非正則度入門

打越敬祐

防衛大学校数学教育室 e-mail: uchikosh@cc.nda.ac.jp

要旨双曲形初期値問題の Gevrey 族における可解性について考察する．そのため R. Lascar の方法に従って方程式の表示について考え，非正則度を定義する．これによって正則包合形方程式や非包合形方程式の理論を含む一般論が構成できる．

1. 序論.

Gevrey 級の関数族を G^{∗}で表わす．ここで ∗ = {s}, 1 ≤ s < ∞ または∗ = (s), 1 ≤ s < ∞ であって，開集合 Ω ∈ R^{n}に対して

G^{{s}}(Ω) ={f(x) ∈ C^{∞}(Ω); ∀K ⊂⊂ Ω, ∃C_{K} > 0, ∀α
に対して K上で|∂^{α}f(x)| ≤ C_{K}^{|α|+1}α!^{s}},
G^{(s)}(Ω) ={f(x) ∈ C^{∞}(Ω); ∀K ⊂⊂ Ω, ∀ε > 0, ∃C_{K,ε} > 0, ∀α
に対して K上で|∂^{α}f(x)| ≤ C_{K,ε}ε^{|α|}α!^{s}}

とする．またG^{\{∞\}}(Ω) = G^{(∞)}(Ω) = C^{∞}(Ω) とする． G_{0}^{∗} = \underrightarrow{lim}_{0∈Ω}G^{∗}(Ω) に対する双曲形

初期値問題を考える．以下 m, n ≥ 2 とする． D_{0}は原点で解析的係数をもつ偏微分作用素の集合とし，

D_{0}(j) = {A(x, D) ∈ D_{0}; ord A ≤ j}
D̄_{0} = {A(x, D) ∈ D_{0}; [A, x_{1}] = 0}
D̄_{0}(j) = D_{0}(j) ∩ D̄_{0}

とする．なお D = ∂/∂x とする．またord 0 = −∞ とするので j < 0 のとき D_{0}(j) = {0} である． j ∉ Z のとき D_{0}(j) = D_{0}([j]) とする． m 階偏微分作用素 P (x, D) = ∑_{|α|≤m}P_{α}(x)D^{α} (m ≥ 2) が次の条件を満たしていると仮定する．

A1 σ_{m}(P) = ∑_{|α|=m}P_{α}(x)ξ^{α} = ∏_{1≤j≤m}(ξ_{1} − λ_{j}(x, ξ′))

ただしξ = (ξ_{1}, ξ′) とし，さらに

A2 各λ_{j}(x, ξ′) は x について原点の近くで正則， ξ′について 1 次斉次多項式とする．さらに P は双曲形であるとする．すなわち

A3 x ∈ R^{n}, ξ′ ∈ \sqrt{−1}R^{n−1} ⟹ λ_{j}(x, ξ′) ∈ \sqrt{−1}R (1 ≤ j ≤ m)

とする．この P (x, D) に対して次の初期値問題を考える:

(1)  P (x, D)u(x) = f(x),  ∂_{1}^{j−1}u(0, x′) = v_{j}(x′) (1 ≤ j ≤ m).

ただし x = (x_{1}, x′) とし， u(x), f(x), v_{j}(x′) ∈ G_{0}^{∗}とする． P (に対する初期値問題) が∗- 適切であるとは任意の f(x), v_{j}(x′) ∈ G_{0}^{∗}に対して (1) の解 u(x) ∈ G_{0}^{∗}が存在すること，とする．このとき Bronstein による次の基本定理が知られている (c.f. [1])

定理 1. 条件 A1 − A3 を仮定し， ∗ = {s}, 1 ≤ s ≤ m/(m − 1)または∗ = (s), 1 < s ≤ m/(m − 1) とする (1/0 = ∞ とする)．このとき P は∗-適切である

この有名な定理は次の例にみるように一見ほぼ決定的なものであるように思える．例 1. P = D_{1}^{m} − D_{n}^{m−1}とする．

(2)  P u = 0,  ∂_{1}^{j−1}u(0, x′) = δ_{j1}v_{1}(x′) (1 ≤ j ≤ m)

とすれば，形式解は u = ∑_{j≥0} \frac{x_{1}^{mj}}{(mj)!}∂_{n}^{(m−1)j}v_{1}(x′) である．この形式解について

収束半径が正になる⟺ |∂_{n}^{(m−1)j}v(x′)| ≤ C^{j+1}(mj)!, ∃C > 0
⟸ v ∈ G_{0}^{{m/(m−1)}}

である．最後の部分は必要十分条件ではないが Gevrey 位数についてはこれでぎりぎりになっている．

しかしながら次のよく知られた例について定理 1 はうまく適用できないことがわかる．例 2(正則包合形作用素). P = D_{1}(D_{1} + D_{2}) + αD_{2}, α ∈ Cとする．定理 1 は

∗ = {s}, 1 ≤ s ≤ 2 (resp. ∗ = (s), 1 < s ≤ 2) のとき P が ∗-適切であることを主張している．しかし実際はすべての ∗ に対して P は ∗-適切であることが知られている (c.f. [2,5])．

例 3(非包合形作用素). P = D_{1}(D_{1} + x_{1}^{q}D_{n}) + αx_{1}^{q−1}D_{n}とする．定理 1 は ∗ = {s}, 1 ≤ s ≤ 2 (resp. ∗ = (s), 1 < s ≤ 2) のとき P が∗-適切であることを主張している．しかし実際はすべての ∗ に対して P は∗-適切であることが知られている (c.f. [2,5])．

これでは Bronstein の論文の表題にある variable multiplicity ということばの価値が半減してしまう．それでは constant multiplicity ならどうだろうか．

例 4(多重度一定の場合). (1) においてλ_{1} = ⋯ = λ_{m}とする．このとき変数変換をほどこしてλ_{1} = ⋯ = λ_{m} = 0 としてよい．小松彦三郎先生はこの場合について非正則度という概念を導入された ([3])．すなわち P (x, D) = D_{1}^{m} + ∑_{0≤j≤m−1}P_{j}(x, D′)D_{1}^{j}, ord P_{j} ≤

m − j − 1 のとき

ι = max\{1, max\{\frac{m − j}{m − j − ord P_{j}}; 0 ≤ j ≤ m − 1\}\}

と定める．すると 1 ≤ s ≤ ι/(ι − 1) (resp. 1 < s ≤ ι/(ι − 1)) のとき P は {s}-適切 (resp. (s)-適切) になることがわかる．これはたとえば P = D_{1}^{m} − D_{n}^{m−2}D_{1}とした場合，定理 1 によれば 1 ≤ s ≤ m/(m − 1) のとき {s}-適切となるが， ι = m − 1 であるから，小松先生の理論によれば 1 ≤ s ≤ (m − 1)/(m − 2) のとき {s}-適切となる．実際

この P に対して (2) の形式解を求めれば u = ∑_{j≥0} \frac{x_{1}^{(m−1)j}}{((m − 1)j)!}∂_{n}^{(m−2)j}v_{1}(x′) だから例 1

と同様に考えて 1 ≤ s ≤ (m − 1)/(m − 2) のとき {s}-適切であることが確かめられる．

以下に述べることはこの考え方を variable multiplicity の場合にまで拡張しようというものであり，それによって従来の正則包合形作用素，非包合形作用素といった各論を統一しようという理論である．その際[3] の考え方が原形になるのでここでそれを要約しておく．

