牧野書店, 微分方程式改訂版, 正誤表

1 2003/01/10 改訂版

p.1, ↓ 6.  {誤  y(x) = ∫ f(t)dt + C \atop 正  y(x) = ∫ f(x)dx + C}
p.9, ↓ 13.  {誤  \{\frac{dz}{dx} + (g(x) + 2f(x)y_{0}) + f(x)z^{2}\} \atop 正  \{\frac{dz}{dx} + (g(x) + 2f(x)y_{0})z + f(x)z^{2}\}}
{p.9, ↑ 9. \atop (1.15)}  {誤\frac{dz}{dx} + (g(x) + 2f(x)y_{0}) + f(x)z^{2} = 0 \atop 正\frac{dz}{dx} + (g(x) + 2f(x)y_{0})z + f(x)z^{2} = 0}
{p.10, ↑ 3. \atop 問 1.2.9(2)}  {誤特殊解 y = \frac{x^{2} − \sqrt{3}}{x^{3}} \atop 正特殊解 y = \frac{x + \sqrt{3}}{x^{2}}}
p.12, ↑ 10.  {誤  P (x, y_{0}) + P_{y}(x, y) − P_{y}(x, y_{0}) = P (x, y), \atop 正  P (x, y_{0}) + P (x, y) − P (x, y_{0}) = P (x, y),}
{p.18, ↓ 10. \atop 例題 1.4.3}  {誤  y′′′ − 3y′ − 2y = 0 を解け. \atop 正  y′′′ − 3y′ + 2y = 0 を解け.}
{p.18, ↓ 11. \atop 例題 1.4.3}  {誤特性方程式 ξ^{3} − 3ξ − 2 = (ξ − 1)^{2}(ξ + 2) = 0 は \atop 正特性方程式 ξ^{3} − 3ξ + 2 = (ξ − 1)^{2}(ξ + 2) = 0 は}
{p.18, ↑ 8. \atop 例 1.4.5}  {誤これは変数変換 x = e^{t} に \atop 正{これは x > 0 に対して変数変換 x = e^{t}, x < 0 に対して x = −e^{t} \atop とおくことに}}
{p.18, ↑ 5. \atop 例 1.4.5}  {誤  e^{t} \frac{dy}{dx} \atop 正  ±e^{t} \frac{dy}{dx}}
{p.19, ↓ 6. \atop 例題 1.4.6}  {誤  y = Cx^{\sqrt{a}} + Dx^{−\sqrt{a}} \atop 正  y = C |x|^{\sqrt{a}} + D |x|^{−\sqrt{a}}}

p.22, ↓ 3.  {誤\frac{1}{2λ}x cos(λx + μ). \atop 正  −\frac{1}{2λ}x cos(λx + μ).}

{p.22, ↓ 8. \atop 例題 1.5.2}  {誤  D^{2} − 3D + 2 に対し公式 (7) より \atop 正  D^{2} − 3D + 2 に対し公式 (6) より}

{p.22, ↓ 9. \atop 例題 1.5.2}  {誤\frac{1}{2} (1 + (\frac{2}{3}D − \frac{1}{2}D^{2}) + (\frac{2}{3}D − \frac{1}{2}D^{2})^{2} + ⋯) x^{2} \atop 正\frac{1}{2} (1 + (\frac{3}{2}D − \frac{1}{2}D^{2}) + (\frac{3}{2}D − \frac{1}{2}D^{2})^{2} + ⋯) x^{2}}

{p.23, ↓ 2. \atop 例題 1.5.4}  {誤また, 公式 (5) より特殊解は \atop 正また, 公式 (5), (6) より特殊解は}

{p.23, ↓ 11. \atop 例題 1.5.6}  {誤また, 公式 (9), (11) より特殊解は \atop 正また, 公式 (7), (13) より特殊解は}

{p.23, ↓ 11. \atop 例題 1.5.6} 2 刷{誤また, 公式 (9), (13) より特殊解は \atop 正また, 公式 (7), (13) より特殊解は}

p.24, ↓ 3.  {誤例 1.5.8 \atop 正例題 1.5.8}

{p.29, ↑ 1. \atop 例題 1.6.8}  {誤  Q′′_{1}(ξ) = −\frac{1}{6} \atop 正  Q′′_{1}(0) = −\frac{1}{6}}

