$a$,��2������$b$,��3������$a$��
�Ƃ��Ă�����$a^2 b$�𓾂�B�����ЂƂ̎��o���A
��1������$b$,��2������$a$,��3������$a$�Ƃ��āA������3�ʂ肪���ׂ�$a^2 b$��
�Ȃ邩��A����$a^2 b$�̌W����$3$�ŁA$3 a^2 b$�ƂȂ邱�Ƃ��킩��B
�܂莟�̂悤�ȉ��Ƃ��Ă����邱�Ƃŗ����ł���ł��傤�B
\[(a+b)^3 = \quad 
  aaa   \quad 
  \begin{array}{c} + aab \\ + aba \\ + baa \end{array} \quad 
  \begin{array}{c} + abb \\ + bab \\ + bba \end{array} \quad 
  + bbb
\]


�������̍����v�Z���Ă݂܂��B�ŏ��̂O���i�[����j��0�ƂȂ�̂�
�v�Z�ł͂Ȃ��A���̂悤�ɒ�߂�ƍl���Ă��Ă��������B
�����Ɍv�Z���Ă����邱�Ƃ����̒藝�ɂ��閽��Ɍ��т��Ă���͂��ł��B
$$
\begin{array}{lrrrrrrrrrrr}
(a+b)^0 \cdots\cdots  & 1 &  & & & & & & & & & \\ 
(a+b)^1 \cdots\cdots  & 1 & 1 & & & & & & & & & \\ 
(a+b)^2 \cdots\cdots & 1 & 2 & 1 & & & & & & & & \\ 
(a+b)^3 \cdots\cdots & 1 & 3 & 3 & 1& & & & & & & \\ 
(a+b)^4 \cdots\cdots & 1 & 4 & 6 & 4 & 1 & & & & & & \\ 
(a+b)^5 \cdots\cdots & 1 & 5 & 10 & 10 & 5 & 1 & & & & & \\ 
(a+b)^6 \cdots\cdots & 1 & 6 & 15 & 20 & 15 & 6 & 1 & & & & \\ 
\end{array}
$$
�O�p�`�ɕ��ׂ��Ă��̕\���p�X�J���O�p�`�Ƃ�т܂��B�p�X�J���͊m���_�ł�
�悭�o�Ă��܂����A���{�̗L���ȍ]�ˎ���̐��w�ҁA�֍F�a�����̊֌W����
�����Ă��܂��B�Q���W������������΁A
$$
\begin{array}{lrrrrrrrrrrr}
(a+b)^0 \cdots\cdots & \binom{0}{k} &  & & & & & & & & & \\ 
(a+b)^1 \cdots\cdots & \binom{1}{0} & \binom{1}{1} & & & & & & & & & \\ 
(a+b)^2 \cdots\cdots & \binom{2}{0} & \binom{2}{1} & \binom{2}{2} & & & & & & & & \\ 
(a+b)^3 \cdots\cdots & \binom{3}{0} & \binom{3}{1} & \binom{3}{2} & \binom{3}{3}& & & & & & & \\ 
(a+b)^4 \cdots\cdots & \binom{4}{0} & \binom{4}{1} & \binom{4}{2} & \binom{4}{3} & \binom{4}{4} & & & & & & \\ 
(a+b)^5 \cdots\cdots & \binom{5}{0} & \binom{5}{1} & \binom{5}{2} & \binom{5}{3} & \binom{5}{4} & \binom{5}{5} & & & & & \\ 
(a+b)^6 \cdots\cdots & \binom{6}{0} & \binom{6}{1} & \binom{6}{2} & \binom{6}{3} & \binom{6}{4} & \binom{6}{5} & \binom{6}{6} & & & & \\ 
\end{array}
$$
�ƂȂ�܂��B

\section{�Q���W��}
�����łQ���W���Ƃ͂��鎩�R��$n$�ɑ΂���
$k=0,1,2,\cdots,n$�ɂ���
$$
 \binom{n}{k} = \dfrac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{k!}
$$
�ƕ\�������̂ł��B���������Ĉ�ʎ��ł�
$$
(a+b)^n = \binom{n}{0}a^n b^0 +
       \binom{n}{1}a^{n-1} b^1 +
       \binom{n}{2}a^{n-2} b^2 +
       \cdots + 
       \binom{n}{k}a^{n-k} b^k +
       \cdots +
       \binom{n}{n}a^0 b^n 
$$
�ƕ\���ł��܂��B�Ȃ��Q���Ƃ������R�́A$(a+b)$�̂Q�̍���
�W�J���Ă��邩��ŁA$(a+b+c)$�Ƃ�$(a+b+c+d)$�Ȃǂ̂R���A�S����
�����ē��R�ł��B��������������΁A���ׂĂ݂邱�Ƃ��悢�ł��傤�B

\vspace{2ex}



\begin{FRAME}
 {\bf �藝 }
 ���̊֌W�������藧�G
 \begin{enumerate}
   \item $\displaystyle\binom{n}{r} = \binom{n-1}{n-r} + \binom{n-1}{r}$�@$\cdots\cdots\cdots $�@�i���@���j
   \item $\displaystyle\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$�@$\cdots\cdots\cdots $�@�i�Ώ̐��j
 \end{enumerate}
\end{FRAME}