(i) 多重度一定の双曲形偏微分作用素 P が与えられたとき，これを標準的な表示 (De Paris 分解) に直しておく．

(ii) P をこのように書き直したとき P の非正則度 ι を上のように定める． (iii) 1 ≤ s ≤ ι/(ι − 1) (resp. 1 < s ≤ ι/(ι − 1)) のとき P は {s}-適切 (resp. (s)-適

切) になる．

A1-A3 を満たす P に対して同様の議論を行い，非正則度を定義する．その定義は次節で述べることとして，主定理を先に書いておく．

定理 2. P が A1 − A3 を満たすとき， P の非正則度 Irr P が定まり，これは 1 ≤ Irr P ≤ m を満たす有理数であって， 1 ≤ s ≤ Irr P/(Irr P − 1) のとき P は {s}-適切であり， 1 < s ≤ Irr P/(Irr P − 1) のとき P は (s)-適切である．

注意. 1 ≤ Irr P ≤ mだから定理 2 は定理 1 より強力である．先の例について，

例 1 のとき Irr P = m,
例 2, 3 のとき Irr P = 1,
例 4 のとき Irr P = ι

となるので，これらについて定理 2 は望ましい結果を与える．

2. Lascar 分解.

まず[3] における De Paris 分解を多重度不定の場合に拡張する． 0 ≤ q ≤ mのとき S_{mq} はμ_{1}, μ_{2}, ⋯, μ_{q} ∈ {1, 2, ⋯, m} を満たす互いに相異なるμ_{1}, μ_{2}, ⋯, μ_{q} の組 μ = (μ_{1}, μ_{2}, ⋯, μ_{q}) の全体とする．もちろん同じ組を並べかえたものは区別する． S_{m0}は意味をなさないが，ただ一つの無意味な元 ∅ からなる集合とする． S = ⋃_{0≤q≤m}S_{mq}, S′ =

⋃_{0≤q≤m−1}S_{mq}とする． μ ∈ S_{mq}のとき|μ| = q および

Λ^{μ}(x, D) = Λ_{μ_{q}}(x, D) ⋯ Λ_{μ_{1}}(x, D)

と定める．ただしΛ_{j}(x, D) はΛ_{j}(x, ξ) を完全表象とする 1 階の斉次偏微分作用素である．またΛ^{∅} = 1 としておく．

条件 A1 − A3 を満たす P (x, D) があったとき，その Lascar 分解とは

(3)  \{ \begin{matrix}P (x, D) = Λ_{m}(x, D) ⋯ Λ_{1}(x, D) \\ + ∑_{μ∈S′}(x_{1}^{−m+|μ|}a_{μ}(x, D′) + b_{μ}(x, D′))Λ^{μ}(x, D), \\ a_{μ}(x, D′) ∈ D̄_{0}(0), b_{μ}(x, D′) ∈ D̄_{0}(m − |μ| − 1) \end{matrix}

という形の表示式のこととする． x_{1}の負べきは形式的に解釈する． x_{1}の負べきを考える理由は後述する．なお特性根の中に重根があったりしたときμ ≠ ν でも作用素としてはΛ^{μ} = Λ^{ν}となることがありうる．しかし表示式としてはこれらを区別するものとする．すると Lascar 分解は必ず無数に存在する．冒頭の例について考えてみよう．

例 2 ^{bis}. 第 1 節と同じく

(4)  P = D_{1}(D_{1} + D_{2}) + αD_{2}

とする．この場合は Λ_{1} = D_{1} + D_{2}, Λ_{2} = D_{1}であって P (D) はこのままで Lascar 分解の形をしている．すなわち， Lascar 分解というのは

\{ \begin{matrix}P = Λ_{2}Λ_{1} + (x^{−1}a_{1} + b_{1})Λ_{1} + (x^{−1}a_{2} + b_{2})Λ_{2} + (x^{−2}a_{∅} + b_{∅}), \\ ord a_{μ} ≤ 0 , ord b_{μ} ≤ 1 − |μ| \end{matrix}

という表示式のことだから， b_{∅} = αD_{2}とし，他の係数はすべて 0 だと思えばよい．しかしこれ以外にも

(5)  P = Λ_{2}Λ_{1} + αΛ_{1} − αΛ_{2}

と書いてもよく， b_{1} = −b_{2} = α とし，他の係数はすべて 0 だと思っても Lascar 分解になる．これ以外の表示も考えられるがそれは重要ではないので省略する．あとで (4) と (5) の優劣を判定する．

例 3 ^{bis}. 次に

P = D_{1}(D_{1} + x_{1}^{q}D_{n}) + αx_{1}^{q−1}D_{n}

とする．この場合 Λ_{1} = D_{1} + x_{1}^{q}D_{n}, Λ_{2} = D_{1}であり，やはりこのままで Lascar 分解になっている．しかしこれ以外に

P = Λ_{2}Λ_{1} + x_{1}^{−1}αΛ_{1} − x_{1}^{−1}αΛ_{2}

いう表示ができる．

次に Lascar 分解の意味について考える． (3) において P は 3 つの部分に分割されている．まず Λ_{m} ⋯ Λ_{1} は主要部である．そして低階項は見かけ上Λ^{μ}, μ ∈ S′ によって生成される D̄_{0}-左加群のような形に書かれている．便宜上Λ^{μ}を生成部分， x_{1}^{−m+|μ|}a_{μ} + b_{μ} を係数部分と呼ぶことにする．すると

P (x, D) = 主要部 + 低階部 = 主要部 + (係数部分 × 生成部分)

となる．おおざっぱに言って，低階部の大きさを考慮すると定理 1 が得られる．ところが小松先生のアイデアを敷衍すると Gevrey 位数は係数部分の大きさだけを考慮して計算できるのであり，その結果として定理 2 が得られる．もちろん係数部分 ⊂ 低階部であるから，後者の考え方の方が精密である．ところが同じ方程式に対して複数の Lascar 分解が存在しそれによって係数部分も違ってくるから，次にそれらの間の優劣を比較しなければならない．

(3) の形の表示式が 1 つあったとき，その表示式に対して

(6)  κ = max\{1, max\{\frac{m − |μ|}{m − |μ| − ord b_{μ}}; μ ∈ S′\}\}

と定める．この分数の意味について，簡単だけど大切なことだから少し説明しておく．各μ ∈ S′ に対して b_{μ}の階数は最高 m − |μ| − 1 まで許されるが，それを便宜上 m − |μ| までの余裕があると考え，実際にはそこにord b_{μ} だけ詰まっていると考える．つまり m−|μ|のスペースの中に m−|μ|−ord b_{μ} の空席があるということで，上の分数はこの空席率の逆数 (∼乗車率) を意味する．ちなみに乗車率のほうはもちろんord b_{μ}/(m−|μ|) であり，いずれにしても係数部分がどれだけぎっしり詰まっているのかを表している．なお κ は 1 ≤ κ ≤ m を満たす有理数である．