{p.30, ↓ 5. \atop 類題 1.6.9(1)} 2 刷{誤  y′(x) + y(x − 1) \atop 正  y(x) − y(x − 1)}

p.35, ↓ 6.  {誤  D^{(l−j)}b(x) \atop 正  D^{l−j}b(x)}

p.36, ↑ 1.  {誤  (7) 同様に, \atop 正  (7) 同様に P (0) ≠ 0 として,}

p.37, ↓ 9.  {誤\frac{(−1)^{l}}{(P (ξ))^{l+1}} を代入 \atop 正\frac{(−1)^{l}l!}{(P (ξ))^{l+1}} を代入}

p.39, ↓ 5.  2 刷{誤  (9) は公式 (2) を m 回繰り返し用いればよい. \atop 正  (9) は明らか.}

p.39, ↑ 1.  {誤\frac{1}{2λ}x cos(λx + μ). \atop 正  −\frac{1}{2λ}x cos(λx + μ).}

p.40, ↓ 13.  {誤かつ関係式 \atop 正かつ, (x_{0}, y_{0}, p_{0}) の近傍で関係式}

p.40, ↓ 14.  {誤コーシー問題 \atop 正  y(x) がコーシー問題}

p.40, ↓ 16.  {誤は \atop 正の解で, かつ y′(x_{0}) = p_{0} をみたすことと, y(x) が}

p.40, ↓ 18.  {誤と同値になり \atop 正の解であることとが同値になり}

p.41, ↓ 4–5.  {誤正規形であれば一般解が存在するから, 特異解 ψ(x) は \atop 正 F が条件 (b) をみたすとする. (1.39) の解 ψ(x) に対して ; F_{p}(x_{0}, ψ(x_{0}), ψ′(x_{0})) ≠ 0 なる点 x_{0} が存在すれば, x_{0} の近くで ; ψ は (1.41) の一意解に一致し, y′ = f(x, y) の一般解で表せるこ ; とになる. よって ψ(x) が特異解ならば}

{p.41, ↑ 1. \atop 例題 1.7.2}  {誤  (\frac{C ± x}{2})^{2} \atop 正  (\frac{x + C}{2} )^{2} (図 1.1 中の式も同様に修正)}

{p.42, ↑ 11. \atop 例 1.7.3}  {誤  ϕ(x, y, C) = y − \frac{(x ± C)^{2}}{2} = 0 \atop 正  ϕ(x, y, C) = y − (\frac{x + C}{2} )^{2} = 0}

{p.42, ↑ 11. \atop 例 1.7.3} 2 刷{誤  ϕ_{C}(x, y, C) = −(x ± C) = 0 \atop 正  ϕ_{C}(x, y, C) = −\frac{x + C}{2} = 0}

p.42, ↑ 3.  {誤  y′ = (\frac{y}{x})^{2} ± \sqrt{(\frac{y}{x})^{2} − 1} \atop 正  y′ = \frac{y}{x} ± \sqrt{(\frac{y}{x})^{2} − 1}}

p.42, ↑ 2.  {誤一般解 y = (2C + 1) − c^{2}x^{2} および y = \frac{x^{2} + C^{2}}{2C} を得る. \atop 正一般解 y = \frac{x^{2} + C^{2}}{2C} を得る.}

{p.42, ↑ 1. \atop 〜 p.43, ↓ 2.}  {誤後者とそれを C で微分した式から C を消去して y = ±x を, ま ; た前者からは同様にして y = \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} を得る. このうち与式の解に ; なっているのは y = ±x であるので, \atop 正{これを, ϕ(x, y, C) := x^{2} + C^{2} − 2Cy = 0 と表し, ϕ_{C}(x, y, C) = 0 \atop とから C を消去して y = ±x を得る. これは与式の解であり,}}

p.43, ↓ 2.  {誤これが特殊解である \atop 正これが特異解である}

{p.43, ↓ 2. \atop 問 1.7.5(1)} 2 刷{誤  y = 2xy′ + 3y^{′2} \atop 正  y = y^{′2} − xy′ + \frac{x^{2}}{2}}

{p.43, ↓ 2. \atop 問 1.7.5(2)} 2 刷{誤  xy^{′2} − 2yy′ + x = 0 \atop 正  xy^{′2} + 2xy′ − y = 0 (x > 0)}

{p.44, ↓ 9. \atop 例題 1.7.6}  {誤  ±(\frac{1}{\sqrt{x}} + \sqrt{x}) \atop 正  ±2\sqrt{x}}

p.62, ↑ 13.  {誤  Φ(r) および Ψ(r) \atop 正  Φ(r) および Ψ(θ)}

p.65, ↓ 6.

誤 g(θ) = u(1, θ) = ∑_{n=1}^{∞} u_{n}(1, θ) = ∑_{n=1}^{∞}(α_{n} cos nθ + β_{n} sin nθ)

正 g(θ) = u(1, θ) = ∑_{n=0}^{∞} u_{n}(1, θ) = ∑_{n=0}^{∞}(α_{n} cos nθ + β_{n} sin nθ)

p.67, ↑ 3.  2 刷{誤  Δu = u_{xx} + v_{yy} = (u_{x})_{x} + (v_{y})_{y} \atop 正  Δu = u_{xx} + u_{yy} = (u_{x})_{x} + (u_{y})_{y}}

