無限階方程式の完全 WKB 解析

青木貴史 (近畿大学理工学部)

1 はじめに

大きなパラメータ η を持つ形式的無限階微分作用素

P = ∑_{j,k=0}^{∞} a_{j,k}x^{j}η^{−k}∂^{k}  (1)

を考える. ただし, a_{j,k} は複素数の定数であり ∂ = d/dx とおいた. このような作用素 P に対して方程式

P ψ = 0  (2)

を考え, これを完全 WKB 解析という立場から調べたい. そのために次の仮定をする.

仮定 1 P (x, ζ) = ∑_{j,k=0}^{∞} a_{j,k}x^{j}ζ^{k} とおくとき, ある開集合 U ⊂ ℂ があって P (x, ζ) は U × ℂ において正則な函数を定める.

この函数 P (x, ζ) を P の表象という. 上の仮定の下に

P_{B} := P (x, ∂_{x}/∂_{y}) = ∑_{j,k=0}^{∞} a_{j,k}x^{j}(∂_{x}/∂_{y})^{k}  (3)

とおくとき, P_{B} は (x, y; ξ, η) 空間の η ≠ 0 で定義された 0 階のマイクロ微分作用素であり, 変数 y には依存しないものとなる. ここに ∂_{y} = ∂/∂y, ∂_{x} = ∂/∂x とおいた. ここで扱う作用素は「無限階」とはいっても, 大きなパラメータを定数と思うと, local operator とは限らないもの (例えば平行移動) も含んでいる. 例については [3] を参照されたい.

本稿では, 適当な仮定のもとに方程式 (2) は局所的に 2 階微分方程式の場合 ([7] 参照) と同様に扱えることを紹介する. 本稿の内容は河合隆裕氏 (数理研), 小池達也氏 (京大理), 竹井義次氏 (数理研) との共同研究に基づく.

2 WKB 解, 変わり点, Stokes 曲線

完全 WKB 解析における最も基本的な概念である WKB 解, 変わり点, そして Stokes 曲線の定義を行う.

定義 1.1 正則関数を係数とする η^{−1} の形式的べき級数

S = ηS_{−1}(x) + S_{0}(x) + η^{−1}S_{1}(x) + ⋯ + η^{−k}S_{k}(x) + ⋯  (4)

に対して ψ = exp (∫ Sdx) とおくとき ψ が形式的に方程式 (2) を満たす

なら ψ は (2) の WKB 解である, という.

「形式的」が何を意味するかについて, ここでは深入りせず, ただ素朴に理解して話を進めるが, 適当な枠組み (マイクロ微分作用素の量子化接触変換 [2],

[8] とみなす) を設定すればすべての議論は正当化される.

定義 1.2 方程式 P (x, ζ) = ∂_{ζ}P (x, ζ) = 0 の解 (x, ζ) = (x_{∗}, ζ_{∗}) が存在するとき x_{∗} を方程式 (2) の変わり点, ζ_{∗} をその特性値という. さらに, ∂_{x}P (x_{∗}, ζ_{∗}) ≠ 0 かつ ∂_{ζ}^{2}P (x_{∗}, ζ_{∗}) ≠ 0 であるとき x_{∗} (および, その特性値 ζ_{∗}) は単純であるという.

以下, (x_{∗}, ζ_{∗}) を単純変わり点および, その特性値とする. このとき, x_{∗} の近傍において x を与えたとき, 方程式 P (x, ζ) = 0 を ζ について解いて, 次の条件を満たす解 ζ = ζ_{±}(x) をとることができる:

(i) ζ_{±}(x_{∗}) = ζ_{∗}

(ii) x = x_{∗} の近傍で正則な函数 f(x) が存在してζ_{+}(x)−ζ_{−}(x) = \sqrt{x − x_{∗}}f(x) と書ける.

(iii) ζ_{+}(x) − ζ_{−}(x) および ζ_{+}(x)ζ_{−}(x) は x = x_{∗} の近傍で正則である.

(iv) P (x, ζ) = 0 の他の任意の解 ζ = ζ(x) に対して ζ(x_{∗}) ≠ ζ_{∗}.

このような解 ζ = ζ_{±}(x) を用いて Stokes 曲線は次のように定義される.

定義 1.3 方程式

Im ∫_{x_{∗}}^{x}(ζ_{+}(s) − ζ_{−}(s))ds = 0  (5)

で与えられる曲線（およびその解析接続）を x_{∗} から出る Stokes 曲線と呼ぶ.