この数字は Lascar 分解の表示の仕方によって違う．上の説明からもっとも小さなκ を与える表示がもっとも優れている (低階項が能率的に表示されている) と考えられるのでその最小値を irr P と定める．無数に多くの表示の中で最小値を考えるのだがこれは well-defined である．実際 (6) からκ ∈ {p/q; 1 ≤ q ≤ p ≤ m} で，表示は無数にあっても κ は有限個しかないからである．もっとも優れた表示を考えればそれ以外の表示は忘れてよいから，結局 P がもともと最善形で表示されていると思って， P に irr P が対応していると考えるのである．

例 2 ^{tris}. (4) をこのまま Lascar 分解と考えると m = 2 でありord b_{∅} = 1, |∅| = 0 だから

κ = max{1, (2 − 0)/(2 − 0 − 1)} = 2

となる．一方 (5) について考えるとord b_{1} = ord b_{2} = 0, |1| = |2| = 1 だから

κ = max{1, (2 − 1)/(2 − 1 − 0)} = 1

となる．従って (5) が最良の表示であり， irr P = 1 となる．

同様にして例 1，例 3，例 4 についてそれぞれ irr P = m, 1, ι となる．

非正則度の定義はまだ終わっていない．次に主要部の並べかえを考えなければならない． σ ∈ S_{mm}として先と同様に

\{ \begin{matrix}P (x, D) = Λ^{σ}(x, D) \\ + ∑_{μ∈S′}(x_{1}^{−m+|μ|}a′_{μ}(x, D′) + b′_{μ}(x, D′))Λ^{μ}(x, D), \\ a′_{μ}(x, D′) ∈ D̄_{0}(0), b′_{μ}(x, D′) ∈ D̄_{0}(m − |μ| − 1) \end{matrix}

という表示を考え，これをσ ∈ S_{mm}に従属した Lascar 分解と呼ぶ．この場合も無数に多くの表示が可能で，各々の表示に対して

(6)′  κ′ = max\{1, max\{\frac{m − |μ|}{m − |μ| − ord b′_{μ}}; μ ∈ S′\}\}

としσ ∈ S_{mm}に従属した Lascar 分解に対する κ′ の最小値をirr_{σ} P と定める．最後に P の非正則度 Irr P を

Irr P = max{irr_{σ} P; σ ∈ S_{mm}}

と定める．先の全ての例について irr P = irr_{σ} P = Irr P である．

例 5. m = 2 なら以上の話は次のようになる． S_{22} は 2 つの元σ^{1} = (1, 2), σ^{2} = (2, 1) からなる． (6) によりIrr P = 1, 2 となり，

Irr P = 1 ⟺ irr_{σ^{1}} P = irr_{σ^{2}} P = 1

⟺ \{ \begin{matrix}P ∈ Λ_{2}Λ_{1} + x_{1}^{−1}D̄_{0}(0)Λ_{1} + x_{1}^{−1}D̄_{0}(0)Λ_{2} + x_{1}^{−2}D̄_{0}(0), \\ P ∈ Λ_{1}Λ_{2} + x_{1}^{−1}D̄_{0}(0)Λ_{1} + x_{1}^{−1}D̄_{0}(0)Λ_{2} + x_{1}^{−2}D̄_{0}(0) \end{matrix}

⟺ \{ \begin{matrix}P ∈ Λ_{2}Λ_{1} + x_{1}^{−1}D̄_{0}(0)Λ_{1} + x_{1}^{−1}D̄_{0}(0)Λ_{2} + x_{1}^{−2}D̄_{0}(0), \\ [Λ_{1}, Λ_{2}] ∈ x_{1}^{−1}D̄_{0}(0)Λ_{1} + x_{1}^{−1}D̄_{0}(0)Λ_{2} + x_{1}^{−2}D̄_{0}(0) \end{matrix}

となりこれは

P ∈ Λ_{2}Λ_{1} + x_{1}^{−1}D̄_{0}(0)Λ_{1} + x_{1}^{−1}D̄_{0}(0)Λ_{2} + x_{1}^{−2}D̄_{0}(0) (7)

および

{Λ_{1}, Λ_{2}} ∈ x_{1}^{−1}Λ_{1}(x, ξ)O_{C^{n},0} + x_{1}^{−1}Λ_{2}(x, ξ)O_{C^{n},0} (8)

と同値になる． (7) かつ (8) であれば Irr P = 1 となり P はすべての ∗ に対して∗-適切であり，それ以外のときは Irr P = 2 となり1 ≤ s ≤ 2 (resp. 1 < s ≤ 2) のとき P は {s}-適切 (resp. (s)-適切 ) である． (7) は低階部が特性多様体上で指定された次数だけ消えるという意味だから、通常の Levi 条件である．一方 (8) が成立するためには P が正則包合的または非包合的であれば十分であり，いずれにせよそれは主要部の交換関係に対する条件である．このように非正則度は一見低階部だけの問題のようでありながら，実は主要部にも関係し，正則包合性や非包合性ともかかわりの深い概念である．この点について後述する．

注意. (i) σ ∈ S_{mm}をひとつ定めるとき，低階項を最良の形に直してよいのでσ ∈ S_{mm} に従属した Lascar 分解に対する κ′ の「最小値」をirr_{σ} P と定める．しかし主要部の並べかえについては各σ ∈ S_{mm}に従属した Lascar 分解全てを考える必要があり，その中には最悪のものも含まれているので「最大値」を考えてIrr P = max{irr_{σ} P; σ ∈ S_{mm}} とする．

(ii) 非正則度について，計算がたいへんだとか感じられるかもしれないがそうした問題について後で再考する．

(iii) R. Lascar は正則包合形方程式の特異性の伝播問題の研究で (3) の表示式を用いた (c.f. [4])．これにちなんで Lascar 分解という命名をした (彼の論文では a_{μ} = 0, ord b_{μ} ≤ 0 である)．ただし彼の論文の内容はいま考えている話とは直接の関係はない． 3. 行列表示の問題.

条件 A1 − A3 を満たす P (x, D) があり， Irr P = κ_{0}とする．これは空席率の逆数で，乗車率の方をκ_{1}(= (κ_{0} − 1)/κ_{0}) とする．このとき1 ≤ κ_{0} ≤ m だったから 0 ≤ κ_{1} ≤ (m − 1)/m あり，各 σ ∈ S_{mm} に対して

(9) \{ \begin{matrix}P (x, D) = Λ^{σ}(x, D) \\ + ∑_{μ∈S′}(x_{1}^{−m+|μ|}a_{μ}^{σ}(x, D′) + b_{μ}^{σ}(x, D′))Λ^{μ}(x, D), \\ a_{μ}^{σ}(x, D′) ∈ D̄_{0}(0), b_{μ}^{σ}(x, D′) ∈ D̄_{0}(κ_{1}(m − |μ|))(⊂ D̄_{0}(m − |μ| − 1)) \end{matrix}

となる．以下簡単のため a_{μ}^{σ} = 0 とする．本節の目標は， (9) の表示式の中で生成部分を全て消去し，係数部分だけ残すことである．そのため m′ = m! × m として (1) を m′ × m′行列を用いて表示し直す．こうすると最初はちょっとたいへんだけれど後で結局きれいに整理できる．