{p.92, ↓ 1. \atop (3.9)}  {誤  x_{k+1} = \atop 正  x_{k+1}(t) =}

{p.92, ↓ 3. \atop (3.10)}  {誤  ∥x_{k} − ξ∥ \atop 正  ∥x_{k}(t) − ξ∥}

p.93, ↓ 4.  {誤  ∥x_{k+1} − x_{k}∥ \atop 正  ∥x_{k+1}(t) − x_{k}(t)∥}

p.93, ↓ 6.  {誤  ∥x_{k+1} − x_{k}∥ \atop 正  ∥x_{k+1}(t) − x_{k}(t)∥}

p.93, ↓ 8.  {誤  ∥x_{k+1} − x_{k}∥ \atop 正  ∥x_{k+1}(t) − x_{k}(t)∥}

p.95, ↓ 1.  {誤  −f(s, y(t)) \atop 正  −f(s, y(s))}

{p.95, ↓ 9. \atop 補題 3.1.2}  {誤負でない連続関数 \atop 正非負値連続関数}

{p.96, ↓ 7. \atop 定理 3.1.3}  →  付記参照のこと.

p.97, ↓ 11.  {誤スカラーの微分方程式 \atop 正単独の微分方程式}

{p.98, ↓ 2–4. \atop 定理 3.2.1}  → {初期値問題 (3.22) の解 y(t) が t ∈ [τ, τ + a] で存在することにつ \atop いては付記参照のこと.}

p.98, ↓ 6.  {誤  y′(t_{1}) < y′(t_{1}) \atop 正  y′(t_{1}) < u′(t_{1})}

p.100, ↓ 3.  {誤同次線形微分方程式 \atop 正  1 階同次線形微分方程式}

p.100, ↓ 3.  {誤非同次線形微分方程式 \atop 正  1 階非同次線形微分方程式}

p.102, ↓ 1.  {誤これを基本行列 \atop 正正則な行列解を基本行列}

p.107, ↑ 9.  {誤定数係数線形微分方程式 \atop 正定数係数同次線形微分方程式}

{p.109, ↑ 5. \atop (3.39)}  {誤  −a_{n−1}x_{2} \atop 正  −a_{n−1}(t)x_{2}}

p.111, ↓ 8.  {誤場合である. \atop 正場合である. x や f が n 次元ベクトルのとき, すなわちこれらが ; ℝ^{n}-値関数のときは n 次元自励系, f が x の 1 次式のときは線形 ; 自励系ともいう.}

p.111, ↓ 10.  {誤まずは 2 次元線形微分方程式の \atop 正まずは 2 次元線形自励系の}

p.111, ↓ 12.  {誤  2 次元線形微分方程式 \atop 正  2 次元線形自励系}

p.111, ↑ 2.  {誤  3.6 節で見たように, \atop 正  3.4 節で見たように,}

p.111, ↑ 2.  {誤  y = P x \atop 正  x = P y}

p.112, ↓ 1.  {誤\frac{dy}{dt} = (P AP^{−1})y \atop 正\frac{dy}{dt} = (P^{−1}AP)y}

p.112, ↓ 2.  {誤このとき, P AP^{−1} は \atop 正このとき, P^{−1}AP は}

p.116, ↓ 2.  {誤  2 次元の自励系微分方程式 \atop 正  2 次元自励系}

p.117, ↓ 1.  {誤  x(t_{k}) ∈ ⋃_{s≤t_{k}} x(t) \atop 正  x(t_{k}) ∈ ⋃_{s≤t} x(t)}

{p.124, ↑ 11. \atop 問題 3.4}  {誤  f(t, x) が \atop 正連続関数 f(t, x) が}

{p.126, ↓ 3. \atop 問題 3.11(1)}  {誤\frac{dx}{dt} = x − y \atop 正\frac{dy}{dt} = x − y}

{p.126, ↓ 3. \atop 問題 3.11(2)}  {誤\frac{dx}{dt} = x − y \atop 正\frac{dy}{dt} = x − y}

{p.126, ↓ 4. \atop 問題 3.11(3)}  {誤\frac{dx}{dt} = x + 3y \atop 正\frac{dy}{dt} = x + 3y}

{p.126, ↓ 4. \atop 問題 3.11(4)}  {誤\frac{dx}{dt} = 3x + y \atop 正\frac{dy}{dt} = 3x + y}

{p.126, ↓ 5. \atop 問題 3.12}  {誤スカラーの \atop 正単独の}

{p.126, ↑ 7. \atop 問題 3.14}  {誤  2 つの関数 f(t, x), g(t, x) が \atop 正  2 つの関数 f(x, y), g(x, y) が}