上の性質 (ii), (iii) により x_{∗} の近傍における Stokes 曲線の無限小形は通常の 2 階微分方程式の場合と同様となり, x_{∗} を中心として 3 本の半直線が 2π/3 の開きで生じる.

3 WKB 解の構成

方程式 (2) の WKB 解の構成法を述べる. 有限階の場合の類推から S の初項 S_{−1} が P (x, ζ) = 0 の解であることは想像がつくが, 有限階の場合と異なり一般には, この方程式が解を持つとは限らない. ζ について代数方程式とは限らないからである. そこで次の仮定を設ける.

仮定 2 任意の x ∈ U に対して方程式 P (x, ζ) = 0 は解 ζ = ζ(x) を持つ.

以下, S̃ = η^{−1}S とおく. 目的は

P (x, η^{−1}∂) exp (η ∫ S̃dx) = 0  (6)

をみたす形式的べき級数 S̃ を構成することである. 上式の左辺を微分作用素

P (x, η^{−1}∂) と掛け算作用素 exp (η ∫ S̃dx) の結合と見なせば, (6) はその結

合の ∂ についての 0 階部分が消えるという条件と解釈できる. そこで作用素の結合としての等式

P (x, η^{−1}∂) exp (η ∫ S̃dx) = exp (η ∫ S̃dx) P (x, η^{−1}∂ + S̃) (7)

に注目する. もちろん exp (η ∫ S̃dx) は可逆であるから (6) は微分作用素

P (x, η^{−1}∂ + S̃) = ∑_{j,k} a_{j,k}x^{j}(η^{−1}∂ + S̃)^{k}  (8)

の 0 階部分が消えることと同等となる. 上式右辺の和の中に現れる微分作用素は形式的に Cauchy 積分を用いて

(η^{−1}∂ + S̃)^{k} = \frac{1}{2πi} ∫ (λ − (η^{−1}∂ + S̃))^{−1}λ^{k}dλ  (9)

と書くことができる ([1] 参照). さらに被積分函数を形式的に幾何級数展開することにより右辺は

\frac{1}{2πi} ∫ λ^{k} ∑_{l=0}^{∞} η^{−l}((λ − S̃)^{−1}∂)^{l} \frac{1}{λ − S̃}dλ  (10)

と書き直すことができる. ここまでは, すべて微分作用素として計算してきたが, 必要なものは (10) の 0 階項であるから, ここで改めて (10) の和の中の一般項

((λ − S̃)^{−1}∂)^{l} \frac{1}{λ − S̃}

は微分作用素 ((λ − S̃)^{−1}∂)^{l} を函数 1/(λ − S̃) に作用させた結果とみてこれを計算する. 小さな l について (10) の和の各項を計算してみれば一般形の予想が容易に得られる. 実際, 次のようになる:

((λ − S̃)^{−1}∂)^{l} \frac{1}{λ − S̃} = ∑_{m=l+1}^{2l} \frac{A_{m+1}^{(l)}}{(λ − S̃)^{m+1}}  (11)

ここに, {A_{m}^{l}} は次の漸化式で与えられる:

A_{2m+3}^{(l+1)} = (2l + 1)∂S̃ · A_{2l+1}^{(l)}
A_{m}^{(l+1)} = (m − 2)∂S̃ · A_{m−2}^{(l)} + ∂A_{m−1}^{(l)} (l + 3 < m < 2l + 3)
A_{l+3}^{(l+1)} = ∂A_{l+2}^{(l)}

ただし, A_{1}^{(0)} = 1, A_{m}^{(0)} = 0 (m ≠ 1), A_{m}^{(l)} = 0 (m < l + 2 または 2l + 1 < m) とする. 従って (8) の 0 階部分は

∑_{j,k} a_{j,k}x^{j} \frac{1}{2πi} ∫ λ^{k} ∑_{l=0}^{∞} η^{−l} ∑_{m=l+1}^{2l} \frac{A_{m+1}^{(l)}}{(λ − S̃)^{m+1}} dλ  (12)

となり, 和と積分の順序を入れ替えて l = 0 の部分と l > 0 の部分に分ければ, この式は

P (x, S̃) + ∑_{l=1}^{∞} η^{−l} ∑_{m=l+1}^{2l} \frac{1}{m!}∂_{ζ}^{m}P (x, S̃) · A_{m+1}^{(l)}  (13)

となる. 従って次の命題が得られた:

命題 3.1 形式的べき級数 S̃ = S_{−1} + η^{−1}S_{1} + η^{−2}S_{2} + ⋯ が (6) を満たすことと

P (x, S̃) + ∑_{l=1}^{∞} η^{−l} ∑_{m=l+1}^{2l} \frac{1}{m!}∂_{ζ}^{m}P (x, S̃) · A_{m+1}^{(l)} = 0  (14)

が成り立つことは同値である.