まず S_{mm}の元に番号をつけて S_{mm} = {σ^{1}, ⋯, σ^{m!}} とする．各 j(1 ≤ j ≤ m!) についてσ^{j} = (σ_{1}^{j}, ⋯, σ_{m}^{j}) ∈ S_{mm}である．次に (1) の解 u(x) に対して i = (k − 1)m + l + 1, 1 ≤ k ≤ m!, 0 ≤ l ≤ m − 1のとき u_{i}(x) = Λ_{σ_{l}^{k}} ⋯ Λ_{σ_{1}^{k}}u(x) として m′次元縦ベクトル u⃗(x) = ^{t}(u_{1}(x), ⋯, u_{m′}(x)) を定める．

i = km + l, k ∈ Z_{+}, 0 ≤ l ≤ m − 1 のとき ī = l とする． 1 ≤ ī(= l) ≤ m − 1 のときはΛ_{σ_{l}^{k}}u_{i} = u_{i+1}であり， ī(= l) = m のときは (9) から

(10)  Λ_{σ_{l}^{k}}u_{i} = Λ_{σ_{m}^{k}} ⋯ Λ_{σ_{1}^{k}}u(x) = Λ^{σ^{k}}u = − ∑_{μ∈S′}b_{μ}^{σ^{k}}(x, D′)Λ^{μ}(x, D))u + f(x)

となる．このように変形すると (10) の低階項において生成部分を全て消去し，係数部分だけ残るようにできる．実際任意の μ ∈ S′に対してある j (1 ≤ j ≤ m′) が対応し， u_{j} = Λ^{μ}u となっている．各μ ∈ S′に対してこのような jをひとつずつ決めて h : S′ ∋ μ ⟶ j ∈ {1, ⋯, m′} という写像を作る．このとき

補題 1. h は単射であり，\overline{h(μ) − 1} = |μ|．

証明. h(μ) = j なら u_{j}(x) = Λ^{μ}u(x) だから単射性は明らかである．また j = (k − 1)m + l + 1, 1 ≤ k ≤ m!, 0 ≤ l ≤ m − 1として決まる k, l に対して u_{j} = Λ_{σ_{l}^{k}} ⋯ Λ_{σ_{1}^{k}}u(x) = Λ^{μ}u(x) となり， μ = (σ_{1}^{k}, ⋯, σ_{l}^{k}) だから|μ| = l = \overline{j − 1}である． Q.E.D.

従って (10) は

Λ_{σ_{l}^{k}}u_{i} = − ∑_{μ∈S′}b_{μ}^{σ^{k}}(x, D′)u_{h(μ)}(x) + f(x)

となる．結局各 k ∈ {1, ⋯, m!} に対して次の連立方程式を得る (これでめでたく生成部分が消えた):

Λ_{σ_{l}^{k}}u_{i} =u_{i+1},  ī(= l) ≠ m
Λ_{σ_{l}^{k}}u_{i} = − ∑_{μ∈S′}b_{μ}^{σ^{k}}(x, D′)u_{h(μ)}(x) + f(x)
= − ∑_{1≤j≤m′} ∑_{μ∈h^{−1}({j})}b_{μ}^{σ^{k}}(x, D′)u_{j}(x) + f(x), ī(= l) = m.

これを m′ × m′行列 A(x, D) = A_{0}(x, D) + A′(x, D′) を用いて表わしてみる．まず A_{0}(x, D) は対角行列で， i = (k − 1)m + l, 1 ≤ k ≤ m!, 1 ≤ l ≤ m のときその (i, i)- 成分 A_{0,(i,i)}はΛ_{σ_{l}^{k}}とする．また i ∉ mZ のとき A′(x, D) の (i, j)-成分 A′_{(i,j)}は A′_{(i,j)} =

−δ_{i+1,j}とし， i = mi′ ∈ mZ のとき， A′_{(i,j)} = − ∑_{μ∈h^{−1}({j})}b_{μ}^{σ^{i/m}}(x, D′) とする．行列 A′

は m 行ごとに似たような形を繰り返すので， (k − 1)m + 1 行目から km 行目までを書き出すと

( \begin{matrix}& & & & — — — — — \\ & 0 & −1 & 0 & ⋯ & 0 & 0 \\ & 0 & 0 & −1 & ⋯ & 0 & 0 \\ 0 & & & & ⋯ & & & 0 \\ & 0 & 0 & 0 & ⋯ & 0 & −1 \\ ⋯ & & & & − ∑_{μ∈h^{−1}(\{j\})}b_{μ}^{σ^{k}} & & & ⋯ \\ & & & & — — — — — \end{matrix} ) \begin{matrix}( (k − 1)m + 1 \\ ( km \end{matrix}

⌢  ⌢  ⌢
(k − 1)m + 1  j  km

となる．

最後に m′次元縦ベクトルf⃗(x) を f_{j}(x) = δ_{j̄0}f(x) により定める．そうすると (1) のとき A(x, D)u⃗(x) = f⃗(x) となる．また (1) からu⃗(0, x′) は自明な方法で決まる．すなわち j = (k − 1)m + l + 1, 1 ≤ k ≤ m!, 0 ≤ l ≤ m − 1のとき u_{j}(0, x′) = [Λ_{σ_{l}^{k}} ⋯ Λ_{σ_{1}^{k}}u(x)]_{x_{1}=0} である． u_{j}(0, x′) は v_{1}(x′), ⋯, v_{l+1}(x′) のD̄_{0}(l + 1)-線形結合になる．これを v′_{j}(x′) と書けば結局 (1) のとき

(11)  Au⃗(x) = f⃗(x),  u⃗(0, x′) = v⃗′(x′)

となる．また Ḡ_{0}^{∗} = {f ∈ G_{0}^{∗}; D_{1}f = 0} とすれば

h′ : Ḡ_{0}^{∗}^{m} ∋ ^{t}(v_{1}(x′), ⋯, v_{m}(x′)) ⟶ ^{t}(v′_{1}(x′), ⋯, v′_{m′}(x′)) ∈ Ḡ_{0}^{∗}^{m′}

という対応は単射である．証明は省くがこのとき次のことがわかる．

補題 2. u(x), f(x) ∈ G_{0}^{∗}, v_{1}(x′), ⋯, v_{m}(x′) ∈ Ḡ_{0}^{∗} に対して (1) が成立しているとき， u⃗(x), f⃗(x), v⃗′(x′) を上のように定めれば (11) が成立する．

逆にu⃗(x), f⃗(x) ∈ G_{0}^{∗}^{m′}, v⃗ ′(x′) ∈ h′(Ḡ_{0}^{∗}^{m}) が (11) をみたしているとき， u(x) = u_{1}(x), f(x) = f_{m}(x) とし^{t}(v_{1}(x′), ⋯, v_{m}(x′)) = h′^{−1}(v⃗′(x′)) とすれば u(x), f(x), v_{1}(x′), ⋯, v_{m}(x′) は (1) を満たす．

(1) や (11) の解はもし存在すれば一意的に定まる．

このように書き直しておくと以下のような利点がある．まず A_{0}(x, D) は主要部であり，対角化されている．次に低階部 (正確に言えば係数部分)A′(x, D′) について次の補題が成立する．補題 3. ord A′_{(i,j)} ≤ κ_{1}(\overline{i − 1} − \overline{j − 1} + 1).