{p.126, ↑ 4. \atop 問題 3.14}  {誤\frac{dx}{dt} = g(x, y) \atop 正\frac{dy}{dt} = g(x, y)}

p.150, ↓ 13– ; 16. ; 定義 4.4.8 2 刷{誤任意の t ∈ [0, 1] に対して ; f(0, t) = ϕ_{0}(t), f(1, t) = ϕ_{1}(t) ; をみたすものが存在することをいう^{8}. \atop 正任意の t ∈ [0, 1] に対して f(0, t) = ϕ_{0}(t), f(1, t) = ϕ_{1}(t) をみた ; し, また任意の s ∈ [0, 1] に対して f(s, 0) = ϕ_{0}(0), f(s, 1) = ϕ_{0}(1) ; をみたすものが存在することをいう^{8}.}

p.161, ↓ 12. 3 刷{誤  qI_{m} − q exp(2π\sqrt{−1}J_{m}) \atop 正  q exp(2π\sqrt{−1}J_{m}) − qI_{m}}

p.161, ↑ 8. 3 刷{誤  (qI_{m} − q exp(2π\sqrt{−1}J_{m}))^{m−1} \atop 正  (q exp(2π\sqrt{−1}J_{m}) − qI_{m})^{m−1}}

p.161, ↑ 5. 3 刷{誤  (qI_{m} − q exp(2π\sqrt{−1}J_{m}))^{m} \atop 正  (q exp(2π\sqrt{−1}J_{m}) − qI_{m})^{m}}

{p.165, ↑ 5–4. \atop 系 4.6.6} 2 刷{誤方程式 (RS1) はオイラー型の方程式 \atop 正{方程式 (RS1) は, 適当な R ∈ GL(m, R_{ρ}) による変換 u = Rv で, \atop オイラー型の方程式}}

{p.166, ↑ 3. \atop 補題 4.6.8} 2 刷{誤  (I_{s} − μ ad_{J})E_{μ}K = K \atop 正  (I_{s} − μ ad_{J})E_{μ}K = E_{μ}(I_{s} − μ ad_{J})K = K}

p.166, ↑ 1. 2 刷{誤左辺を実際に計算し, \atop 正  E_{μ} と I_{s} − μ ad_{J} は可換である. 左辺を実際に計算し,}

p.175, ↓ 1. 2 刷{誤  |u| ≤ |z|^{−N} \atop 正  ∃C, |f(z)| ≤ C|z|^{−N}}

{p.181, ↓ 4. \atop 問 1.1.8(5)}  {誤  y = ±\sqrt{2(log x + \frac{x^{2}}{2} + C)} \atop 正  y = ±\sqrt{x^{2} + 2 log |x| + C}}

{p.181, ↓ 5. \atop 問 1.1.8(7)}  {誤  y = ±\sqrt{log(e^{x} − 1) + C} \atop 正  y = ±\sqrt{log |e^{x} − 1| + C}}

{p.181, ↓ 6. \atop 問 1.1.9(1)}  {誤  y = x(log x + C) \atop 正  y = x(log |x| + C)}

{p.181, ↑ 9. \atop 問 1.2.5(8)} 誤 y = \frac{1}{24 sin x}(6 sin 2x − 3 sin 4x − 16 cos^{3} x + 24x + C)

正 y = \frac{1}{24 sin x}(−3 cos 4x − 6 cos 2x + 4 sin 3x + 12 sin x + C)

{p.181, ↑ 7. \atop 問 1.2.6(3)} 誤\frac{1}{y^{3}} = −2 sin x cos^{2} x − sin x + C cos^{2} x

正\frac{1}{y^{3}} = −2 sin x cos^{2} x − sin x + C cos^{3} x

{p.181, ↑ 6. \atop 問 1.2.9(1)}  {誤  y = \frac{x^{2} − C}{x(x^{2} + C)} \atop 正  y = −\frac{1}{x} + \frac{3x^{2}}{x^{3} + C}}

{p.181, ↑ 2. \atop 問 1.3.6(5)}  {誤  log \frac{x}{y} + x^{3}y^{2} = C \atop 正  log |\frac{x}{y}| + x^{3}y^{2} = C}

{p.182, ↓ 4. \atop 問 1.3.7(6)}  {誤積分因子 xy^{2}, 一般解 log x − \frac{x}{y} = C \atop 正積分因子 1/xy^{2}, 一般解 log |x| − \frac{x}{y} = C}

{p.182, ↓ 6. \atop 問 1.4.8(4)} 誤 y = e^{2x}(C_{1} cos 3x + C_{2} sin 3x)

正 y = e^{−2x}(C_{1} cos 3x + C_{2} sin 3x)

{p.182, ↓ 12. \atop 問 1.4.9(1)}  {誤  (C_{1} + C_{2} log x)\frac{1}{x} \atop 正  (C_{1} + C_{2} log |x|)\frac{1}{x}}

{p.182, ↓ 13. \atop 問 1.4.9(4)} 誤 C_{1} cos(log x) + C_{2} sin(log x)

正 C_{1} cos(log |x|) + C_{2} sin(log |x|)

{p.182, ↑ 2. \atop 問 1.7.5(1)} 2 刷{誤  y = −\frac{x^{2}}{3} \atop 正  y = \frac{x^{2}}{4}}

{p.182, ↑ 2. \atop 問 1.7.5(2)} 2 刷{誤  y = ±x \atop 正  y = −x}
{p.183, ↓ 4. \atop 問題 1.1(6)}  {誤  x + y + log xy = C \atop 正  x + y + log |xy| = C}

