モンテカルロ法による積分について

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モンテカルロ法とは、「数学的問題を計算機で処理するときに乱数を用いる方法」のことで、コンピューターによるシミュレーション手法の一つです。ここで、乱数とは、一定の範囲から選ばれた規則性のない数の列のことで、サイコロのを振って出た目を並べたものなどが、典型的な乱数といえます。次に積分の計算に乱数を用いる方法を説明します。まず、関数 f が与えられたとします。ここでは説明を簡単にするために、この関数は、

f:[0,1]→[0,1];         但し、[0,1]は実数上の0と1との閉区間

であるとして、今、[0,1]上の定積分を行うこととします。

定積分の値は上の図の灰色の部分の面積を求めればよいわけです。

さて、つぎに乱数を用いて、[0,1]×[0,1]の正方形のなかに、特に規則性なく、かたよりなく点を打っていったとして…

この点が灰色の部分に命中し確率を考えます。この確率は、つぎのような関係式を満すはずです：

      灰色の所の面積
--------------------------  =   灰色の部分に命中する確率
[0,1]×[0,1]の正方形の面積

すなわち、
灰色の所の面積 = (灰色の部分に命中する確率)([0,1]×[0,1]の正方形の面積)
               = 灰色の部分に命中する確率

プログラムでは、計算機をもちいて何万回か正方形の中に規則性なくかたよりなく点を打つ実験をおこなって、灰色の部分に命中する確率をもとめるのです。そして、乱数をもちいるのはどこかというと、「規則性なくかたよりなく点を打つ」というところです。 (作成中)

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