証明. (9) および補題 1 から

ord A′_{(i,j)} = ord δ_{i+1,j} ≤ κ_{1}(\overline{i − 1} − \overline{j − 1} + 1),  i ∉ mZ,
ord A′_{(i,j)} = max_{μ∈h^{−1}({j})}(ord b_{σ^{i/m},μ}(x, D′))
≤κ_{1}(m − \overline{j − 1}) = κ_{1}(\overline{i − 1} − \overline{j − 1} + 1), i ∈ mZ.

Q.E.D.

したがって対角成分については ord A′_{(i,i)} ≤ κ_{1} となる． A′_{(i,i)} は偏微分作用素だから実際には ord A′_{(i,i)} ≤ 0 である．対角成分以外は規則的に階数が変わる．これは低階部 A′(x, D′) が行列としてκ_{1} 階の作用素であるということを意味している．また \overline{i − 1} − \overline{j − 1} + 1 < 0 なら A′_{(i,j)} = 0 である．

例 5 ^{bis} 以上のことを再び m = 2 の場合で説明し直しておく． S_{22} の元は σ^{1} = (1, 2), σ^{2} = (2, 1) であり， Irr P = 1 または 2 だから κ_{1} = 0 または 1/2 である． a_{μ} = 0 と仮定しているから，

P (x, D) = Λ_{2}Λ_{1} + b_{1}^{1}Λ_{1} + b_{2}^{1}Λ_{2} + b_{∅}^{1},
P (x, D) = Λ_{1}Λ_{2} + b_{1}^{2}Λ_{1} + b_{2}^{2}Λ_{2} + b_{∅}^{2},
ord b_{μ}^{i} ≤ κ_{1}(2 − |μ|)

となる． u(x), f(x), v_{1}(x′), v_{2}(x′) が (1) を満たしているとき

u⃗(x) = ( \begin{matrix}u \\ Λ_{1}u \\ u \\ Λ_{2}u \end{matrix} ) , f⃗(x) = ( \begin{matrix}0 \\ f \\ 0 \\ f \end{matrix} ) , v⃗′ = u⃗(0, x′) = ( \begin{matrix}v_{1}(x′) \\ v_{2}(x′) − λ_{1}(0, x′, D′)v_{1}(x′) \\ v_{1}(x′) \\ v_{2}(x′) − λ_{2}(0, x′, D′)v_{1}(x′) \end{matrix} )

である． h : S′ = {1, 2, ∅} ⟶ {1, 2, 3, 4} という写像は h(μ) = j のときΛ^{μ}u = u_{j} となるものだから h(1) = 2, h(2) = 4, h(∅) = 1(または 3) である． u⃗が満たすべき式は

Λ_{1}u_{1} = u_{2},
Λ_{2}u_{2} = Λ_{2}Λ_{1}u_{1} = −b_{1}^{1}u_{2} − b_{1}^{1}u_{4} − b_{∅}^{1}u_{1},
Λ_{2}u_{3} = u_{4},
Λ_{1}u_{4} = Λ_{1}Λ_{2}u_{3} = −b_{1}^{2}u_{2} − b_{1}^{2}u_{4} − b_{∅}^{2}u_{1}

となり，同じことを 2 度書いている．だから 4 × 4 行列 A = A_{0} + A′を

A_{0} = ( \begin{matrix}Λ_{1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & Λ_{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & Λ_{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & Λ_{1} \end{matrix} ) , A′ = − ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 \\ b_{∅}^{1} & b_{1}^{1} & 0 & b_{2}^{1} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ b_{∅}^{2} & b_{1}^{2} & 0 & b_{2}^{2} \end{matrix} )

とすればよい． P u = fであるための必要十分条件は Au⃗ = f⃗かつ u_{1} = u_{3}である (P u = f ⟺ Au⃗ = f⃗ ではない )．しかし初期条件も考えれば (1) と (11) は同値になる． 4. 解の構成.

(11) を解くとき，一般性を失うことなくv⃗′ = 0としてよい．以下∗ = {s}, 1 ≤ s ≤ Irr P/(Irr P − 1) としてf⃗ ∈ G^{∗}^{m′}に対して (11) の解 u⃗ ∈ G^{∗}^{m′}を求める． ∗ = (s), 1 < s ≤ Irr P/(Irr P − 1) の場合も同様である．大ざっぱな方針は次のようになる．簡単のため A_{0} = D_{1}I_{m′}としてみる．

u⃗^{0} = ∫_{0}^{x_{1}} f⃗(t, x′)dt,
u⃗^{j} = − ∫_{0}^{x_{1}} A⃗′(t, x′, D′)u⃗^{j−1}(t, x′)dt, (j ≥ 1)

とする．乱暴な表現をすれば A′(x, D′) は「κ_{1}回偏微分」しているから1 ≤ s ≤ 1/κ_{1}のときf⃗ ∈ G_{0}^{{s}}に対してu⃗^{j} はこれを x_{1}で j 回積分し， x′で「κ_{1}j回偏微分」したものだ

から|u⃗^{j} | ≤ ∃C^{j+1}|x_{1} |^{j}j!^{sκ_{1}}/j! ≤ C^{j+1}|x_{1} |^{j} となり∑_{j}u⃗^{j}は収束するはずである．また

A_{0} ≠ D_{1}I_{m′}でも変数変換を考えてたいした違いはないのであり，以下にそのことを説明する．

まず C >> 1 として flat domain (domaine plat) Ω(C) を

Ω(C) = {x ∈ R^{n}; C^{2}|x_{1} | + C|x′ | < 1}

により定める． Ω(C) は小さいが，ただ小さいのではなくて初期超平面 {x_{1} = 0} にへばりついているから flat という．次の補題は自明である．

補題 4. x ∈ Ω(C) なら点 x の依存領域はΩ(C) に含まれる．すなわち

y_{1} = θx_{1}, 0 ≤ θ ≤ 1, |y′ − x′ | ≤ C|y_{1} − x_{1} |

なら y ∈ Ω(C) である．

さて (11) の解を求めるのに次の逐次近似を用いる:

A_{0}u⃗^{0} = f⃗(= f⃗^{0}),  u⃗^{0}(0, x′) = 0,
A_{0}u⃗^{j} = −A′(x, D′)u⃗^{j−1}(= f⃗^{j}),  u⃗^{j}(0, x′) = 0.

ここで

(12) A_{0}u⃗^{j} = f⃗^{j}, u⃗^{j}(0, x′) = 0

を解くには変数変換の後 x_{1}で積分すればよい．正確にいえば A_{0}の (i, i)-成分を

A_{0,i}(x, D) = D_{1} − a_{i}(x, D′) = D_{1} − ∑_{2≤j≤n}a_{ij}(x)D_{j}(= Λ_{i′}, ∃i′)

として， (x, t) ∈ R^{n} × Rに対してまず位相関数 φ′_{i}(x, t) = ^{t}(φ_{i2}, ⋯, φ_{in}) を

\{ \begin{matrix}∂_{x_{1}}φ_{ij}(x, t) − a_{ij}(x) − ∑_{2≤k≤n}a_{ik}(x)∂_{x_{k}}φ_{ij}(x, t) = 0, \\ φ_{ij}(t, x′, t) = 0 \end{matrix}