{p.183, ↓ 6. \atop 問題 1.1(13)}  {誤  x + \frac{x^{2}}{2} + y − log y = C \atop 正  x + \frac{x^{2}}{2} + y − log |y| = C}

{p.183, ↓ 7. \atop 問題 1.1(15)}  {誤  y = log \frac{x}{1 + x} + C \atop 正  y = log|\frac{x}{1 + x}| + C}

{p.183, ↓ 13. \atop 問題 1.2(4)}  {誤  e^{\frac{3x}{y}} (x + y)^{2} = Cx^{3} \atop 正\frac{y^{3}}{x^{2} + y^{2}} = C}

{p.183, ↓ 13. \atop 問題 1.2(6)}  {誤  y^{3} = 3x^{3} log Cx \atop 正  y^{3} = 3x^{3}(log |x| + C)}
{p.183, ↓ 14. \atop 問題 1.2(8)}  {誤  8x − 4y + 15 log(8x − 12y − 7) = C \atop 正  8x − 4y + 5 log |8x − 12y − 7| = C}

{p.183, ↓ 16. \atop 問題 1.2(14)} 誤 2\sqrt{\frac{y}{x}} + log y = C

正 x > 0 では\sqrt{\frac{x}{y}} + log y = C, x < 0 では\sqrt{\frac{x}{y}} − log(−y) = C

{p.183, ↓ 17. \atop 問題 1.2(15)}  {誤  2y = Cx^{2} − \frac{1}{C}, x = 0 \atop 正  2y = Cx^{2} − \frac{1}{C}}

{p.183, ↑ 11. \atop 問題 1.3(2)} 誤 y cos x + log cos x = C

正 y cos x + log | cos x| = C

{p.183, ↑ 10. \atop 問題 1.3(4)}  {誤  y = \frac{1}{2}(x + a)^{4} + C(x + a)^{2} \atop 正  y = (x + a)^{3} + C(x + a)^{2}}

{p.183, ↑ 8. \atop 問題 1.4(2)}  {誤  y^{4} = Ce^{− \frac{1}{2} x^{2}} + 1 \atop 正  y^{4} = Ce^{−2x^{2}} + 1}

{p.183, ↑ 5. \atop 問題 1.5(4)} 誤 log x + x log y + y^{2} = C

正 log |x| + x log y + y^{2} = C

{p.183, ↑ 2. \atop 問題 1.5(10)} 2 刷{誤\frac{1}{2}x^{2} + 2 log y − \frac{x}{y} = C \atop 正\frac{1}{2}x^{2} + 2 log |y| + \frac{x}{y} = C}

{p.184, ↓ 1. \atop 問題 1.6(2)}  {誤\sqrt{x}(x − y^{2}) = C, 積分因子\frac{1}{\sqrt{x}} \atop 正\sqrt{|x|}(x − y^{2}) = C, 積分因子\frac{1}{\sqrt{|x|}}}

{p.184, ↓ 11. \atop 問題 1.7(11)} 誤 y = C_{1}e^{ax} + C_{2}e^{−ax} + C_{3} cos ax + C_{4} sin x

正\begin{matrix}a ≠ 0 のとき y = C_{1}e^{ax} + C_{2}e^{−ax} + C_{3} cos ax + C_{4} sin ax, \\ a = 0 のとき y = C_{1} + C_{2}x + C_{3}x^{2} + C_{4}x^{3} \end{matrix}

{p.184, ↓ 16. \atop 問題 1.8(4)} 2 刷 誤 (4) (C_{1} cos x + C_{2} sin x)e^{−x}+

正 (4) y = (C_{1} cos x + C_{2} sin x)e^{−x}+

{p.185, ↓ 2. \atop 問題 1.9(1)} 誤 C_{1} cos(log x) + C_{2} sin(log x)

正 C_{1} cos(log |x|) + C_{2} sin(log |x|)

{p.185, ↓ 2. \atop 問題 1.9(2)}  {誤  (C_{1} + C_{2} log x)x^{2} \atop 正  (C_{1} + C_{2} log |x|)x^{2}}

{p.185, ↓ 3. \atop 問題 1.9(4)} 誤 C_{1} + C_{2} cos(log x) + C_{3} sin(log x)

正 C_{1} + C_{2} cos(log |x|) + C_{3} sin(log |x|)

{p.187, ↓ 7. \atop 問題 2.6(1)} 3 刷 誤 (1) \frac{1}{2} sin(\frac{3πx}{ℓ}) cos(\frac{3πct}{ℓ})+

正 (1) sin(\frac{3πx}{ℓ}) cos(\frac{3πct}{ℓ})+

{p.188, ↓ 1. \atop 問題 3.3}  {誤  ∥f(t, x(t)))∥ \atop 正  ∥f(t, x(t))∥}

{p.188, ↓ 8. \atop 問題 3.3}  {誤  | ∫_{a}^{t} u(s)v(s)ds| \atop 正|∫_{a}^{t} u(s)v(s)ds|}