ここで A_{m}^{(l)} は P には依存せず S̃ の微分多項式となることに注意する. 方程式 (14) は P が 2 階の場合は S̃ について Riccati 型微分方程式となる. この方程式に S̃ = S_{−1} + η^{−1}S_{1} + η^{−2}S_{2} + ⋯ を代入し η^{−1} のべきで展開したうえで, まず主部に注目すると

P (x, S_{−1}) = 0  (15)

が成り立たなければならないことがわかる. そこで仮定 2 で存在を仮定した ζ(x) を選ぶ:

S_{−1} = ζ(x).

さらに展開の高次の項を見ると S_{l} は

∂_{ζ}P (x, S_{−1})S_{l} + (S_{−1}, …, S_{l−1}の微分多項式) = 0  (16)

の形の方程式を満たさなければならないことがわかる. この形より

∂_{ζ}P (x, S_{−1}) は恒等的には消えない  (17)

ならば S_{l} が逐次決定できる. 従って (17) を仮定すると (14) を満たす S̃ が構成できた. 以上の方針で (2) の WKB 解が構成できる.

4 単純変わり点での解析

第 2 節で単純変わり点や Stokes 曲線の定義を与えたが, これらの定義の正当性をこの節で考察する. 鍵となるのは次の割り算定理である. 前節までの記号をそのまま用い, P は仮定 1 を満たし (x_{∗}, ζ_{∗}) は単純変わり点 (および特性値), ζ_{±}(x) は第 2 節 (i) から (iv) を満たすとする. また, (17) を仮定する.

定理 4.1 ζ に関して 2 次の多項式 r(x, ζ) を

r(x, ζ) = ζ^{2} − (ζ_{+} + ζ_{−})ζ + ζ_{+}ζ_{−}

により定義するとき, 形式的無限階微分作用素

Q(x, ∂, η) = ∑_{j=0}^{∞} η^{−j}Q_{j}(x, ∂/η)

および 2 階微分作用素

R(x, ∂, η) = ∑_{j=0}^{∞} η^{−j}R_{j}(x, ∂/η)

が存在して

P (x, ∂/η) = Q(x, ∂, η)R(x, ∂, η)  (18)

が成り立ち, かつ次の性質が満たされる:

(i) x^{∗} のある近傍 V が存在して Q_{j}(x, ζ), R_{j}(x, ζ) は V × ℂ で正則である. (ii) Q(x, ∂_{x}, ∂_{y}), R(x, ∂_{x}, ∂_{y}) は η ≠ 0 で定義された 0 階マイクロ微分作用

素となる. (iii) R_{0}(x, ζ) = r(x, ζ) である. (iv) j > 0 ならば R_{j} は ζ について高々 1 次式である.

証明の方針等式 (18) を (η = ∂_{y} とみて) マイクロ微分作用素の間の等式と見なせば, 両辺の表象を比較することにより等式

P (x, ζ) = ∑_{k=0}^{∞} η^{−k} ∑_{i+j+l=k} \frac{1}{l!}∂_{ζ}^{l}Q_{i}(x, ζ) · ∂_{x}^{l}R_{j}(x, ζ)  (19)

が得られる. ただし, ζ = ξ/η とおいた. 右辺の第 2 の和以降は 0 階の表象であることに注意すると両辺を比較して

P (x, ζ) = Q_{0}(x, ζ)R_{0}(x, ζ),  (20)

0 = Q_{k}R_{0} + Q_{0}R_{k} + ∑_{i,j<k^{i+j+l=k}} \frac{1}{l!}∂_{ζ}^{l}Q_{i} · ∂_{x}^{l}R_{j} (k > 0)  (21)

が成り立っていればよい. R_{0}(x, ζ) = r(x, ζ), Q_{0}(x, ζ) = P (x, ζ)/r(x, ζ) とおけば (20) および (i), (iii) は満たされる. Q_{0}, …, Q_{k−1}, R_{0}, …, R_{k−1} が得られたと仮定する. このとき

F_{k} = −\frac{1}{Q_{0}} ∑_{i,j<k^{i+j+l=k}} \frac{1}{l!}∂_{ζ}^{l}Q_{i} · ∂_{x}^{l}R_{j}  (22)

とおき Späth の割り算定理を用いて F_{k} を R_{0} で割ったときの商を G_{k}, 余りを R_{k} とする. 明らかに R_{k} は ζ に関して高々 1 次式であり, その係数は x_{∗} の近傍で正則である. さらに

Q_{k} = G_{k}Q_{0}

とおくと Q_{k} が条件 (i) を満たすことが証明できる. (ii) を示すには評価を行う必要があるが, 省略する.