の解として定義する．定義域の議論をあとまわしにすると (12) の解は

u _{i}^{j}(x) = ∫_{0}^{x_{1}} f_{i}^{j}(t, x′ + φ′_{i}(x, t))dt

となる．ここで明らかに|φ′_{i}(x, t)| ≤ C|x_{1} − t|だから， x ∈ Ω(C), t = θx_{1}, 0 ≤ θ ≤ 1 のとき補題 4 により (t, x′ + φ′_{i}(x, t)) ∈ Ω(C) であって， f_{i}^{j} ∈ G^{∗}(Ω(C)) のとき u_{i}^{j}(x) ∈ G^{∗}(Ω(C)) は well-defined である．あとは∑_{j}u⃗^{j}の収束を示せばよい．まず合成関数の高

階偏微分について調べておく．補題 5. 1 << a << Cのとき， Ω′(C) = {(x, t) ∈ Ω(C) × R; t = θx_{1}, 0 ≤ ∃θ ≤ 1} において

∂_{x′}^{α′}(g(t, x′ + φ′_{i}(x, t))) = ∑_{|β′|≤|α′|}∃h_{α′β′}(x, t)(∂_{x′}^{β′}g)(t, x′ + φ′_{i}(x, t)),

|∂_{x′}^{γ′}h_{α′β′}(x, t)| ≤ ∑_{0≤j≤|β′|} ( \begin{matrix}|α′ | \\ |β′ | − j \end{matrix} ) a^{2|α′|−2|β′|+2j+|γ′|}

× |x_{1} − t|^{j} (|α′ | − |β′ | + |γ′ |)!

証明. |α′ |に関する帰納法で証明する． |α′ | = 0 なら自明． p ≥ 1 として|α′ | = p − 1 のとき正しいとする． |α′ | = p のとき， α′^{1} + α′^{2} = α′, |α′^{1} | = 1, |α′^{2} | = p − 1 とすれば

∂_{x′}^{α′}(g(t, x′ + φ′_{i}(x, t)))
=∂_{x′}^{α′^{1}}( ∑_{|β′|≤|α′|−1}h_{α′^{2},β′}(x, t)(∂_{x′}^{β′}g)(t, x′ + φ′_{i}(x, t)))
= ∑_{|β′|≤|α′|−1}(∂_{x′}^{α′^{1}}h_{α′^{2},β′}(x, t))(∂_{x′}^{β′}g)(t, x′ + φ′_{i}(x, t))
+ ∑_{|β′|≤|α′|−1}h_{α′^{2},β′}(x, t)(∂_{x′}^{α′^{1}+β′}g)(t, x′ + φ′_{i}(x, t))
+ ∑_{\begin{matrix}|β′|≤|α′|−1 \\ 2≤k≤n \end{matrix}}h_{α′^{2},β′}(x, t)(∂_{x′}^{α′^{1}}φ′_{ik}(x, t))(∂_{x_{k}}∂_{x′}^{β′}g)(t, x′ + φ′_{i}(x, t))

となるからβ_{k} ≥ 1 のときβ′ ; k̂ = (β_{2}, ⋯, β_{k} − 1, ⋯, β_{n}) として

h_{α′,β′} = h′_{α′,β′} + h′′_{α′,β′} + ∑_{2≤k≤n}h′′′_{α′,β′,k},
h′_{α′,β′} = ∂_{x′}^{α′^{1}}h_{α′^{2},β′}
h′′_{α′,β′} = \{ \begin{matrix}h_{α′^{2},β′−α′^{1}}, & β′ ∈ α′^{1} + Z_{+}^{n−1}, \\ 0, & β′ ∉ α′^{1} + Z_{+}^{n−1}, \end{matrix}

h′′′_{α′,β′,k} = \{ \begin{matrix}h_{α′^{2},β′ ; k̂}∂_{x′}^{α′^{1}}φ_{ik}, & β_{k} ≥ 1, \\ 0, & β_{k} = 0 \end{matrix}

とすればよく，ここで帰納法の仮定を用いて β_{k} ≥ 1 のとき

|∂_{x′}^{γ′}h′′′_{α′,β′,k}(x, t)| ≤ ∑_{γ′^{1}+γ′^{2}=γ′} \frac{γ′!}{γ′^{1}! γ′^{2}!}|∂_{x′}^{γ′^{1}}h_{α′^{2},β′ ; k̂} ||∂_{x′}^{α′^{1}+γ′^{2}}φ_{ik} |

≤ ∑_{\begin{matrix}γ′^{1}+γ′^{2}=γ′ \\ 0≤j≤|β′|−1 \end{matrix}} \frac{γ′!}{γ′^{1}! γ′^{2}!}a^{(|γ′^{1}|+1)/2} |x_{1} − t| γ′^{1}! ( \begin{matrix}|α′ | − 1 \\ |β′ | − j − 1 \end{matrix} )

× a^{2|α′|−2|β′|+2j+|γ′^{2}|} |x_{1} − t|^{j}(|α′ | − |β′ | + |γ′^{2} |)!

12 非正則度入門

≤ ∑_{\begin{matrix}γ′^{1}+γ′^{2}=γ′ \\ 0≤j≤|β′|−1 \end{matrix}}a^{(1−|γ′^{1}|)/2} ( \begin{matrix}|α′ | − 1 \\ |β′ | − j − 1 \end{matrix} ) a^{2|α′|−2|β′|+2j+|γ′|}
× |x_{1} − t|^{j+1}(|α′ | − |β′ | + |γ′ |)!
≤ ∑_{1≤j≤|β′|} ( \begin{matrix}|α′ | − 1 \\ |β′ | − j \end{matrix} ) a^{2|α′|−2|β′|+2j+|γ′|−1}|x_{1} − t|^{j}(|α′ | − |β′ | + |γ′ |)!

となる．また

|∂_{x′}^{γ′}h′_{α′β′}(x, t)| ≤ ∑_{0≤j≤|β′|} ( \begin{matrix}|α′ | − 1 \\ |β′ | − j \end{matrix} ) a^{2|α′|−2|β′|+2j+|γ′|−1}|x_{1} − t|^{j}
× (|α′ | − |β′ | + |γ′ |)!
|∂_{x′}^{γ′}h′′_{α′β′}(x, t)| ≤ ∑_{0≤j≤|β′|−1} ( \begin{matrix}|α′ | − 1 \\ |β′ | − j − 1 \end{matrix} ) a^{2|α′|−2|β′|+2j+|γ′|}|x_{1} − t|^{j}
× (|α′ | − |β′ | + |γ′ |)!

となることは直ちにわかるから，補題 5 が証明できた． Q.E.D.

次にいよいよ逐次近似の評価を考える．命題 1. u_{i}^{l}, f_{i}^{l} は Ω(C) 上で次の不等式を満たす．

(13) |∂_{x′}^{α′}u_{i}^{l} | ≤\frac{[l+s|α′ |+\overline{i−1}+1]!}{(l + 1)!}|x_{1} |^{l+1}C^{4l+2|α′|+2(\overline{i−1})+2}(1+C|x_{1} |)^{|α′|},
(14) |∂_{x′}^{α′}f_{i}^{l} | ≤\frac{[l+s|α′ |+\overline{i−1}+1]!}{l!}|x_{1} |^{l}C^{4l+2|α′|+2(\overline{i−1})+1}(1+C|x_{1} |)^{|α′|}.