{p.188, ↓ 9. \atop 問題 3.3}  {誤  | ∫_{a}^{t} u(s)v(s)ds| \atop 正|∫_{a}^{t} u(s)v(s)ds|}

{p.188, ↑ 5-4. \atop 問題 3.4}  {誤  (τ, 0) を通る解は v(t) = \frac{u(t_{1})}{t_{1} − τ} (t − τ) \atop 正  (t_{1}, ∥u(t_{1})∥) を通る解は v(t) = \frac{∥u(t_{1})∥}{t_{1} − τ}(t − τ)}

{p.188, ↑ 4. \atop 問題 3.4}  {誤  u(t) ≥ v(t) (t ≤ t_{1}) \atop 正  ∥u(t)∥ ≥ v(t) (τ < t ≤ t_{1})}

{p.188, ↑ 3. \atop 問題 3.4}  {誤  u(τ) = v(τ) = 0 と問題 3.2 より \atop 正  ∥u(τ)∥ = v(τ) = 0 より}

{p.188, ↑ 2. \atop 問題 3.4}  {誤  0 = \frac{dv(τ)}{dt} ≥ lim_{t→τ+0} \frac{dv(t)}{dt} = \frac{u(t_{1})}{t_{1} − τ} > 0 \atop 正  0 = \frac{d ∥u∥}{dt}(τ) ≥ lim_{t→τ+0} \frac{v(t)}{t − τ} = \frac{u(t_{1})}{t_{1} − τ} > 0}

2 付記

p.96 定理 3.1.3 と p.97 定理 3.2.1 では, 下記の, (改訂の際に削除した) 初期値問題の解の存在定理を暗黙のうちに使っている. この存在定理を参照の上, 定理 3.2.1 では証明の途中 p.98 の 2〜4 行目で初期値問題の解が大域的に存在するところに使っているのでその点に注意されたい. また定理 3.1.3 は他にも多数間違いがあるので新たに書き直した. こちらを参照されたい.

2.1 存在定理

(τ, ξ) を ℝ × ℝ^{n} の点, a, b を正の数とし,

Ω_{1} := {(t, x) ∈ ℝ × ℝ^{n} | −a + τ ≤ t ≤ τ + a, ∥x − ξ∥ ≤ b}

と定める. f(t, x) を Ω_{1} 上の ℝ^{n}-値関数とするとき, 初期値問題の解の存在定理. f(t, x) は Ω_{1} 上で連続かつ ∥f(t, x)∥ ≤ M とする. このとき, [τ − α, τ + α] 上で定義された (τ, ξ) を通る

\frac{dx}{dt} = f(t, x)  (1)

の解が少なくとも 1 つ存在する. ここで α = min\{a, \frac{b}{M} \}. 証明 (コーシーの折れ線法). [τ, τ +α] 上のみで考える. f(t, x) は有界閉集合 Ω_{1} 上で連続であるから一様連続である. すなわち, 任意の ε > 0 に対し δ(ε) > 0 が存在して, 任意の 2 点 (t, x), (r, y) ∈ Ω_{1} に対して

|t − r| ≤ δ(ε), ∥x − y∥ ≤ δ(ε) ⟹ ∥f(t, x) − f(r, y)∥ ≤ ε  (2)

が成り立つ.

区間 [τ, τ + α] の分点 t_{k} (k = 0, 1, …, n) を

τ = t_{0} < t_{1} < ⋯ < t_{n−1} < t_{n} = τ + α

のようにとり, [τ, τ + α] を n 個の小区間 [t_{k−1}, t_{k}] (k = 1, 2, …, n) に分ける. 各小区間の長さはどれも δ(ε) および\frac{δ(ε)}{M} 以下, すなわち

max\{t_{k} − t_{k−1} | k = 1, 2, ⋯, n\} ≤ min\{δ(ε), \frac{δ(ε)}{M}\}.  (3)

とする.

この分点に応じて折れ線 x = y(t) を次のように構成する. まず y_{0} = ξ とし, 点 P_{0}(t_{0}, y_{0}) = (τ, ξ) を通り傾きが f(t_{0}, , y_{0}) の直線を引き, それが t = t_{1} と交わる点を P_{1}(t_{1}, y_{1}) とする. すると P_{1} ∈ Ω_{1} が言える. 次に, 点 P_{1}(t_{1}, y_{1}) を通り傾きが f(t_{1}, y_{1}) の直線を引き, それが t = t_{2} と交わる点を P_{2}(t_{2}, y_{2}) とすると, やはり P_{2} ∈ Ω_{1} となる. この操作は n 回繰り返すことができ, n + 1 個の点 P_{0}, …, P_{n} が得られ, これらを順に線分でつないで折れ線 P_{0}P_{1}P_{2} ⋯ P_{n} ができる. この折れ線をグラフに持つ関数を x = y(t) で表すと, y(t) は t ∈ [τ, τ + α] に対して定義され,

y(t_{k}) = y_{k} (k = 0, 1, ⋯, n), とくに y(τ) = ξ,

k = 1, 2, …, n について,

y(t) = y(t_{k−1}) + f(t_{k−1}, y(t_{k−1}))(t − t_{k−1}), t ∈ [t_{k−1}, t_{k}],
y′(t) = f(t_{k−1}, y(t_{k−1})), t ∈ (t_{k−1}, t_{k}),  (4)