上の定理で得られた 2 階微分作用素 R を

R(x, ∂, η) = ∂^{2} + A_{1}(x, η)∂ + A_{0}(x, η)

の形に書けば A_{0} と A_{1} の η に関する主要部はそれぞれ −(ζ_{+} + ζ_{−}), ζ_{+}ζ_{−} であるから, 方程式

R(x, ∂, η)ϕ = 0  (23)

の WKB 解 ϕ_{±} を

ϕ_{±} = exp (∫ T_{±}dx) , T_{±} = ηζ_{±}(x) + ⋯

の形に取ることができる. 一方, 第 3 節までの議論により, (2) の WKB 解 ψ_{±} を

ψ_{±} = exp (∫ S_{±}dx) , S_{±} = ηζ_{±}(x) + …

の形に構成できる. このとき, 定理 4.1 により

P (x, ∂/η)ϕ_{±} = Q(x, ∂, η)R(x, ∂, η)ϕ_{±} = 0

であるから ϕ_{±} も (2) の形式解である. しかも S_{±} と T_{±} の主要部分はともに ζ_{±} であり一致している. 従って

S_{±} = T_{±}

が結論される. 言い換えると

ϕ_{±} = c_{±}ψ_{±}

となる定数 c_{±} = c_{±}(η) (定数を係数とする η の形式級数) が存在する. つまり, もともと無限階の方程式を考えていたが, 単純変わり点の近傍で自然な WKB 解を取り出すと, それは 2 階微分方程式

R(x, ∂, η)ψ_{±} = 0  (24)

の WKB 解になっている. 単純変わり点 x_{∗} はこの方程式の単純変わり点でもある. そしてこの方程式の x_{∗} から生じる Stokes 曲線は方程式

Im ∫_{x_{∗}}^{x}(ζ_{+}(s) − ζ_{−}(s))ds = 0  (25)

により与えられる. これはまさに (5) に他ならない. 従って, この WKB 解 ψ_{±} の単純変わり点 x_{∗} の近傍における挙動については 2 階微分方程式 (24) の完全 WKB 解析が使える. すなわち x_{∗} の近傍においてこの方程式は WKB 解を保つ変換により Airy の微分方程式

(\frac{d^{2}}{dx^{2}} − η^{2}x)ψ = 0

に変換できる ([5] 参照). そのことにより局所的な接続公式の導出が可能となる. もちろん, 大域的には 3 階以上の方程式では Stokes 曲線の交叉が一般には起こり Stokes 幾何の決定は容易ではない ([6], [4] 参照). しかし, 何階であろうと, さらに無限階であろうと局所理論に関する限りすべて統一的な取り扱いが可能なのである.

References

[1] T. Aoki, Existence and continuation of holomorphic solutions of differential equations of infinite order, Advances in Mathematics, 72 (1988), 261- 283.

[2] T. Aoki, Quantized contact transformations and pseudodifferential operators of infinite order, Publ. RIMS, Kyoto Univ., 26 (1990), 505-519.

[3] 青木貴史, 河合隆裕, 小池達也, 竹井義次, 無限個の phase を持つある作用素の Stokes geometry について, 数理解析研究所講究録 No.1168, 2000, pp. 115-163.

[4] T. Aoki, T. Kawai and Y. Takei, On the exact steepest descent method –a new method for the description of Stokes curves, to appear in Journal of Mathematical Physics.

[5] T. Aoki and J. Yoshida, Microlocal reduction of ordinary differential operators with a large parameter, Publ. RIMS Kyoto Univ., 29 (1993), 959-975.

[6] H. L. Berk, M. Nevins and K. V. Roberts, New Stokes lines in WKB theory, J. Math. Phys., 23(1982), 988-1002.

[7] 河合隆裕, 竹井義次, 特異摂動の代数解析学（岩波講座・現代数学の展開 1 ）岩波書店, 1998.

[8] M. Sato, T. Kawai and M. Kashiwara, Microfunctions and pseudodifferential equations, Lecture Notes in Mathematics No. 287, Springer-Verlag, 1973, pp. 265-529.