証明. l = 0 のとき， f_{i}^{0} = f_{i} ∈ G_{0}^{∗}だから (14) は正しい． l ≥ 0 として，

f_{i}^{l} が (14) を満たす⟹ u_{i}^{l} が (13) を満たす
u_{i}^{l} が (13) を満たす⟹ f_{i}^{l+1} が (14) を満たす

ということを示せばよい．前半について． f_{i}^{l} が (14) を満たすとする．補題 5 により

|∂_{x′}^{α′}u_{i}^{l}(x)| ≤ ∫_{0}^{x_{1}} |∂_{x′}^{α′}(f_{i}^{j}(t, x′ + φ′_{i}(x, t)))||dt|
≤ ∑_{|β′|≤|α′|} ∫_{0}^{x_{1}} |h_{α′β′} ||(∂_{x′}^{β′}f_{i}^{j})(t, x′ + φ′_{i}(x, t))||dt|

非正則度入門 13

帰納法の仮定より

|∂_{x′}^{α′}u_{i}^{l}(x)| ≤  ∑ ; j ≤ |β′| ≤ |α′| ∫_{0}^{x_{1}} ( \begin{matrix}|α′ | \\ |β′ | − j \end{matrix} ) a^{2|α′|−2|β′|+2j} |x_{1} − t|^{j}

× (|α′ | − |β′ |)! \frac{[l + s|β′ | + \overline{i − 1} + 1]!}{l!}

× |t|^{l} C^{4l+2|β′|+2(\overline{i−1})+1} (1 + C|t|)^{|β′|} |dt|

≤  ∑ ; j ≤ |β′| ≤ |α′|(a^{2}C^{2})^{j} (C^{2})^{|β′|−j} (a^{2})^{|α′|−|β′|} C^{4l+2(\overline{i−1})+1}

× \frac{|α′ |! (|α′ | − |β′ |)! [l + s|β′ | + \overline{i − 1} + 1]!}{(|α′ | − |β′ | + j)! (|β′ | − j)! l!}

× ∫_{0}^{|x_{1}|}(|x_{1} | − |t|)^{j} |t|^{l} (1 + C|t|)^{|β′|}d|t|

2 項定理を用いて

|∂_{x′}^{α′}u_{i}^{l}(x)| ≤  ∑ ; j ≤ |β′| ≤ |α′|(a^{2}C^{2}/C)^{j} (C^{2})^{|β′|−j} (a^{2})^{|α′|−|β′|} C^{4l+2(\overline{i−1})+1}

× \frac{|α′ |! (|α′ | − |β′ |)! [l + s|β′ | + \overline{i − 1} + 1]!}{(|α′ | − |β′ |! + j)! (|β′ | − j)! l!}

× \frac{|β′ |! j!}{(|β′ | + j)!} ∫ |x_{1} |_{0}(1 + C|x_{1} |)^{|β′|+j} |t|^{l} d|t|

ここで

\frac{|α′ |! (|α′ | − |β′ |)! [l + s|β′ | + \overline{i − 1} + 1]!}{(|α′ | − |β′ |! + j)! (|β′ | − j)! l!} · \frac{|β′ |! j!}{(|β′ | + j)!}

≤\frac{|α′ |! (|α′ | − |β′ |)! [l + s|β′ | + \overline{i − 1} + 1]!}{(|α′ | − |β′ |! + j)! (|β′ | − j)! l!} · \frac{(|β′ | − j)! j!}{|β′ |!}
≤\frac{|α′ |! [l + s|β′ | + \overline{i − 1} + 1]!}{|β′ |! l!}
≤\frac{[l + s|α′ | + \overline{i − 1} + 1]!}{l!}

および (1 + C|x_{1} |)^{|β′|+j} ≤ 2^{j}(1 + C|x_{1} |)^{|α′|} に注意して

|∂_{x′}^{α′}u_{i}^{l} | ≤ \frac{[l + s|α′ | + \overline{i − 1} + 1]!}{(l + 1)!} |x_{1} |^{l+1} C^{4l+2|α′|+2(\overline{i−1})+2} (1 + C|x_{1} |)^{|α′|}

となり (13) を得る．

次に u_{i}^{l}が (13) を満たすとする．このとき A′(x, D′) の (i, j)-成分は

A′_{(i,j)}(x, D′) = ∑_{|δ′|≤κ_{1}(\overline{i−1}−\overline{j−1}+1)}A′_{δ′,(i,j)}(x)D_{x′}^{δ′}

だから

|∂_{x′}^{α′}f_{i}^{l+1} | ≤ ∑\frac{α′!}{β′! γ′!}|∂_{x′}^{β′}A′_{δ′,(i,j)} ||∂_{x′}^{γ′+δ′}u_{j}^{l} |

となる．ただし和は

(15)  1 ≤ j ≤ m′, |δ′ | ≤ κ_{1}(\overline{i − 1} − \overline{j − 1} + 1), β′ + γ′ = α′

についてとる． (15) のときもちろん\overline{i − 1} − \overline{j − 1} + 1 ≥ 0 でなければならない．従って帰納法の仮定から

|∂_{x′}^{α′}f_{i}^{l+1} | ≤ ∑_{(15)} \frac{α′!}{β′! γ′!} a^{|β′|+1} β′! \frac{[l + s|γ′ + δ′ | + \overline{j − 1} + 1]!}{(l + 1)!}
×|x_{1} |^{l+1} C^{4l+2|γ′+δ′|+2(\overline{j−1})+2} (1 + C|x_{1} |)^{|γ′+δ′|}

となる．ここで (15) およびκ_{1} ≤ sκ_{1} ≤ 1 より

s|γ′ + δ′ | + \overline{j − 1} ≤ s|γ′ | + sκ_{1}(\overline{i − 1} − \overline{j − 1} + 1) + \overline{j − 1} ≤ s|γ′ | + \overline{i − 1} + 1,
|γ′ + δ′ | + \overline{j − 1} ≤ |γ′ | + κ_{1}(\overline{i − 1} − \overline{j − 1} + 1) + \overline{j − 1} ≤ |γ′ | + \overline{i − 1} + 1

に注意して

|∂_{x′}^{α′}f_{i}^{l+1} | ≤a ∑_{(15)}(aC^{−2})^{|β′|} \frac{[l + s|α′ | + \overline{i − 1} + 2]!}{(l + 1)!}
×|x_{1} |^{l+1} C^{4l+2|α′|+2(\overline{i−1})+4} (1 + C|x_{1} |)^{|γ′+δ′|}

となる． (1 + C|x_{1} |)^{|γ′+δ′|} ≤ 2^{|δ′|}(1 + C|x_{1} |)^{|α′|} ≤ 2^{m}(1 + C|x_{1} |)^{|α′|}だから (14) を得る． Q.E.D.

系 1. Ω(C^{3}) 上で

|∂_{x′}^{α′}u_{i}^{l} | ≤ 2^{−l} C^{3(|α′|+m+1)} α′!^{s}

証明. Ω(C^{3}) 上で|x_{1} | < C^{−6} であり0 ≤ \overline{i − 1} ≤ m − 1 だから (13) より

|∂_{x′}^{α′}u_{i}^{l} | ≤3^{l+s|α′|+\overline{i−1}+1} [s|α′ |]! (\overline{i − 1})! C^{−l+2|α′|+2(\overline{i−1})+2} 2^{|α′|}
≤2^{−l} C^{3(|α′|+m+1)} α′!^{s}

Q.E.D.

u^{l}は (12) を満たすので x_{1}に関する偏導関数の評価も実行できる．簡単なことだから結果だけ記す．

系 2. C_{1} >> CのときΩ(C_{1}) 上で

|∂_{x}^{α}u_{i}^{l} | ≤ 2^{−l} C_{1}^{3(|α|+1)} α!^{s}.