をみたす. (もちろん y(t) は分点では微分可能とは限らない). よって,

∥y(t) − y(r)∥ ≤ M |t − r| t, r ∈ [τ, τ + α]  (5)

となるから, (3) と合わせると

∥y(t) − y(t_{k−1})∥ ≤ M · \frac{δ(ε)}{M} = δ(ε), t ∈ [t_{k−1}, t_{k}]

が得られる. 一方 (2) と (3) より

∥f(t_{k−1}, y(t_{k−1})) − f(t, y(t))∥ ≤ ε, t ∈ [t_{k−1}, t_{k}]

となるから, (4) と合わせて,

∥y′(t) − f(t, y(t))∥ ≤ ε, t ≠ t_{k} (k = 0, 1, …, n).

このように, 連続で, 有限個の点を除いて C^{1}-級で, そこで∥y′(t) − f(t, y(t))∥ ≤ ε となる関数 y(t) を (1) の ε-近似解という. ここまでの議論から, 任意の正の数 ε に対して (1) の (τ, ξ) を通る ε-近似解で, (5) をみたすものが存在することがわかる. (一般の ε-近似解も, (5) の M を M + ε に変えた評価はみたす).

n → ∞ のとき ε_{n} → 0 となる正の数の減少列 ε_{1} > ε_{2} > ⋯ をとり, おのおのの ε_{n} に対して (5) をみたす ε_{n}-近似解 x_{n}(t) をとって, [τ, τ + α] 上の関数列 {x_{n}(t)}_{n} を考える.

すると (5) より {x_{n}(t)}_{n} は同等連続, さらに |t − τ| ≤ α ≤ b/M および x_{n}(τ) = ξ に注意すると

∥x_{n}(t)∥ ≤ ∥ξ∥ + b

より {x_{n}(t)}_{n} は一様有界になる. したがって, アスコリ・アルツェラの定理から [τ, τ + α] 上ある連続関数 x(t) に一様収束する {x_{n}(t)}_{n} の部分列 {x_{n_{k}}(t)}_{k} が存在する. この x(t) が (τ, ξ) を通る (1) の解となることを示そう. それには教科書 (3.2) と同じ,

x(t) = ξ + ∫_{τ}^{t} f(s, x(s))ds  (6)

をみたすことを言えばよい.

x_{n}(t) に対して h_{n}(t) を

h_{n}(t) = \{ \begin{matrix}\frac{dx_{n}(t)}{dt} − f(t, x_{n}(t)) & (x_{n}(t) の微係数が存在する t) \\ 0 & (x_{n}(t) の微係数が存在しない t) \end{matrix}

と定義すると明らかに

∥h_{n_{k}}(t)∥ ≤ ε_{n_{k}}.  (7)

x_{n}(t) の微係数が存在しない点は有限個であるから

x_{n_{k}}(t) = ξ + ∫_{τ}^{t}{f(s, x_{n_{k}}(s)) + h_{n_{k}}(s)}ds  (8)

となる. (7) より任意の ε > 0 に対して番号 N_{1}(ε) が存在して, k ≥ N_{1}(ε) ならば

∥∫_{τ}^{t} h_{n_{k}}(s)ds∥ ≤ ∫_{τ}^{t} ∥h_{n_{k}}(s)∥ ds ≤ αε

とできる. また, f(t, x) の一様連続性から得られる δ(ε) ((2) を成立させる定数) に対して番号 N_{2}(δ(ε)) が存在し, k ≥ N_{2}(δ(ε)) ならば

∥x_{n_{k}}(t) − x(t)∥ < δ(ε)

となり, このとき t ∈ [τ, τ + α] に対し

∥f(t, x_{n_{k}}(t)) − f(t, x(t))∥ < ε  (9)

が成り立つ. よって k ≥ max{N_{1}(ε), N_{2}(δ(ε))} に対し (9) より

∥∫_{τ}^{t}{f(s, x_{n_{k}}(s)) + h_{n_{k}}(s) − f(s, x(s))}ds∥
≤ ∫_{τ}^{t} ∥f(s, x_{n_{k}}(s)) − f(s, x(s))∥ ds + ∫_{τ}^{t} ∥h_{n_{k}}(s)∥ ds ≤ αε + αε = 2αε

すなわち k → ∞ のとき (8) の右辺は ∫_{τ}^{t} f(s, x(s))ds に近づく. よって (6) が成立する.