\vspace{2ex}

\begin{Toi} 
���@�� $\displaystyle\binom{n}{r} = \binom{n-1}{n-r} + \binom{n-1}{r}$�����藧���Ƃ��m���߁A�����
���̎��́A�ǂ��������Ƃ��Ӗ����Ă��邩�A�p�X�J���O�p�`�̕\�ōl���Ȃ����B
\end{Toi}

\begin{Toi} ���̎��͒�`�ɑ�����Čv�Z����Γ����܂����A�p�X�J���O�p�`��
�\����l���Ă݂Ȃ����B����ɐϘa�̌v�Z��,
 $\sum_{k=1}^{n}k(k+1)$�ȂǂƂ̊֌W���l���Ă݂Ȃ����B 
  \[ 
   \binom{n}{r}
   = \binom{n-1}{r-1}
   + \binom{n-2}{r-1}
   + \cdots 
   + \binom{r-1}{r-1}
   \]
\end{Toi}

\begin{Toi} 
��`�̎��������Čv�Z���Ă݂Ċm���߂Ȃ����B
\begin{enumerate}
\item 
  \(\displaystyle
   \binom{m}{0} \binom{n-m}{r}
   + \binom{m}{1}\binom{n-m}{r-1}
   + \cdots
   + \binom{m}{r}\binom{n-m}{0}
   = 
   \binom{n}{r}
  \) 
\item 
  \(\displaystyle
   1 - \binom{n}{1}
   + \binom{n}{2}
   + \cdots +
   (-1)^n \binom{n}{n}
   =0 
  \)
\item  
  \(\displaystyle
   \binom{n}{1}
   + 2 \binom{n}{2}
   + 3 \binom{n}{3}
   + \cdots 
   + n \binom{n}{n}
   =
    n 2^{n-1}
  \)
\end{enumerate}
\end{Toi}

\begin{Toi}
�g�����v52������5����I�ԃ|�[�J�[�ŁA�ꍇ�̐���
�l���Ȃ����B

\begin{tabular}{l}
(1)���ׂĂ̏ꍇ�͉��ʂ肩�H
    ���� $\binom{52}{5}$ ��259���ʂ�
\\ 
(2)���[�����t���b�V���i������ނ̊G�D�A(10,J,Q,K,A�j�j
\\ 
(3)�t�H�[�J�[�h�i4�����������A$x\ne y,(x,x,x,x,y)$�j�A
    ���� $13\cdot 12 \cdot 4$
\\ 
(4)�X�g���[�g�i��ނ𖳎����āA�����̔ԍ��j
    ���� $9\cdot 4^5$
\\ 
(5)�X���[�J�[�h�i3����������, $(x,x,x,y,z)$�j
    ���� $13 \binom{12}{2} 4 \cdot 4^2$
\\ 
(6)�c�[�y�A�i2�g�̓�����, $(x,x,y,y,z)$�j
    ���� $\binom{13}{2} 11 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 4 $
\\ 
(7)�����y�A�i2���̂ݓ������Ŏc��̓o���o��, $(x,x,y,z,w)$�j
    ���� $13 \binom{12}{3} 6 \cdot 4^3$
\end{tabular}

\vspace{2ex}
\noindent
(�⑫)
�Ƃ��Ɍ������͑債�����Ƃ��Ȃ��悤��$\displaystyle\binom{52}{5}$
�̒l�������قǂ̖�259���ʂ�(���m�ɂ�$2598960$)�ɂ��傫�Ȑ��ɂȂ�܂����A
���̊T�Z�̌v�Z�����݂Ă݂܂��B
�X�^�[�����O�̌��� $$ n! \sim n^n e^{-n} \sqrt{2 \pi n}$$
�ł�
$$
\begin{array}{l}
52! \\ 
= 80658175170943878571660636856403766975289505440883277824000000000000
\\ 
\sim 8.05290203838866 * 10^{67}
\end{array}
$$
���̂悤�Ȃ����ւ�Ȍv�Z���p�\�R���̃��x���ł��v�Z�ł��܂��B

\end{Toi}


\begin{Toi}
���܂܂�2���W���̕\������$ {}_nC_{k}$,  $C^n_k$ �Ƃ��\������������܂��񂪁A
�������̂ł��B������������g�������Ӗ�����̎��ł͂��߂Ă���̂ł��B
���Ƃ��΁A���R��$n$ �̂����� ����$\alpha$�Ƃ��Ă��Ӗ��������܂��B
$$
 \binom{\alpha}{k} = \dfrac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots (\alpha-k+1)}{k!}
  \quad k=0,1,2,3,\cdots
$$
������������āA$k=0,1,2,3,\cdots$ �ɑ΂��� 
$\displaystyle\binom{-1}{k}, \binom{-2}{k}$�Ȃǂ��v�Z���Ă݂Ȃ����B
�ǂ�Ȃ��Ƃ��C�Â��܂����H �p�X�J���O�p�`�Ɗ֌W������̂ł��B


\end{Toi}

\end{document}