従ってu⃗ = ∑_{l≥0}u^{l} ∈ G_{0}^{∗}となる．

5. irr P とIrr P.

非正則度の定義は 3 段階に分かれている．まずひとつひとつの Lascar 分解について (6) により κ が決まり，つぎに最良表示に対する irr P が決まり，最後に主要部の並べかえにより Irr P が決まる (第 2 節参照)．このうち 3 番目の過程は m が大きいときは大変になるのでこれを省略することを考える．それには 2 つのケースがある．まず

補題 6. もし各 i, jに対して

(16)  {Λ_{i}(x, ξ), Λ_{j}(x, ξ)} ∈ x_{1}^{−1}Λ_{i}(x, ξ)O_{C^{n},0} + x_{1}^{−1}Λ_{j}(x, ξ)O_{C^{n},0}

であれば各σ, τ ∈ S_{mm}に対して

irr_{σ} P = irr_{τ} P = Irr P

となる．

証明. 簡単のため m = 2 とする (一般のときも同様)．例 5 の記号を用いる． irr_{σ^{1}} P = κ とすれば

(17)  P (x, D) =Λ_{2}(x, D)Λ_{1}(x, D) + (x_{1}^{−1}a_{1} + b_{1})Λ_{1}(x, D)
+(x_{1}^{−1}a_{2} + b_{2})Λ_{2}(x, D) + (x_{1}^{−2}a_{∅} + b_{∅})

となる．ここでord a_{μ} ≤ 0, ord b_{μ} ≤ (κ − 1)(2 − |μ|)/κ である．一方 (16) のとき

[Λ_{2}(x, D), Λ_{1}(x, D)] = x_{1}^{−1}∃c_{1}(x)Λ_{1}(x, D) + x_{1}^{−1}∃c_{2}(x)Λ_{2}(x, D) + x_{1}^{−1}∃c_{∅}

となるから

P (x, D) =Λ_{1}(x, D)Λ_{2}(x, D) + (x_{1}^{−1}(a_{1} + c_{1}) + b_{1})Λ_{1}(x, D)
+(x_{1}^{−1}(a_{2} + c_{2}) + b_{2})Λ_{2}(x, D) + (x_{1}^{−2}(a_{∅} + x_{1}^{1}c_{∅}) + b_{∅})

という Lascar 分解ができる． ord c_{μ} ≤ 0 だから irr_{σ^{2}} P ≤ κ である．つまり irr_{σ^{2}} P ≤ irr_{σ^{1}} P であり，反対の不等式もわかるから， irr_{σ^{1}} P = irr_{σ^{2}} P = Irr P である． Q.E.D.

これは主要部の並べかえによる摂動が小さければ低階部はあまり変化しないということである．なお正則包合型，非包合型，いずれも条件 (16) を満たす．

一方主要部の並べかえによる摂動の大きさはもともと限界がある．すなわち

補題 7. σ, τ ∈ S_{mm}のとき，

irr_{τ} P ≤ max(2, irr_{σ} P), Irr P ≤ max(2, irr_{σ} P)

である．

証明. m = 2 のときだけ証明する．例 5 の記号を用いてirr_{σ^{1}} P = κとすれば (17) が成立し， b′(x, D′) = [Λ_{2}(x, D), Λ_{1}(x, D)] とすればord b′ ≤ 1 だから

P (x, D) =Λ_{1}(x, D)Λ_{2}(x, D) + (x_{1}^{−1}a_{1} + b_{1})Λ_{1}(x, D)
+(x_{1}^{−1}a_{2} + b_{2})Λ_{2}(x, D) + (x_{1}^{−2}a_{∅} + b_{∅} + b′)

である． ord(b_{∅} + b′) ≤ max(ord b_{∅}, 1) ≤ max(2(κ − 1)/κ, 1) だから， (6)′よりirr_{σ^{2}} P ≤ max(irr_{σ^{1}} P, 2) となる． Q.E.D.

この意味について考えてみる．ある特定の位数 s の Gevrey 級関数G^{{s}}について {s}- 適切性を考えてみると， 1 ≤ s ≤ 2のときと2 < s ≤ ∞のときでは事情が違う．実際，定理 2 によれば

(18)  Irr P ≤ s/(s − 1).

のとき P は {s_{0}}-適切である．もし1 ≤ s < 2 であれば補題 7 より (18) は irr P < s/(s− 1) と同じだから， Irr P は計算する必要がない． 2 < s ≤ ∞ のときは irr P と Irr P は違うから苦労してでも Irr P を求めなければならない． (証明はできないけれど) これは計算が面倒だとかそういう問題ではなく，後者の場合は実際に {s}-適切性という問題が複雑なのだと私は考えている．経験的に言っても C^{∞}-適切性は非常に難しい問題であり， m = 2, 3 の場合とか正則包合型その他の場合しか研究されていないようである．つまり前者の場合 m が小さければ S_{mm}の元の個数も小さいので Irr P の計算はさほど困難ではなく，また後者の場合は補題 6 が適用できる．これ以外のとき非正則度の定義は (従って適切性の判定条件も) 複雑になり， {s}-適切性という問題の難しさと一致していると思う．この点についてはご批判をいただきたい．

最後にひとつ付け加えておく．以上の内容に関連して，筆者は先に東京大学数理科学研究科および京都大学数理解析研究所で”Irregularities of microhyperbolic operators” という講演を行った．もともとこれは同じようなことを超局所的に研究したものである．今回のシンポジウムでは主催者からこれを初等的に解説するよう依頼を受けた．しかしもとのままで初等的に解説することは困難だったので今回は内容そのものも古典的なスタイルに変更した．すなわちもとの理論から”micro”という部分を削除したのである．十分な時間をかけて準備したわけではないので，講演中詳しく考え直してみたいところがいくつか出てきたが，このままの形で公表することにした．基本的な考え方だけを簡潔に説明したかったからである．超局所解析版，古典解析版ともにあらためて完全な形の論文にしたいと考えている．

参考文献

[1] M. Bronstein, The parametrix of the Cauchy problem for hyperbolic operator with characteristics of variable multiplicity, Trudy Moscow Math., 41(1980), 83–99.

[2] Ja. V. Ivrii, Correctness of the Cauchy problem in Gevrey classes for nonstrictly hyperbolic operators, Math. USSR Sbor., 259(1975), 365–387.

[3] H. Komatsu, Linear hyperbolic equations with Gevrey coefficients, J. Math. Pures et Appl., 59(1980), 145–185.

[4] R. Lascar, Propagation des singularités pour des opérateurs pseudo-différ- entiels à caractéristiques de multiplicité variable, Lecture Notes in Math., 856(1980), 1–26, Springer.

[5] O. A. Oléinik, Cauchy problem for weakly hyperbolic equations, Comm. on Pure and Appl. Math., 23(1970), 569–586.