2.2 定理 3.1.3

定理 3.1.3 I を開区間とし, f(t, x) は I × ℝ^{n} 上で連続であり, さらに I 上で定義された非負値連続関数 M(t), N(t) が存在して

∥f(t, x)∥ ≤ M(t) ∥x∥ + N(t)  (10)

をみたしているならば, (τ, ξ) ∈ I × ℝ^{n} を通る (3.6) の解で τ を含む開区間で定義されたものは, 常に I 上に解として延長される. 証明. 開区間 J_{1}, J_{2} ⊂ I および J_{1} 上の解 x_{1}, J_{2} 上の解 x_{2} に対して, J_{1} ⊂ J_{2} かつ t ∈ J_{1} に対して x_{1}(t) = x_{2}(t) となるとき (J_{1}, x_{1}) ≺ (J_{2}, x_{2}) と定める. 開区間 J ⊂ I (τ ∈ J) 上で定義された (τ, ξ) を通る (3.6) の解 x(t) に対して (J, x) ≺ (J̃, x̃) なる (J̃, x̃) 全体の集合は順序 ≺ に関して帰納的順序集合をなすから, ツォルンの補題から極大元が存在する. よって最初から (J, x) が極大元とし, J ⊊ I と仮定して矛盾を導こう. ここでは J の右端点 β が I の右端点 b と異なる場合を扱うが, 左端点同士が異なる場合も同様である.

x は t ∈ J について

x(t) = ξ + ∫_{τ}^{t} f(s, x(s))ds

をみたすから, (10) より t ∈ [τ, β) に対して

∥x(t)∥ ≤ ∥ξ∥ + ∫_{τ}^{t} ∥f(s, x(s))∥ ds
≤ ∥ξ∥ + ∫_{τ}^{t}{M(s) ∥x(s)∥ + N(s)}ds
≤ ∥ξ∥ + ∫_{τ}^{t} N(s)ds + ∫_{τ}^{t} M(s) ∥x(s)∥ ds.

よって f(t) = ∥x(t)∥, g(t) = ∥ξ∥ + ∫_{τ}^{t} N(s)ds, h(s) = M(s) とおいて補題 3.1.2 を用いると

∥x(t)∥ ≤ ∥ξ∥ + ∫_{τ}^{t} N(s)ds + ∫_{τ}^{t} {∥ξ∥ + ∫_{τ}^{s} N(r)dr} M(s) exp {∫_{s}^{t} M(r)dr} ds  (11)

を得る. (11) の右辺は t < β のみならず β ≤ t < b でも定義され, τ ≤ t < b 上連続となるから, 有界閉区間 [τ, β] 上で有界である. また t_{1}, t_{2} ∈ [τ, β) について

x(t_{2}) − x(t_{1}) = ∫_{t_{1}}^{t_{2}} f(t, x(t))dt

が成り立つが, [τ, β) での x(t) の有界性と I × ℝ^{n} での f(t, x) の連続性から f(t, x(t)) も [τ, β) で有界となることに注意すると, ある定数 C を用いて

∥x(t_{2}) − x(t_{1})∥ ≤ C |t_{2} − t_{1}|

と評価される. 主張. lim_{t↗β} x(t) が存在する. 主張の証明. n → ∞ のとき β に収束するような [τ, β) 内の 2 つの点列 {s_{n}}_{n}, {t_{n}}_{n} を考える. もし {x(s_{n})}_{n} が収束すれば, ∥x(s_{n}) − x(t_{n})∥ ≤ C |s_{n} − t_{n}| において n → ∞ とすることで, {x(t_{n})}_{n} も収束して lim_{n→∞} x(t_{n}) = lim_{n→∞} x(s_{n}) となることがわかる. 一方, β に収束する任意の列 {t_{n}}_{n} ⊂ [τ, β) に対して {x(t_{n})}_{n} は有界列だから収束部分列 {x(t_{n_{k}})}_{k} が存在する. このときに列 {t_{n_{k}}}_{k} を上記の列 {s_{n}}_{n} とみなすことで, 実は部分列をとる前の {x(t_{n})}_{n} が収束していた, すなわち lim_{n→∞} x(t_{n}) が存在することがわかる.

以上から, β に収束する任意の列 {t_{n}}_{n} ⊂ [τ, β) に対して lim_{n→∞} x(t_{n}) が存在し, その極限値は列の取り方によらないことが言えたから, lim_{t↗β} x(t) が存在する. (主張の証明終わり).

定理 3.1.3 の証明の続き. 主張から lim_{t↗β} x(t) が存在するからそれを ξ̃ とおく. 存在定理より, ある

δ > 0 があって, (3.6) の (β, ξ̃) を通る解 y(t) が [β − δ, β + δ] 上で存在する. ここで

x̃(t) = \begin{cases}x(t) & t ∈ J \\ y(t) & t ∈ [β, β + δ) \end{cases}

と定めると, x̃ は J̃:= J ∪ [β, β + δ) 上定義された, (τ, ξ) を通る (3.6) の解となることが示せる. x̃ は J 上は x に一致するから (J, x) ≺ (J̃, x̃) であり, また J̃ ⊋ J であるから, (J, x) が極大であることに反する. (定理 3.1.3 の証明終わり).